暨大微积分高阶导数微分

§3.1引出导数概念的例题§3.2导数的概念§3.3导数的基本公式与运算法则§3.4高阶导数§3.5函数的微分第三章导数与微分§3.4高阶导数或二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数．函数的一阶导数．相应地，把的导数叫做它的导数为函数的二阶导数,记作如果导函数仍是的可导函数，则称数，记作类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，一般地函数的阶导数的导数叫做函数的阶导解:例1

求函数的二阶及三阶导数．解:因为所以例2求函数的阶导数．解之得解：方程求导数，的两边同时对的二阶导数.例3求由方程所确定的隐函数得§3.1引出导数概念的例题§3.2导数的概念§3.3导数的基本公式与运算法则§3.4高阶导数§3.5函数的微分第三章导数与微分一、微分的概念二、微分的几何意义三、微分的基本公式与运算法则四、微分的形式不变性五、微分在近似计算上的应用§3.5函数的微分

函数的导数表示函数关于自变量变化的快慢程度(变化率)．但在许多情况下，需要考察或者估算函数改变量的大小，特别是当自变量发生微小变化时函数改变量的大小．这就需要引进微分的概念．一、微分的概念引例已知正方形的面积其边长由变化到是边长的函数若正方形的面积改变的近似面积相应的改变量为:如图中蓝色部分区域即表示很微小时,当问正方形的面积改变了多少?值是多少?当边长由变化到可以把分成两部分:近似地表示即因此,当很少时，第二部分:(图中深的线性函数(图中天蓝部分)，第一部分:是时，当蓝部分)，是比较高阶的无穷小量,可用

设函数yf(x)在某区间内有定义

x0及x0Dx在这区间内如果函数的增量Dyf(x0Dx)f(x0)可表示为DyADxo(Dx)

其中A是不依赖于Dx的常数o(Dx)是比Dx高阶的无穷小那么称函数yf(x)在点x0是可微的而ADx叫做函数yf(x)在点x0相应于自变量增量Dx的微分记作dy即dyADx

微分的定义

函数f(x)在点x0可微函数f(x)在点x0可导

函数在点x0的微分一定是dyf

(x0)Dx

可微与可导的关系:yf(x)在点x0可微DyADxo(Dx)

dy=ADx

这是因为一方面

另一方面其中a0(当Dx0)且A=f(x0)是常数

aDx

o(Dx)

,

函数yf(x)在任意点x的微分称为函数的微分记作dy或df(x)即dyf

(x)Dx

例如

dcosx(cosx)Dxsinx

Dx

dex(e

x)DxexDx

自变量的微分

因为当y=x时

dy=dx=(x)Dx=Dx

所以通常把自变量x的增量Dx称为自变量的微分记作dx即dxDx

因此函数yf(x)的微分又可记作

dyf

(x)dx

例1求下列函数的微分解(1)因为所以可见,函数的导数即是函数的微分与自变量的微分的商,因此常常把导数也称为微商.的关系.它反映了函数的微分与其导数之间到注:对两边同时除以得解:解之得故例2

已知求

及并把看作的函数,得(2)

方程两边同时对求导,二、微分的几何意义当x从x0变到x0+Dx时Dy是曲线上点M的纵坐所以dy是过点(x0f(x0))的切线上点的纵坐标

当|Dx|很小时|Dydy|比|Dx|小得多因此在点M的邻近我们可以用切线段来近似代替曲线段

标的增量;而的增量.同时有根据定义，函数微分就是函数导数与自变量微分之积，所以由导数的基本公式和运算法则得到相应的微分基本公式和运算法则．

（9）

三、微分的基本公式与运算法则d(x

)

x1dx

d(sinx)cosxdx

d(cosx)sinxdx

d(tanx)sec2xdx

d(cotx)csc2xdx

d(secx)secxtanxdx

d(cscx)cscxcotxdx

d(a

x)ax

lnadx

d(e

x)exdx

(x

)

x1

(sinx)cosx

(cosx)sinx(tanx)sec2

x

(cotx)csc2x

(secx)secxtanx

(cscx)cscxcotx

(a

x)ax

lna

(ex)ex微分公式:

导数公式:

1.基本初等函数的微分公式

三、微分的基本公式与运算法则微分公式:

导数公式:

2.函数和、差、积、商的微分法则公式(uv)uv(Cu)Cu

(uv)uvuvd(uv)dudvd(Cu)Cdu

d(uv)vduudv求导法则

微分法则

所以d(uv)vduudv而udxdu

vdxdv因为d(uv)(uvuv)dxuvdxuvdxd(uv)vduudv的证明

四、微分形式的不变性

由此可见，无论是自变量还是其它变量的函数，其微分的形式均保持不变．这一性质称为微分形式的不变性．其微分为:设函数可导，当是自变量时，代入上式得而函数的微分则为复合函数,且若其微分为例3求解:解:对方程两边求微分,得dxyxdyyxy)2()23(2+=--ydyydxxdyxdxdyy2232+++=所以的微分．例4求由方程所确定的隐函数例5在下列等式左端的括号中填入适当的解:一般有函数，使等式成立.

一般有五、微分在近似计算上的应用可以用该式计算函数增量的近似值.