有限元方法与ANSYS应用(修改)

2023/2/31有限元方法与ANSYS应用

FiniteElementsMethod&ANSYS张陵2023/2/32有限元方法与ANSYS应用★

课程设置的相关背景

工程问题的现代设计,科学研究虚拟现实与计算仿真近似计算的“精确逼近”2023/2/33有限元方法与ANSYS应用★

课程设置的相关背景

工程问题的研究对象：

连续体离散体混合系统/结构

2023/2/34有限元方法与ANSYS应用★

课程学习的目的连续体：建模与分析方法离散体：建模与分析方法

涉及的先修课程:

材料力学弹性力学有限元法

作业:试总结三门课程解决问题的思路和步骤,指出其异同点.(3千字)2023/2/35有限元方法与ANSYS应用★

课程学习的准备国内外有限元，ANSYS课程学习网站国内外ANSYS应用论坛，专题网站

ANSYS应用的各种实例

ANSYS软件自备上机条件自行解决2023/2/36有限元方法与ANSYS应用★

课程学习的条件课件下载:ansysxjtu@163.com密码:ansysxjtu13课件请勿外传!!!

作业提交:ansysxjtu@163.com作业文件名：学号+姓名+第几次作业

例如：2013001+西交大+1

2023/2/37有限元方法与ANSYS应用★

课程学习特点“实践出真知”★

课程学习要求

基础理论学习与“实战”结合

★

课程学习安排上课,上机,设计作业2023/2/38有限元方法与ANSYS应用课程教学主要内容★有限元法分析的基本理论与方法★有限元建模方法及应用★

ANSYS软件系统介绍★

ANSYS软件系统案例分析相互交叉,相互结合2023/2/39大型通用有限元软件ANSYS概述2023/2/310ANSYS公司是由美国匹兹堡大学力学系教授、有限元法的权威、著名力学专家JohnSwanson博士于1970年创建而发展起来的，其总部位于美国宾夕法尼亚州的Canonsburg(匹兹堡南部)。目前是世界CAE行业最大的公司之一。2023/2/311ANSYS软件是融结构、流体、热、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用有限元分析软件。因此,它可应用于航空航天、汽车工业、生物医学、桥梁、建筑、电子产品、重型机械、微机电系统、运动器械等工业领域。12ANSYS的产品家族ANSYS/FLOTRANäANSYS/EmagäANSYS/StructuraläANSYS/MultiphysicsANSYS/LS-DYNAäANSYS/MechanicaläANSYS/LinearPlusäANSYS/Thermalä2023/2/313ANSYS——CAE仿真分析软件CAE(ComputerAidedEngineering)，工程设计中的计算机辅助工程.指用计算机辅助求解分析复杂工程和产品的结构力学性能，以及优化结构性能等。而CAE软件可作静态结构分析，动态分析；研究线性、非线性问题；分析结构（固体）、流体、电磁等。2023/2/314ANSYS——CAE仿真分析软件CAE的技术种类有很多，其中包括有限元法(FEM,即FiniteElementMethod),边界元法(BEM,即BoundaryElementMethod)，有限差法(FDM,即FiniteDifferenceElementMethod)等。每一种方法各有其应用的领域，而其中有限元法应用的领域越来越广，现已应用于结构力学、结构动力学、热力学、流体力学、电路学、电磁学等。2023/2/315ANSYS主要包括三个部分：前处理模块，分析计算模块和后处理模块。前处理模块提供一个强大的实体建模及网格划分工具，用户可以方便地构造有限元模型；2023/2/316分析计算模块包括结构分析（可进行线性分析、非线性分析和高度非线性分析）、流体动力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦合分析，可模拟多种物理介质的相互作用，具有灵敏度分析及优化分析能力；2023/2/317后处理模块可将计算结果以彩色等值线显示、梯度显示、矢量显示、粒子流迹显示、立体切片显示、透明及半透明显示（可看到结构内部）等图形方式显示出来，也可将计算结果以图表、曲线形式显示或输出。2023/2/318ANSYS功能概览结构分析热分析电磁分析流体分析(CFD)耦合场分析-多物理场2023/2/3191.ANSYS结构分析

结构分析用于确定结构的变形、应变、应力及反作用力等.2023/2/3201.ANSYS结构分析结构分析的类型:静力分析模态分析谱分析谐响应分析瞬态动力学分析动力分析2023/2/3211.ANSYS结构分析结构分析的类型:静力分析-用于静态载荷.可以考虑结构的线性及非线性行为，例如:大变形、大应变、应力刚化、接触、塑性、超弹及蠕变等.2023/2/3221.ANSYS结构分析结构分析的类型:特征屈曲分析-用于计算线性屈曲载荷并确定屈曲模态形状.(结合瞬态动力学分析可以实现非线性屈曲分析.)2023/2/3231.ANSYS结构分析结构分析的类型:模态分析

-计算线性结构的自振频率及振形.谱分析

是模态分析的扩展，用于计算由于随机振动引起的结构应力和应变(也叫作

响应谱或

PSD).2023/2/3241.ANSYS结构分析结构分析的类型:谐响应分析-确定线性结构对随时间按正弦曲线变化的载荷的响应.2023/2/3251.ANSYS结构分析结构分析的类型:瞬态动力学分析-确定结构对随时间任意变化的载荷的响应.可以考虑与静力分析相同的结构非线性行为.2023/2/3261.ANSYS结构分析结构分析的类型:专项分析-

断裂分析,复合材料分析，疲劳分析2023/2/327专项分析-

断裂分析,复合材料分析，疲劳分析2023/2/3282.ANSYS热分析ANSYS热分析计算物体的稳态或瞬态温度分布，以及热量的获取或损失、热梯度、热通量等.2023/2/3292.ANSYS热分析

功能:相变

(熔化及凝固),内热源(例如电阻发热等)三种热传递方式

(热传导、热对流、热辐射)2023/2/3302.ANSYS热分析注意：热分析之后往往进行结构分析,计算由于热膨胀或收缩不均匀引起的应力.2023/2/3313.ANSYS电磁分析

磁场可由电流、永磁体、外加磁场等产生.磁场分析

用于计算磁场.

磁场分析中考虑的物理量是磁通量密度、磁场密度、磁力、磁力矩、阻抗、电感、涡流、能耗及磁通量泄漏等.2023/2/332磁场分析的类型:静磁场分析

-计算直流电（DC)或永磁体产生的磁场.交变磁场分析-计算由于交流电(AC)产生的磁场.2023/2/333磁场分析的类型:瞬态磁场分析-计算随时间随机变化的电流或外界引起的磁场.电场分析-

用于计算电阻或电容系统的电场.典型的物理量有电流密度、电荷密度、电场及电阻热等.2023/2/334磁场分析的类型:高频电磁场分析用于微波及RF无源组件，波导、雷达系统、同轴连接器等分析.2023/2/3354.ANSYS流体分析流体分析分以下几类:CFD-ANSYS/FLOTRAN

提供强大的计算流体动力学分析功能，包括不可压缩或可压缩流体、层流及湍流，以及多组份流等.流体分析--用于确定流体的流动及热行为.2023/2/3364.ANSYS流体分析流体分析分以下几类:声学分析-考虑流体介质与周围固体的相互作用,进行声波传递或水下结构的动力学分析等.流体分析

用于确定流体的流动及热行为.2023/2/3374.ANSYS流体分析流体分析分以下几类:流体分析

用于确定流体的流动及热行为.容器内流体分析

-考虑容器内的非流动流体的影响.可以确定由于晃动引起的静水压力.2023/2/3384.ANSYS流体分析流体分析分以下几类:流体分析

用于确定流体的流动及热行为.流体动力学耦合分析

-考虑流体约束质量的动力响应基础上，在结构动力学分析中使用流体耦合单元.2023/2/3395.ANSYS耦合场分析耦合场分析

考虑两个或多个物理场之间的相互作用。如果两个物理场之间相互影响，单独求解一个物理场是不可能得到正确结果的，因此你需要一个能够将两个物理场组合到一起求解的分析软件。2023/2/3405.ANSYS耦合场分析

其他需要耦合场分析的典型情况有：热—应力分析流体—结构相互作用声场—结构耦合振动June3,199641ANSYS分析中通常考虑的分析因素建模是数值仿真分析有效与否的关键。一般考虑下列问题：分析领域分析目标线性/非线性问题静力/动力问题分析细节的考虑几何模型对称性

奇异单元类型网格密度单位制材料特性载荷求解器June3,199642ANSYS分析中通常考虑的分析因素

奇异单元类型网格密度单位制材料特性载荷求解器

所建模型的好坏直接影响分析的精度和成本（人耗工时，计算机资源等），但通常情况下精度和成本是相互冲突。June3,199643确定合适的分析学科领域实体运动，承受压力，或实体间存在接触施加热、高温或存在温度变化恒定的磁场或磁场电流（直流或交流）气（液）体的运动，或受限制的气体/液体以上各种情况的耦合结构热磁流体电耦合场准则2023/2/344有限元方法与ANSYS应用课程学习相关网站2023/2/345有限元方法与ANSYS应用课程学习相关网站2023/2/346有限元方法与ANSYS应用课程学习相关网站2023/2/347有限元方法与ANSYS应用课程学习相关网站2023/2/348有限元方法与ANSYS应用课程学习相关网站2023/2/349有限元方法与ANSYS应用课程学习相关网站2023/2/350有限元方法与ANSYS应用课程学习相关网站2023/2/351有限元方法与ANSYS应用十大论坛学习ANSYS

1、安世亚太

2、仿真论坛

3、中国CAE联盟

4、傲雪论坛

5、仿真在线

2023/2/352有限元方法与ANSYS应用十大论坛学习ANSYS

6、中国机械CAD论坛

7、开思网

8、

9、振动联盟

10、

2023/2/353有限元法分析的基本理论与方法相关课程的比较2023/2/354有限元法分析的基本理论与方法相关课程的比较变形体----物体内任意两点之间的距离可发生相对移动.变形体有四种形变：拉伸压缩、剪切、扭转和弯曲。2023/2/355有限元法分析的基本理论与方法相关课程的比较材力：

借助于直观和实验现象作一些假定，如平面假设等，然后由静力学、几何关系、物理方程三方面进行分析。弹力：

仅由静力平衡、几何方程、物理方程三方面分析，放弃了材力中的大部分假定。2023/2/356有限元法分析的基本理论与方法相关课程的比较材力:——常微分方程（4阶，一个变量）弹力:——偏微分方程（高阶，二、三个变量）。数值解法：能量法（变分法）、差分法、有限单元法等。2023/2/357作业:试总结三门课程解决问题的思路和步骤,指出其异同点.(3千字)作业电子文档名称：学号——姓名---递交作业次数序号2023/2/35858力学研究工程问题的一般思路工程问题力学模型数学模型数学解答观察总结归纳概念假设等数学描述微分方程的定解问题解析解近似解数值解力学解释物理意义工程解释验证指导工程实践2023/2/359附：工程力学问题的建模分析过程2023/2/36060力学模型的建立基本原则科学性：尽可能地近似表示原型实用性：能方便地应用模型的建立——近似材料近似结构近似载荷近似模型的表述假设概念所有的力学模型均是实际问题的某种程度上的近似，受限于科技发展水平，受限于人类对该问题科学本质的认识，也受限于工程需求。2023/2/361

在建立数学模型的过程中，通常要注意分清问题的性质进行简化：线性化

对高阶小量进行处理，能进行线性化的，进行线性化。

模型建立以后，对计算的结果进行分析整理，返回实际问题进行验证，一般通过实验验证：直接实验验证

直接实验比较简单时可以直接进行，但有时十分困难。相似模型实验

相似实验的模型一般应与实际问题的边界条件和形态是几何相似的。2023/2/362

工程力学问题建立力学模型的过程中，一般作三方面进行简化：结构简化

如空间问题向平面问题的简化，向轴对称问题的简化，实体结构向板、壳结构的简化。受力简化

如：根据圣维南原理，复杂力系简化为等效力系等。材料简化根据各向同性、连续、均匀等假设进行简化。2023/2/363结构简化2023/2/364结构简化对称性的利用2023/2/365受力简化2023/2/366

圣维南原理问题的提出：PPP

求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足8个基本方程相对容易，但要使边界条件完全满足，往往很困难。

如图所示，其力的作用点处的边界条件无法列写。1.静力等效的概念

两个力系，若它们的主矢量、主矩相等，则两个力系为静力等效力系。

这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。2023/2/3672.圣维南原理(Saint-VenantPrinciple)原理：若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。PPPP/2P/22023/2/3683.圣维南原理的应用(1)对复杂的力边界，用静力等效的分布面力代替。(2)有些位移边界不易满足时，也可用静力等效的分布面力代替。注意事项：(1)必须满足静力等效条件；(2)只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。如：AB主要边界P次要边界2023/2/369材料简化2023/2/370工程问题的复杂性是诸多方面因素组成的。如果不分主次考虑所有因素，则问题的复杂，数学推导的困难，将使得问题无法求解。根据问题性质，忽略部分暂时不必考虑的因素，提出一些基本假设。使问题的研究限定在一个可行的范围。基本假设是学科的研究基础。

材料简化弹性力学基本假设2023/2/371工程材料通常可以分为晶体和非晶体两种。金属材料——晶体材料，是由许多原子，离子按一定规则排列起来的空间格子构成，其中间经常会有缺陷存在。高分子材料——非晶体材料，由许多分子的集合组成的分子化合物。工程材料内部的缺陷、夹杂和孔洞等构成了固体材料微观结构的复杂性。§1.2基本假设22023/2/37272弹性力学基本假设连续性假设完全弹性假设均匀性假设各向同性假设小位移和小形变假设材料的假设理想弹性体几何假设2023/2/37373弹性力学：研究理想弹性体的小变形问题弹性力学问题的研究思路：已知：物体的形状、大小、弹性常数、所受的外力和边界约束条件，求：应力分量、应变分量和位移分量2023/2/37474基本假设与其他理学分支连续性假设：完全弹性假设：非线性弹性力学、非弹性力学均匀性假设：非均质弹性力学各向同性假设：各向异性弹性力学小位移和小形变假设：非线性弹性力学2023/2/37575751821年，克劳德·路易斯·玛丽·亨利·纳维尔(1785——1836)发表了题为“弹性体平衡和运动方程”的论文，文中首次写出了弹性体的控制方程1829年，法国科学家西蒙·丹尼斯·泊松(1781－1840)考虑了单向拉伸时的横向收缩问题。为纪念他的贡献，横向收缩与纵向伸长比值的负值被命名为泊松比。另外，泊松发现了横波和纵波，开创了弹性动力学分析弹性力学简史2023/2/3767676奥古斯丁·路易斯·柯西

(1789——1857)1822-1823年，在三维情况下规范了应力的概念，揭示了应力具有三阶对称张量的性质提出将面力矢量和应力张量联系起来的柯西原理，提出主应力和主应变的概念，推广胡克定律，建立了用应力分量表示的连续体运动方程和边界条件给出了几何方程，即当位移对坐标的导数远小于1时，六个应变分量(三个拉伸分量和三个剪切分量)可以表示为位移的导数。从原子论的观点讨论了物体的弹性，利用对势导出了所谓的弹性张量的柯西关系，指出弹性张量具有完全对称性。2023/2/3777777弹性力学基本解及应用在十九世纪的中后期，科学家们得到了大量的弹性力学基本解，并应用于工程实践或者解释自然现象纳维尔的学生圣·维南在其中做出了卓越的贡献1853年，提出了半逆解法，并得到了梁的弯曲和非圆截面杆扭转问题的精确解，从而检验了材料力学中在一定假设简化下得到的近似解的准确程度提出了著名的圣·维南原理，为数学家和工程师创造了无数机遇和挑战2023/2/3787878电磁学的奠基人之一，普鲁士物理学家古斯塔夫·罗伯特·基尔霍夫(1824——1887)多才多艺，在弹性力学领域也颇有建树。1876年，他出版了著作“力学”，将弹性力学的应用领域扩展到一种新的几何构形——板，在直法线假设的前提下，他运用虚功原理和变分法导出了控制方程。在一维情况下，基尔霍夫板退化为欧拉——柏努利梁。电磁学的另一奠基人，赫尔曼·路德维希·费迪南德·冯·亥姆霍兹(1821——1894)在弹性力学领域同样功勋卓著。他建立了弹性自由能的概念，以他的名字命名为亥姆霍兹自由能。另外，他还利用亥姆霍兹变换得到无限大弹性体中的应力波解。2023/2/3797979体系形成(1880——1950)在这一时期，弹性力学的知识如百川逐渐汇集大海，形成了一套完整的体系代表性著作是勒夫的“关于弹性力学数学理论的论述”(1892——1893)。该部著作的问世同时标志着十九世纪整个数学物理的研究中心是弹性力学。除此之外，勒夫本人还在点源解和勒夫波等方面对弹性力学做出贡献2023/2/3808080铁木辛柯

（1878-1972）

弹性力学在工程领域的广泛应用应归功于铁木辛柯的巨大热情。铁木辛柯出身于前俄罗斯贵族，师从空气动力学之父普朗特。他尤其热心于弹性力学的工程应用，在弹性地基梁、铁木辛柯梁、板壳力学和弹性振动等方面都做出了巨大的贡献。铁木辛柯不仅是一位科学家、工程师，同时也是一名伟大的教育家。由他编写的教材几十年来一直在美国工学院使用。他同冯·卡门一起促进了应用力学在美国的繁荣。经典教材：《材料力学》、《高等材料力学》、《结构力学》、《工程力学》、《高等动力学》、《弹性力学》、《弹性稳定性理论》、《工程中的振动问题》、《板壳理论》和《材料力学史》等2023/2/3818181分支发展(1950——至今)1950年荷兰力学家和工程师K.T.Koiter提出弹性稳定性的概念，随后有关静力稳定性、运动稳定性和动力稳定性和缺陷敏感性的问题也被提出，并充分地加以研究。2023/2/3828282断裂力学的先驱是英国航空工程师A.A.Griffith提出了脆断准则：如果裂纹扩展释放的弹性应变能等于产生新表面所做的功，则裂纹处于临界扩展状态。从二十世纪中叶以来断裂力学一直处于固体力学研究的中心地位，主要推动力是对第二次世界大战期间造成美国海军舰队重大损失的原因的研究以及美国物理学家和工程师GeorgeR.Irwin投入的巨大热情与精力1957年Irwin提出应力强度因子的概念，用来度量裂尖附近应力场的强度在Irwin的大力推动下，从十九世纪40年代一直延续到二十一世纪，在裂纹扩展和结构破坏方面出现了大量成果，包括疲劳裂纹和应力腐蚀导致裂纹1968年，美国力学家和地学家J.R.Rice奠定了非线性断裂力学的基础。断裂力学中的关键参量，能量释放率G

，应力强度因子K

和

J－积分分别用来纪念Griffith,Irwin和Rice的对这一领域的贡献。

A.Griffith(1893——1963)2023/2/3838383有限元方法(FiniteElementMethod)1943年数学家RichardCourant描述了有限元的理论框架50到60年代，这一理论在几个国家独立的发展，并编制了可用于工程计算的计算机程序。代表学者有美国航空工程师M.J.Taylor和RayW.Clough，英国土木工程师J.H.Argyris和O.C.Zienkiewicz，以及中国数学家冯康有限元方法源于求解弹性力学问题，它的发展超出这一领域，成为计算力学的基本组成部分，目前又被进一步应用到材料微结构、生物力学和医学领域。有限元方法(FEM)的发明为工程领域提供了基本的计算工具2023/2/3848484最新进展：大变形弹性理论是经典弹性力学未开发的处女地橡胶之类的高分子材料的广泛应用使得建立弹性大变形理论成为必需1960年，英国应用数学家和工程师RonaldS.Rivlin给出了拉伸、扭转、弯曲和翻转在弹性大变形下的解。他还致力于各向同性弹性的张量表示理论，提出著名的Rivlin-Ericksen定理。他的其他贡献还包括提出Mooney-Rivlin理论，精确地描述了橡胶弹性2023/2/3858585力学是最早形成科学体系的一门学科。物理学的建立是从力学开始的，当物理学摆脱力学发展时，力学则在工程技术的推动下按自身逻辑进一步演化，最终，力学和物理学各自发展成为自然学科中两个相互独立的、自成体系的学科分类。力学既是基础科学又是技术科学的二重性，为沟通人类认识自然和改造自然两个方面作出了突出贡献，力学工作者为此而自豪。2023/2/38686连续性假设说明：1、工程材料都是非连续的，但其非连续性通常表现在细观甚至微观尺度，空隙的尺度远远小于研究物体的尺度，从宏观上，可以近似认为是连续的2、对于宏观尺度的非连续性问题，是弹性力学的研究范畴假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙物理量连续，用坐标的连续函数描述保证中极限的存在2023/2/3871.连续性假设

——假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质所充满，各个质点之间不存在任何空隙。——变形后仍然保持连续性，不出现开裂和重叠。根据这一假设，物体所有物理量，例如位移、应变和应力等均为空间坐标的连续函数。2023/2/3881.连续性假定

该假定在研究物体的宏观力学特性时，与工程实际吻合较好；研究物体的微观力学性质时不适用。使得σ、ε、u

等量表示成坐标的连续函数。保证中极限的存在。2023/2/38989完全弹性假设应力-应变关系是线性、单值的常系数微分方程说明：1、脆性材料：在应力未超过比例极限时，可近似为完全弹性体2、塑性材料：在应力未达到屈服极限时，可近似为完全弹性体3、非线性弹性体、非弹性体的问题，不是弹性力学的研究范畴假定物体完全服从胡克定律，应变和引起该应变的那个应力分量成比例，且比例系数为常数2023/2/3902.完全弹性假设——对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称为完全弹性材料。完全弹性分为线性和非线性弹性，弹性力学研究限于线性的应力与应变关系。2023/2/39191均匀性假设假设整个物体是由同一材料组成的各部分弹性相同、弹性常数与坐标无关微元代表整体说明：1、工程材料都是非均匀的，但其非均匀性通常表现在细观甚至微观尺度，从宏观上，可以近似认为是均匀的2、对于宏观非均匀的材料，弹性力学的研究方法仍然适用，但基本方程将有所不同2023/2/3923.均匀性假设

——假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因此物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。——物体的弹性性质处处都是相同的。工程材料，例如混凝土颗粒远远小于物体的的几何形状，并且在物体内部均匀分布，从宏观意义上讲，也可以视为均匀材料。弹性常数（E、μ）——不随位置坐标而变化；取微元体分析的结果可应用于整个物体。2023/2/39393各向同性假设弹性常数与方向无关说明：1、一般工程材料，都在不同的尺度上表现出或强或弱的各向异性，但在很多时候，可以忽略各向异性的影响，尤其是各项异性主要表现在微观尺度上的时候2、对于宏观各项异性弹性体，可以应用弹性力学的研究方法物体内一点的弹性所有各个方向均相同2023/2/3944.各向同性假设——假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质，这就是说物体的弹性常数将不随坐标方向的改变而变化。

——宏观假设，材料性能是显示各向同性。如金属材料.当然，像木材，竹子以及纤维增强材料等，属于各向异性材料。这些材料的研究属于复合材料力学研究的对象。弹性常数（E、μ）——不随坐标方向而变化；2023/2/395

材料的均匀性假设与各向同性假设的区别

均匀性和各向同性是完全不同的性质，不应混淆。如用矢量的长短来表示材料某力学性能的强弱，则图a表示均匀而非各向同性的材料；图b表示各向同性而非均匀的材料；图c表示均匀且各向同性的材料。(a)(b)(c)2023/2/39696小位移和小形变假设建立变形后的平衡方程时，可以用变形前的尺寸代替而不因其显著的误差假定位移均远远小于物体原来的尺寸假定正应变和剪应变均远远小于1应变和转角的二次幂或乘积均可略去方程线性化2023/2/3975.小变形假设——假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下，物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。即物体受力后物体内各点位移远远小物体的原来的尺寸。——在弹性体的平衡等问题讨论时，可以不考虑因变形所引起的尺寸变化。可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。——建立方程时，可略去位移、应变和应力等分量的高阶小量，使基本方程成为线性的偏微分方程组。2023/2/398——假设物体处于自然状态，即在外界因素作用之前，物体内部没有应力。弹性力学求解的应力仅仅是荷载或温度变化而产生的。若存在初应力，理论求得的应力应叠加初应力才是实际应力。6.无初始应力的附加假设2023/2/399扭转问题的附加假设柱体扭转横截面翘曲自由扭转——翘曲不受限制-等翘曲刚性转动假设约束扭转——翘曲受到限制-轴向力弹性力学讨论自由扭转2023/2/3100弹性力学的基本方法与思路

弹性力学有应力、应变和位移三大类变量，它所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。2023/2/3101弹性力学的基本方法与思路1.应力的概念弹性体受外力以后，其内部将发生应力。为了描述弹性体内某一点P的应力，在这一点从弹性体内割取一个微小的平行六面体PABC，它的六面分别垂直于相应的坐标轴，如图1。2023/2/3102弹性力学的基本方法与思路从图中看出：将每一面上的应力分解为一个正应力和两个剪应力，分别与三个坐标轴平行。正应力用字母σ表示。为了表明这个正应力的作用面和作用方向，加上一个下标，例如：正应力σx是作用在垂直于x轴的面上同时也沿着x轴方向作用的。2023/2/3103弹性力学的基本方法与思路剪应力用字母τ表示，并加上两个下标，前一个下标表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个下标表明作用方向沿着哪一个坐标轴。例如：剪应力τxy是作用在垂直于x轴的面上而沿着y轴方向作用的。2023/2/3104弹性力学的基本方法与思路应力的正负方向的判定如果某一个面上的外法线是沿着坐标轴的正方向，这个面上的应力就以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。相反，如果某一个面上的外法线是沿坐标轴的负方向，这个面上的应力就以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。2023/2/3105弹性力学的基本方法与思路剪应力互等定律根据微小平行六面体的平衡条件，作用在两个互相垂直的面上并且垂直于该两面交线的剪应力是互等的(大小相等，正负号也相同)。即：2023/2/3106弹性力学的基本方法与思路考虑到通过弹性体中的一点总可做出三个相互垂直的坐标平面，所以总共可得九个应力分量。即σx，τxy，τxz，σy，τyx，τyz，σz，τzx，τzy。由于剪应力互等，只有σx，σy，σz，τxy，τyz，τzx六个应力分量是独立的。2023/2/3107弹性力学的基本方法与思路因此，这六个量可以完全确定该点的应力状态，它们就成为在该点的应力分量。一般说来，弹性体内各点的应力状态都不相同，因此，描述弹性体内应力状态的上述六个应力分量并不是常量，而是坐标x，y，z的应力函数。2023/2/3108弹性力学的基本方法与思路6个应力分量的总体，可用如下应力矢量（或列阵）来表示：2023/2/3109弹性力学的基本方法与思路2.应变的概念为了描述弹性体内任一点P的形变，在这一点沿着坐标轴的正方向取三个微小线段PA=Δx，PB=Δy，PC=Δz。弹性体变形以后，这三个线段的长度以及它们之间的直角都将有所改变。线段的每单位长度的伸缩称为正应变，线段之间的直角的改变称为剪应变。2023/2/3110弹性力学的基本方法与思路2.应变的概念正应变正应变用字母ε表示：εx表示x方向的线段（即PA）的正应变，其余类推。正应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相对应。2023/2/3111弹性力学的基本方法与思路2.应变的概念剪应变剪应变用字母γ表示：γxy表示x与y两方向的线段（即PA与PB）之间的直角的改变，其余类推。剪应变以直角变小时为正，变大时为负，与剪应力的正负号规定相对应（正的τxy引起正的γxy，等等）。2023/2/3112弹性力学的基本方法与思路2.应变的概念应变分量如果εx，εy，εz，γxy，γyz，γzx这6个应变量在P点是巳知的，就可求得经过该点的任一微小线段的正应变，以及经过该点的任意两个微小线段之间的夹角改变，并且可求得该点的最大与最小的正应变。因此，这6个量可以完全确定该点的形变状态，它们就称为在该点的应变分量。当然，一般说来，应变分量也是坐标x，y、z的函数2023/2/3113弹性力学的基本方法与思路2.应变的概念6个应变分量的总体，可用应变矢量表示：2023/2/3114弹性力学的基本方法与思路3.位移的概念弹性体在受外力以后，还将发生位移和形变，也就是位置的移动和形状的改变。

弹性体内任一点的位移，用它在坐标轴x，y、z上的投影u，v，w来表明，以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称为该点的位移分量。当然，一般说来，位移分量也是坐标x，y、z的函数。2023/2/3115弹性力学的基本方法与思路4.位移、应力、应变之间的相互关系几何方程应变分量与位移分量之间有一定的几何关系。这就是所谓几何方程。2023/2/3116弹性力学的基本方法与思路4.位移、应力、应变之间的相互关系几何方程6个几何方程的总体可以用一个矩阵方程来表示2023/2/3117弹性力学的基本方法与思路4.位移、应力、应变之间的相互关系几何方程由几何方程可见，当弹性体的位移分量完全确定时，应变分量是完全确定的。反过来，当应变分量是完全确定，位移分量却不完全确定。这是因为，具有确定形状的物体，可能发生不同的刚体位移。2023/2/3118弹性力学的基本方法与思路4.位移、应力、应变之间的相互关系几何方程例如，令2023/2/3119弹性力学的基本方法与思路4.位移、应力、应变之间的相互关系几何方程积分以后，得2023/2/3120弹性力学的基本方法与思路4.位移、应力、应变之间的相互关系几何方程式中u0、v0、w0、wx

、wy

、wz是积分常数。其物理意义表示的位移分量，是当应变分量为零时的位移，即与变形无关的位移，显然此种位移必然是物体的刚体位移。由几何关系不难证明：u0、v0、w0代表弹性体沿坐标轴的刚体平动，wx、wy、wz代表弹性体绕坐标轴的刚体转动。2023/2/3121弹性力学的基本方法与思路4.位移、应力、应变之间的相互关系几何方程为了完全确定弹性体的位移，必须有6个适当的约束条件来确定这6个刚体位移。2023/2/3122弹性力学的基本方法与思路4.位移、应力、应变之间的相互关系物理方程假定弹性体是连续的，均匀的，完全弹性的，而且是各向同性的。这样，应力分量与应变分量之间的关系式就是：物理方程.其第一种形式为：2023/2/3123弹性力学的基本方法与思路4.位移、应力、应变之间的相互关系物理方程

式中的：E是拉压弹性模量(或简称为弹性模量)，G是剪切弹性模量，μ是泊松比，三者之间有如下的关系：2023/2/3124弹性力学的基本方法与思路4.位移、应力、应变之间的相互关系物理方程物理方程另一种形式为：2023/2/3125弹性力学的基本方法与思路4.位移、应力、应变之间的相互关系物理方程简写成为：其中的[D]称为弹性矩阵。2023/2/3126弹性力学的基本方法与思路5.外力与应力之间的相互关系平衡方程----虚功及虚功方程设有受外力作用的弹性体，如图。它在i点所受的外力沿坐标轴分解为分量Ui

、Vi、Wi，在j点所受的外力沿坐标轴分解为分量Uj、Vj、Wj，等等，总起来用列阵{F}表示，而这些外力引起的应力用列阵{σ}表示。2023/2/3127弹性力学的基本方法与思路5.外力与应力之间的相互关系平衡方程----虚功及虚功方程2023/2/3128弹性力学的基本方法与思路5.外力与应力之间的相互关系平衡方程----虚功及虚功方程现在，假设弹性体发生了某种虚位移，与各个外力分量相应的虚位移分量为ui*、vi*，wi*，uj*，vj*，wj*，等等，总起采用列阵{δ*}表示，而引起的虚应变用列阵{ε*}表示。2023/2/3129弹性力学的基本方法与思路5.外力与应力之间的相互关系平衡方程----虚功及虚功方程这个虚位移和虚应变一般并不是上述实际外力引起的，更多的是我们为了分析问题而假想在弹性体中发生的。2023/2/3130弹性力学的基本方法与思路5.外力与应力之间的相互关系平衡方程----虚功及虚功方程虚位移原理把虚位移原理应用于连续弹性体，可以导出这样的引理：如果在虚位移发生之前，弹性体是处于平衡状态，那末，在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功就等于(整个弹性体内)应力在虚应变上的虚功。2023/2/3131弹性力学的基本方法与思路5.外力与应力之间的相互关系平衡方程----虚功及虚功方程

在虚位移发生时，外力在虚位移上的虚功是：2023/2/3132弹性力学的基本方法与思路5.外力与应力之间的相互关系平衡方程----虚功及虚功方程在弹性体的单位体积内，应力在应变上的虚功是：2023/2/3133弹性力学的基本方法与思路5.外力与应力之间的相互关系平衡方程----虚功及虚功方程因此，在整个弹性体内，应力在虚应变上的虚功是：2023/2/3134弹性力学的基本方法与思路5.外力与应力之间的相互关系平衡方程----虚功及虚功方程由上述推理得到

这就是弹性体的虚功方程，它通过虚位移和虚应变表明外力与应力之间的关系。

2023/2/3135弹性力学的基本方法与思路6.两种平面问题任何实际问题都是空间问题，都必须考虑所有的位移分量、应变分量和应力分量。但是，如果所考虑的弹性体具有特殊的形状，并且承受的是特殊外力，就有可能把空间问题简化为近似的平面问题，不考虑某些位移分量、应变分量或应力分量。这样处理，分析和计算的工作量将大大地减少2023/2/3136弹性力学的基本方法与思路6.两种平面问题平面应力问题设有很薄的均匀薄板，如图，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。例如平板坝的甲板支墩，以及图中所示的深梁，都属于此类。2023/2/3137弹性力学的基本方法与思路6.两种平面问题平面应力问题设薄板的厚度为t。以薄板的中面为xy面，以垂直于中面的任一直线为z轴。由于板面上不受力，所以有:2023/2/3138弹性力学的基本方法与思路6.两种平面问题平面应力问题因为板很薄，外力又不沿厚度变化，所以，可以认为在整个薄板的所有各点都有:2023/2/3139弹性力学的基本方法与思路6.两种平面问题平面应力问题这样就只剩下平行于xy面的三个应力分量，即σx，σy

，τxy，所以这种问题就称为平面应力问题。2023/2/3140弹性力学的基本方法与思路6.两种平面问题平面应力问题应力的矩阵表示简化为2023/2/3141弹性力学的基本方法与思路6.两种平面问题平面应力问题由物理方程中的第三式可见2023/2/3142弹性力学的基本方法与思路6.两种平面问题平面应力问题εz一般不等于零,可由σx及σy求得，在分析问题时不必考虑。于是只需考虑三个形变分量εx、εy、γxy。2023/2/3143弹性力学的基本方法与思路6.两种平面问题平面应力问题物理方程简化为:2023/2/3144弹性力学的基本方法与思路6.两种平面问题平面应力问题可以简写成为2023/2/3145弹性力学的基本方法与思路6.两种平面问题平面应变问题设有无限长的柱形体，它的横截面如图所示，在柱面上受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力，同时，体力也平行于横截面而且不沿长度变化。2023/2/3146弹性力学的基本方法与思路6.两种平面问题平面应变问题此外，在这一情况下，由于对称(任一横截面都可以看做对称面)，所有各点都只会有x和y方向的位移而不会有z方向的位移．即w=0。因此，这种问题称为平面位移问题，但在习惯上常常称为平面应变问题。2023/2/3147弹性力学的基本方法与思路6.两种平面问题平面应变问题以任一横截面为xy面，任一纵线为z轴，则所有一切应力分量、应变分量和位移分量都不沿z方向变化，它们都只是x和y的函数。2023/2/3148弹性力学的基本方法与思路6.两种平面问题平面应变问题既然w=0，而且u及v又只是x和y的函数，由几何方程可见εz=γyz=γzx=0。于是只剩下三个应变分量εx、εy、γxy。2023/2/3149弹性力学的基本方法与思路6.两种平面问题平面应变问题由物理方程中的后两式可见τyz=0，τzx=0（因为γyz=0，γzx=0）又由物理方程中的第三式可见（因为εz=0）2023/2/3150弹性力学的基本方法与思路6.两种平面问题平面应变问题由物理方程中的后两式可见τyz=0，τzx=0（因为γyz=0，γzx=0）又由物理方程中的第三式可见（因为εz=0）2023/2/3151弹性力学的基本方法与思路6.两种平面问题平面应变问题虽然σz一般并不等于零，但它可以由σx及σy求得，在分析问题时不必考虑。于是也就只有三个应力分量σx，σy，τxy需要考虑。这样，物理方程就简化为:2023/2/3152弹性力学的基本方法与思路6.两种平面问题平面应变问题2023/2/3153弹性力学的基本方法与思路6.两种平面问题平面应变问题注意对于两种平面问题，物理方程的形式都是一样的。但是，对于平面应力情况下的弹性矩阵[D]却不同于对于平面应变情况下的弹性矩阵[D]。2023/2/3154弹性力学的基本方法与思路7.轴对称问题弹性体的几何形状、约束情况、以及所受的外力，都是绕某一轴对称的(通过这个轴的任一平面都是对称面)，则所有的应力、形变和位移也就对称于这一轴。这种问题称为轴对称问题。2023/2/3155弹性力学的基本方法与思路7.轴对称问题在描述轴对称问题中的应力和形变时，用圆柱坐标r,θ,z比用直角坐标x,y,z方便。如果以弹性体的对称轴为z轴，则所有的应力分量、形变分量和位移分量都将只是r和z的函数，不随θ而变。2023/2/3156弹性力学的基本方法与思路7.轴对称问题用相距Δr的两个圆柱面，互成Δθ角的两个铅垂面和相距Δz的两个水平面，从弹性体割取一个微小六面体，如图。2023/2/3157弹性力学的基本方法与思路7.轴对称问题沿r方向的正应力，称为径向正应力，用σr代表；沿θ方向的正应力，称为环向正应力，用σθ代表；沿z方向的正应力，称为轴向正应力，用σz代表；2023/2/3158弹性力学的基本方法与思路7.轴对称问题在垂直于z轴的面上而沿r方向作用的剪应力用τzr代表；在圆柱面上而沿z方向作用的剪应力用τrz代表；根据剪应力互等定律，τzr=τrz，以后统一用τzr代表。2023/2/3159弹性力学的基本方法与思路7.轴对称问题根据对称条件，其余的剪应力分量τrθ=τθr及τθz=τzθ都不存在。这样，总共只有四个应力分量σr,σθ,σz,τzr需要考虑。相应的形变分量也只有四个：εr,εθ,εz,γzr。2023/2/3160弹性力学的基本方法与思路7.轴对称问题轴对称问题中的应力及应变定义为:2023/2/3161弹性力学的基本方法与思路7.轴对称问题

弹性体内任意一点的位移，可以分解为两个分量：沿r方向的位移分量，称为径向位移，用u代表；沿z方向的位移分量，称为轴向位移，用w代表；由于对称，不会有θ方向的位移（环向位移）。2023/2/3162弹性力学的基本方法与思路7.轴对称问题根据几何关系，可以导出形变分量和位移分量之间的关系式，即几何方程为：2023/2/3163弹性力学的基本方法与思路7.轴对称问题物理方程可以根据虎克定律直接写出2023/2/3164弹性力学的基本方法与思路7.轴对称问题它仍然可以写成如下简单形式：[D]为弹性矩阵。2023/2/3165直角坐标下平面问题的多项式解答要点——逆解法、半逆解法弹性力学求解问题的基本方法和思路2023/2/3166

多项式解法适用性：由一些直线边界构成的弹性体。目的：考察一些简单多项式函数作为应力函数φ(x,y)

，能解决什么样的力学问题。——逆解法其中：a、b、c

为待定系数。检验φ(x,y)

是否满足双调和方程：显然φ(x,y)

满足双调和方程，因而可作为应力函数。（1）1.

一次多项式（2）（3）对应的应力分量：若体力：X=Y=0，则有：2023/2/3167结论1：（1）（2）一次多项式对应于无体力和无应力状态；在该函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。2.

二次多项式（1）其中：a、b、c

为待定系数。(假定：X=Y=0;a>0,b>0,c>0)检验φ(x,y)

是否满足双调和方程，显然有（2）(可作为应力函数)（3）由式（2-26）计算应力分量：xy2c2c2a2a结论2：二次多项式对应于均匀应力分布。xy2023/2/3168xy试求图示板的应力函数。例：xy3.

三次多项式（1）其中:a、b、c

、d为待定系数。检验φ(x,y)

是否满足双调和方程，显然有（2）(可作为应力函数)(假定：X=Y=0)（3）由式（2-26）计算应力分量：结论3：三次多项式对应于线性应力分布。2023/2/3169讨论：可算得：xy1ll图示梁对应的边界条件：MM可见：——对应于矩形截面梁的纯弯曲问题应力分布。常数d与弯矩M的关系：(1)由梁端部的边界条件：(2)可见：此结果与材力中结果相同，说明材力中纯弯曲梁的应力结果是正确的。2023/2/3170xy1llMM说明：(1)组成梁端力偶M

的面力须线性分布，且中心处为零，结果才是精确的。(2)若按其它形式分布，如：则此结果不精确，有误差；但按圣维南原理，仅在两端误差较大，离端部较远处误差较小。(3)当l

远大于h

时，误差较小；反之误差较大。4.

四次多项式（1）检验φ(x,y)

是否满足双调和方程（2）代入：得2023/2/3171可见，对于函数：其待定系数，须满足下述关系才能作为应函数：（3）应力分量：——应力分量为x、y的二次函数。（4）特例：（须满足：a+e=0）2023/2/3172总结：（多项式应力函数的性质）

（1）多项式次数n

<4时，则系数可以任意选取，总可满足。多项式次数n

≥4时，则系数须满足一定条件，才能满足。多项式次数n

越高，则系数间需满足的条件越多。（2）一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式，对应于线性分布应力。（3）2023/2/3173（4）用多项式构造应力函数φ(x,y)

的方法——逆解法（只能解决简单直线应力边界问题）。按应力求解平面问题，其基本未知量为：，本节说明如何由求出形变分量、位移分量？问题：2023/2/3174以纯弯曲梁为例，说明如何由求出形变分量、位移分量？xyl1hMM1.

形变分量与位移分量由前节可知，其应力分量为：平面应力情况下的物理方程：（1）形变分量(a)将式（a）代入得：(b)（2）位移分量将式（b）代入几何方程得：(c)2023/2/3175（2）位移分量(c)将式（c）前两式积分，得：(d)将式(d)代入(c)中第三式，得：式中：为待定函数。整理得：（仅为x的函数）（仅为y的函数）要使上式成立，须有(e)式中：ω为常数。积分上式，得将上式代入式（d），得(f)2023/2/3176（1）(f)讨论：式中：u0、v0、ω

由位移边界条件确定。当x=x0=常数（2）位移分量xyl1hMM——u关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。说明：

同一截面上的各铅垂线段转角相同。横截面保持平面——材力中“平面保持平面”的假设成立。2023/2/3177（2）将下式中的第二式对x求二阶导数：说明：在微小位移下，梁纵向纤维的曲率相同。即——材料力学中挠曲线微分方程2023/2/31782.

位移边界条件的利用（1）两端简支(f)其边界条件：将其代入(f)式，有将其代回(f)式，有(3-3)梁的挠曲线方程：——与材力中结果相同2023/2/3179（2）悬臂梁(f)边界条件h/2h/2由式（f）可知，此边界条件无法满足。边界条件改写为：（中点不动）（轴线在端部不转动）代入式（f），有可求得：2023/2/3180（2）若为平面应变问题，则将材料常数E、μ作相应替换。（3）若取固定端边界条件为：h/2h/2（中点不动）（中点处竖向线段转角为零）得到：求得：此结果与前面情形相同。（为什么？）2023/2/3181（1）(2-27)（2）然后将代入式（2-26）求出应力分量：先由方程（2-27）求出应力函数：(2-26)（3）再让满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。按应力求解平面问题的基本步骤：按应力求解平面问题的方法：逆解法（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设各种满足相容方程（2-27）的φ(x,y)

的形式；（2）然后利用应力分量计算式（2-26），求出（具有待定系数）；（3）再利用应力边界条件式（2-18），来考察这些应力函数φ(x,y)

对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数φ(x,y)

可以求解什么问题。2023/2/3182（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应力分量的某种函数形式；（2）根据与应力函数φ(x,y)的关系及，求出φ(x,y)

的形式；（3）最后利用式（2-26）计算出并让其满足边界条件和位移单值条件。——半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。半逆解法位移分量求解：（1）将已求得的应力分量（2）（3）代入物理方程，求得应变分量将应变分量代入几何方程，并积分求得位移分量表达式；由位移边界条件确定表达式中常数，得最终结果。2023/2/3183

简支梁受均布载荷要点——用半逆解法求解梁、长板类平面问题。xyllqlql1yzh/2h/2q1.

应力函数的确定(1)分析：——主要由弯矩引起；——主要由剪力引起；——由q引起（挤压应力）。又∵q=常数，图示坐标系和几何对称，∴不随x变化。推得：(2)由应力分量表达式确定应力函数的形式：积分得：(a)(b)——任意的待定函数2023/2/3184(3-4)h/2h/2挠曲线方程：与材料力学中结果相同说明：（1）求位移的过程：（a）将应力分量代入物理方程（b）再将应变分量代入几何方程（c）再利用位移边界条件，确定常数。2023/2/3185xyllqlql1yzh/2h/2q(a)(b)——任意的待定函数(3)由确定：代入相容方程：2023/2/3186xyllqlql1yzh/2h/2q方程的特点：关于x的二次方程，且要求－l≤x≤l内方程均成立。由“高等代数”理论，须有x的一、二次的系数、自由项同时为零。即：对前两个方程积分：(c)此处略去了f1(y)中的常数项对第三个方程得：积分得：(d)2023/2/3187(c)(d)xyllqlql1yzh/2h/2q(a)(b)将(c)(d)代入(b)，有(e)此处略去了f2(y)中的一次项和常数项式中含有9个待定常数。2023/2/3188(e)2.

应力分量的确定(f)(g)(h)2023/2/31893.

对称条件与边界条件的应用（1）对称条件的应用：xyllqlql1yzh/2h/2q由q对称、几何对称：——x的偶函数——x的奇函数由此得：要使上式对任意的y成立，须有：2023/2/3190xyllqlql1yzh/2h/2q（2）边界条件的应用：(a)上下边界（主要边界）：由此解得：代入应力公式2023/2/3191xyllqlql1yzh/2h/2q(i)(j)(k)(b)左右边界（次要边界）：（由于对称，只考虑右边界即可。）——难以满足，需借助于圣维南原理。静力等效条件：轴力N=0；弯矩M=0；剪力Q=－ql；2023/2/3192(i)(j)(k)可见，这一条件自动满足。2023/2/3193xyllqlql1yzh/2h/2q(p)截面上的应力分布：三次抛物线2023/2/3194xyllqlql1yzh/2h/2q(p)4.

与材料力学结果比较材力中几个参数：截面宽：b=1,截面惯矩：静矩：弯矩：剪力：将其代入式(p)，有（3-6）2023/2/3195xyllqlql1yzh/2h/2q（3-6）比较，得：（1）第一项与材力结果相同，为主要项。第二项为修正项。当h/l<<1，该项误差很小，可略；当h/l较大时，须修正。（2）为梁各层纤维间的挤压应力，材力中不考虑。（3）与材力中相同。注意：按式（3-6），梁的左右边界存在水平面力：说明式（3-6）在两端不适用。2023/2/3196解题步骤小结：（1）（2）（3）根据问题的条件：几何特点、受力特点、约束特点（面力分布规律、对称性等），估计某个应力分量（）的变化形式。由与应力函数的关系式（2-26），求得应力函数的具体形式（具有待定函数）。（4）（5）将具有待定函数的应力函数代入相容方程：确定中的待定函数形式。由与应力函数的关系式（2-26），求得应力分量。由边界条件确定中的待定常数。用半逆解法求解梁、矩形长板类弹性力学平面问题的基本步骤：2023/2/3197应力函数法求解平面问题的基本步骤：（1）(2-27)（2）然后将代入式（2-26）求出应力分量：先由方程（2-27）求出应力函数：(2-26)（3）再让满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。求解方法：逆解法（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设各种满足相容方程（2-27）的φ(x,y)

的形式；（2）然后利用应力分量计算式（2-26），求出（具有待定系数）；（3）再利用应力边界条件式（2-18），来考察这些应力函数φ(x,y)

对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数φ(x,y)

可以求解什么问题。2023/2/3198——半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应力分量的某种函数形式；（2）根据与应力函数φ(x,y)的关系及，求出φ(x,y)

的形式；（3）最后利用式（2-26）计算出并让其满足边界条件和位移单值条件。半逆解法位移分量求解：（1）将已求得的应力分量（2）（3）代入物理方程，求得应变分量将应变分量代入几何方程，并积分求得位移分量表达式；由位移边界条件确定表达式中常数，得最终结果。2023/2/31991.

应力函数的确定(1)分析：——主要由弯矩引起；——主要由剪力引起；——由q引起（挤压应力）。又∵q=常数，图示坐标系和几何对称，∴不随x变化。推得：(2)由应力分量表达式确定应力函数的形式：积分得：(a)(b)——任意的待定函数简支梁受均布载荷xyllqlql1yzh/2h/2q2023/2/3200(e)xyllqlql1yzh/2h/2q2023/2/32012.

应力分量的确定(f)(g)(h)3.

由边界条件确定待定常数xyllqlql1yzh/2h/2q2023/