数理统计PPT(研究生)第

2§5.3双因素方差分析

有交互作用的双因素方差分析

无交互作用的双因素方差分析一、无交互作用的双因素方差分析1.数学模型因素因素

因素因素表5.3.1无交互作用的双因素方差分析数据表

假设相互独立，且则其中（随机误差项）独立同分布，且——总平均值引入记号显然则得到如下的线性模型

系统的分析因素和因素对试验指标的影响大小，因此，在给定的水平下，提出如下的统计假设：对因素的检验：

提出“因素对试验指标的影响不显著”即检验对因素的检验：

提出“因素对试验指标的影响不显著”即检验方差分析的任务是：方差分析的思想

试验数据的波动程度的度量指标，是否可以分解成由因素引起的部分，由因素引起的部分以及由随机误差项引起的部分；如果数据的波动主要是由因素引起和由因素引起，则我们可以认为因素与对试验指标有显著性的影响，若数据的波动主要是由随机误差引起的，则可以认为因素与对试验指标没有显著性的影响。误差平方和因素B的效应平方和因素A的效应平方和

总离差平方和的分解定理仿单因素方差分析的方法，考察总离差平方和可分解为：其中：反映因素A对试验指标的影响。反映因素

B

对试验指标的影响。反映试验误差对试验指标的影响。将的自由度分别记作

若假设成立，则：

可推得：，则对给定的检验水平，时，当时，当拒绝H01，即A因素的影响有统计意义。拒绝H02，即B因素的影响有统计意义。表5.3.2双因素（无交互作用）试验的方差分析表方差来源平方和自由度均方差F值P值因素A因素B误差总和3）是的无偏估计量；2）是的无偏估计量；1）是的无偏估计量；注意

各因素离差平方和的自由度为水平数减一，总平方和的自由度为试验总次数减一。定理一

在无交互作用的双因素方差分析模型中，有5）是的无偏估计量；4）是的无偏估计量；其中例5.3.1下面给出了在某5个不同地点，4个不同时间空气中的颗粒状物（以mg/m3计）

的含量的数据：

试在显著性水平下检验：在不同时间颗粒状物含量的均值有无显著性差异，在不同地点颗粒状物含量的均值有无显著性差异。因素B（地点）因素A(时间）2005年10月76678156513312006年1月82699659703762006年5月68596754422902008年8月63566458372782892513082272001275解表5.3.3数据表二.有交互作用的双因素方差分析

在两个因素的实验中，不但每一个因素单独对试验起作用，往往两个因素会联合起来起作用。这种作用称为两个因素的交互作用。1.数学模型

设在某试验中，有两个因素在变化，因素A有个不同的水平，因素B有个不同的水平：在水平组合下的试验结果用表示。我们假定相互独立且有共有个独立正态总体。此外，还假定在每个水平组合下进行了次重复独立试验，实验结果用表示，我们把它看作从总体中抽取的容量为的样本。表5.3.5有交互作用的双因素方差分析数据结构表有样本的定义可知，从而

与之差可以看成一个随机变量。令易知，相互独立，并且。

于是，我们可以把表示为

对这个问题首要的任务是检验假设全相等

与单因素方差分析一样，为今后讨论方便，把作形式上的改变，记

称为理论总均值，它表示所考虑的个总体的数学期望的总平均中称为因素A的第个水平对试验结果的效应；称为因素B的第个水平对试验结果的效应。易验证有记即

称为交互效应，式中是水平组合对试验结果的总效应或联合效应。在多因素试验中，通常把因素与因素对实验结果的交互效应设想为某一个新因素的效应。这个新因素记为，称它为与对试验结果的交互作用。

因此可以改写为

对于交互效应，易验证满足

我们得到（等重复试验）有交互作用的双因素方差分析模型为

其中，都是未知参数。需要检验如下假设：对因素A的检验：

提出“因素A对试验指标的影响不显著”即检验对因素B的检验：

提出“因素B对试验指标的影响不显著”即检验对因素的检验：

提出“对试验指标的影响不显著”即检验2.统计分析记

定理二（平方和分解定理）在有交互作用的双因素方差分析模型中，平方和有如下的恒等式其中，记其中称为总偏差平方和，称为误差平方和，分别称为因素A，因素B的（主效应）偏差平方和，称为交互作用的（交互效应）偏差平方和。定理三

在有交互作用的双因素方差分析模型中，有定理四

在有交互作用的双因素方差分析模型中，有1）当假设成立时，,而且与相互独立，从而2）当假设成立时，,而且与相互独立，从而3）当假设成立时，,而且与相互独立，从而表5.3.6有交互效应的双因素方差分析表方差来源平方和自由度均方差F值P值因素A因素B误差总和3）是的无偏估计量；4）是的无偏估计量；定理五

在有交互作用的双因素方差分析模型中，有1）是的无偏估计量；2）是的无偏估计量；8）是的无偏估计量；7）是的无偏估计量；6）是的无偏估计量；其中，以上5）是的无偏估计量；

试给定显著性水平，检验燃料、推进器以及它们之间的交互作用对火箭射程有无显著影响。例5.3.2

一火箭是用了4种燃料（A），3种推进器（B）作射程试验，每种燃料与每种推进器的组合做两次射程试验，得火箭射程（单位：海里）如表所示。解本节结束，谢谢！解按题意检验假设，的值已算出在上表现在由平方和表达式得到得到方差分析表如下

故拒绝即认为不同时间颗粒状物含量的均值有显著差异，也认为不同地点颗粒状物的含量的均值有显著差异。由于

表5.3.4方差分析表方差分析平方和自由度均方差F值因素A1182.953394.3210.72因素B1947.504486.8813.24误差441.301236.78总和3571.7519解需检验假设计算如表，表中括号内的数是，现在故有58.252.6(110.8)56.241.2(97.4)65.360.8(126.1)334.349.142.8(91.9)54.150.5(104.6)51.648.4(100)296.560.158.3(118.4)70.973.2(144.1)39.240.7(79.9)342.475.871.5(147.3)58.251.0(109.2)48.741.4(90.1)346.6468.4455.3396.11319.8表5.3.7数据表

由于，所以在显著性水平