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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.如图所示的程序框图输出的是126,则①应为()A. B. C. D.2.甲、乙、丙、丁四位同学利用暑假游玩某风景名胜大峡谷,四人各自去景区的百里绝壁、千丈瀑布、原始森林、远古村寨四大景点中的一个,每个景点去一人.已知:①甲不在远古村寨,也不在百里绝壁;②乙不在原始森林,也不在远古村寨;③“丙在远古村寨”是“甲在原始森林”的充分条件;④丁不在百里绝壁,也不在远古村寨.若以上语句都正确,则游玩千丈瀑布景点的同学是()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁3.在三棱锥中,,,P在底面ABC内的射影D位于直线AC上,且,.设三棱锥的每个顶点都在球Q的球面上,则球Q的半径为()A. B. C. D.4.若,则实数的大小关系为()A. B. C. D.5.执行如图所示的程序框图,若输出的结果为3,则可输入的实数值的个数为()A.1 B.2 C.3 D.46.若复数为虚数单位在复平面内所对应的点在虚轴上,则实数a为()A. B.2 C. D.7.为得到y=sin(2x-πA.向左平移π3个单位B.向左平移πC.向右平移π3个单位D.向右平移π8.设为非零向量,则“”是“与共线”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件9.复数的虚部为()A.—1 B.—3 C.1 D.210.设复数满足,则在复平面内的对应点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限11.已知抛物线:,点为上一点,过点作轴于点,又知点,则的最小值为()A. B. C.3 D.512.复数,若复数在复平面内对应的点关于虚轴对称,则等于()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.某公司生产甲、乙两种桶装产品.已知生产甲产品1桶需耗原料1千克、原料2千克;生产乙产品1桶需耗原料2千克,原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是__________元.14.在区间内任意取一个数,则恰好为非负数的概率是________.15.已知点是抛物线的焦点,,是该抛物线上的两点,若,则线段中点的纵坐标为__________.16.已知关于空间两条不同直线m、n,两个不同平面、,有下列四个命题:①若且,则;②若且,则;③若且,则;④若,且,则.其中正确命题的序号为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,,平面底面,为的中点,是棱上的点且,,,.求证:平面平面以;求二面角的大小.18.(12分)记为数列的前项和,已知,等比数列满足,.(1)求的通项公式;(2)求的前项和.19.(12分)如图所示,已知平面,,为等边三角形,为边上的中点,且.(Ⅰ)求证:面;(Ⅱ)求证:平面平面;(Ⅲ)求该几何体的体积.20.(12分)在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取相同的长度单位.已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ,直线l的参数方程为(t为参数,α为直线的倾斜角).(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C有唯一的公共点,求角α的大小.21.(12分)已知函数,且.(1)若,求的最小值,并求此时的值;(2)若,求证:.22.(10分)设函数,().(1)若曲线在点处的切线方程为,求实数a、m的值;(2)若对任意恒成立,求实数a的取值范围;(3)关于x的方程能否有三个不同的实根?证明你的结论.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】试题分析:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值,并输出满足循环的条件.解:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是累加S=2+22+…+2n的值,并输出满足循环的条件.∵S=2+22+…+21=121,故①中应填n≤1.故选B点评:算法是新课程中的新增加的内容,也必然是新高考中的一个热点,应高度重视.程序填空也是重要的考试题型,这种题考试的重点有:①分支的条件②循环的条件③变量的赋值④变量的输出.其中前两点考试的概率更大.此种题型的易忽略点是:不能准确理解流程图的含义而导致错误.2.D【解析】
根据演绎推理进行判断.【详解】由①②④可知甲乙丁都不在远古村寨,必有丙同学去了远古村寨,由③可知必有甲去了原始森林,由④可知丁去了千丈瀑布,因此游玩千丈瀑布景点的同学是丁.故选:D.【点睛】本题考查演绎推理,掌握演绎推理的定义是解题基础.3.A【解析】
设的中点为O先求出外接圆的半径,设,利用平面ABC,得,在及中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可【详解】设的中点为O,因为,所以外接圆的圆心M在BO上.设此圆的半径为r.因为,所以,解得.因为,所以.设,易知平面ABC,则.因为,所以,即,解得.所以球Q的半径.故选:A【点睛】本题考查球的组合体,考查空间想象能力,考查计算求解能力,是中档题4.A【解析】
将化成以为底的对数,即可判断的大小关系;由对数函数、指数函数的性质,可判断出与1的大小关系,从而可判断三者的大小关系.【详解】依题意,由对数函数的性质可得.又因为,故.故选:A.【点睛】本题考查了指数函数的性质,考查了对数函数的性质,考查了对数的运算性质.两个对数型的数字比较大小时,底数相同,则构造对数函数,结合对数的单调性可判断大小;若真数相同,则结合对数函数的图像或者换底公式可判断大小;若真数和底数都不相同,则可与中间值如1,0比较大小.5.C【解析】试题分析:根据题意,当时,令,得;当时,令,得,故输入的实数值的个数为1.考点:程序框图.6.D【解析】
利用复数代数形式的乘除运算化简,再由实部为求得值.【详解】解:在复平面内所对应的点在虚轴上,,即.故选D.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.7.D【解析】试题分析:因为,所以为得到y=sin(2x-π3)的图象,只需要将考点:三角函数的图像变换.8.A【解析】
根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】若,则与共线,且方向相同,充分性;当与共线,方向相反时,,故不必要.故选:.【点睛】本题考查了向量共线,充分不必要条件,意在考查学生的推断能力.9.B【解析】
对复数进行化简计算,得到答案.【详解】所以的虚部为故选B项.【点睛】本题考查复数的计算,虚部的概念,属于简单题.10.C【解析】
化简得到,得到答案.【详解】,故,对应点在第三象限.故选:.【点睛】本题考查了复数的化简和对应象限,意在考查学生的计算能力.11.C【解析】
由,再运用三点共线时和最小,即可求解.【详解】.故选:C【点睛】本题考查抛物线的定义,合理转化是本题的关键,注意抛物线的性质的灵活运用,属于中档题.12.A【解析】
先通过复数在复平面内对应的点关于虚轴对称,得到,再利用复数的除法求解.【详解】因为复数在复平面内对应的点关于虚轴对称,且复数,所以所以故选:A【点睛】本题主要考查复数的基本运算和几何意义,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.1元【解析】设分别生产甲乙两种产品为桶,桶,利润为元
则根据题意可得目标函数,作出可行域,如图所示作直线然后把直线向可行域平移,
由图象知当直线经过时,目标函数的截距最大,此时最大,
由可得,即此时最大,
即该公司每天生产的甲4桶,乙4桶,可获得最大利润,最大利润为1.【点睛】本题考查用线性规划知识求利润的最大值,根据条件建立不等式关系,以及利用线性规划的知识进行求解是解决本题的关键.14.【解析】
先分析非负数对应的区间长度,然后根据几何概型中的长度模型,即可求解出“恰好为非负数”的概率.【详解】当是非负数时,,区间长度是,又因为对应的区间长度是,所以“恰好为非负数”的概率是.故答案为:.【点睛】本题考查几何概型中的长度模型,难度较易.解答问题的关键是能判断出目标事件对应的区间长度.15.2【解析】
运用抛物线的定义将抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离,然后求解结果.【详解】抛物线的标准方程为:,则抛物线的准线方程为,设,,则,所以,则线段中点的纵坐标为.故答案为:【点睛】本题考查了抛物线的定义,由抛物线定义将点到焦点距离转化为点到准线距离,需要熟练掌握定义,并能灵活运用,本题较为基础.16.③④【解析】
由直线与直线的位置关系,直线与平面的位置关系,面面垂直的判定定理和线面垂直的定义判断.【详解】①若且,的位置关系是平行、相交或异面,①错;②若且,则或者,②错;③若,设过的平面与交于直线,则,又,则,∴,③正确;④若,且,由线面垂直的定义知,④正确.故答案为:③④.【点睛】本题考查直线与直线的位置关系,直线与平面的位置关系,面面垂直的判定定理和线面垂直的定义,考查空间线面间的位置关系,掌握空间线线、线面、面面位置关系是解题基础.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.证明见解析;.【解析】
推导出,,从而平面,由此证明平面平面以;以为原点,建立空间直角坐标系,利用法向量求出二面角的大小.【详解】解:,,为的中点,四边形为平行四边形,.,,即.又平面平面,且平面平面,平面.平面,平面平面.,为的中点,.平面平面,且平面平面,平面.如图,以为原点建立空间直角坐标系,则平面的一个法向量为,,,,,设,则,,,,,在平面中,,,设平面的法向量为,则,即,平面的一个法向量为,,由图知二面角为锐角,所以所求二面角大小为.【点睛】本题考查面面垂直的证明,考查二面角的大小的求法,考查了空间向量的应用,属于中档题.18.(1)(2)当时,;当时,.【解析】
(1)利用数列与的关系,求得;(2)由(1)可得:,,算出公比,利用等比数列的前项和公式求出.【详解】(1)当时,,当时,,因为适合上式,所以.(2)由(1)得,,设等比数列的公比为,则,解得,当时,,当时,.【点睛】本题主要考查数列与的关系、等比数列的通项公式、前项和公式等基础知识,考查运算求解能力..19.(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析;(Ⅲ).【解析】
(I)取的中点,连接,通过证明四边形为平行四边形,证得,由此证得平面.(II)利用,证得平面,从而得到平面,由此证得平面平面.(III)作交于点,易得面,利用棱锥的体积公式,计算出棱锥的体积.【详解】(Ⅰ)取的中点,连接,则,,故四边形为平行四边形.故.又面,平面,所以面.(Ⅱ)为等边三角形,为中点,所以.又,所以面.又,故面,所以面平面.(Ⅲ)几何体是四棱锥,作交于点,即面,.【点睛】本小题主要考查线面平行的证明,考查面面垂直的证明,考查四棱锥体积的求法,考查空间想象能力,所以中档题.20.(1)当时,直线l方程为x=-1;当时,直线l方程为y=(x+1)tanα;x2+y2=2x(2)或.【解析】
(1)对直线l的倾斜角分类讨论,消去参数即可求出其普通方程;由,即可求出曲线C的直角坐标方程;(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,根据条件Δ=0,即可求解.【详解】(1)当时,直线l的普通方程为x=-1;当时,消去参数得直线l的普通方程为y=(x+1)tanα.由ρ=2cosθ,得ρ2=2ρcosθ,所以x2+y2=2x,即为曲线C的直角坐标方程.(2)把x=-1+tcosα,y=tsinα代入x2+y2=2x,整理得t2-4tcosα+3=0.由Δ=16cos2α-12=0,得cos2α=,所以cosα=或cosα=,故直线l的倾斜角α为或.【点睛】本题考查参数方程化普通方程,极坐标方程化直角坐标方程,考查直线与曲线的关系,属于中档题.21.(1)最小值为,此时;(2)见解析【解析】
(1)由已知得,法一:,,根据二次函数的最值可求得;法二:运用基本不等式构造,可得最值;法三:运用柯西不等式得:,可得最值;(2)由绝对值不等式得,,又,可得证.【详解】(1),法一:,,的最小值为,此时;法二:,,即的最小值为,此时;法三:由柯西不等式得:,,即的最小值为,此时;(2),,又,.【点睛】本题考查运用基本不等式,柯西不等式,绝对值不等式进行不等式的证明和求解函数的最值,属于中档题.22.(1),;(2);(3)不能,证明见解析【解析】
(1)求出,结合导数的几何意义即可求解;(2)构造,则原题等价于对任意恒成立,即时,,利用导数求最值即可,值得注意的是,可以通过代特殊值,由求出的范围,再研究该范围下单调性;(3)构造并进行求导,研究单调性,结合函数零点存在性定理证明即可.【详解】(1),,曲线在点处的切线方程为
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