人教版初三数学下学期：锐角三角函数知识点总结及单元测试题

.初三下学期锐角三角函数学问点总结1、勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方。a2b2c22Rt△ABCCAAB)：定 义 表达式 取值范围 关 系正sinAA的对边弦 斜边

asinAc

0sinA1(∠A为锐角) sinAcosBcosAsinB余 A的邻边 b

0cosA1

sin2Acos2A1cosA弦正

斜边A的对边

cosAca

(∠AtanA0

tanAcotBtanAA的邻边

tanAb

(∠A

cotAtanB切tanA

1 (倒数)cotA余cotAA的邻边切 A的对边

bcotAa

cotA0(∠A

tanAcotA13B值。 由AB90边得B90A 斜边c a对边sinAcosBcosAsinB

sinAcos(90A) A b CcosAsin(90A) 邻边4值。tanAcotBcotAtanB

由AB90得B90A

tanAcot(90A)cotAtan(90A)..5、0°、30°、45°、60°、90°特别角的三角函数值(重要)三角函数sincostancot

0°010不存在

30°1232333

45°222211

60°3212333

90°10不存在06、正弦、余弦的增减性：0°≤≤90°时，sin随的增大而增大，cos随的增大而减小。7、正切、余切的增减性：当0°<<90°时，tan随的增大而增大，cot随的增大而减小。1、解直角三角形的定义：边和角〔两个，其中必有一边〕→全部未知的边和角。角关系：三角函数的定义。(留意：尽量避开使用中间数据和除法)2、应用举例：

视线仰角 水平线 h ih:l俯角视线 l α坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度(坡比)。用字母i表示，即i

h。坡度一般写成1:m的形式，如i1:5等。l..把坡面与水平面的夹角记作(叫做坡角)，那么ihl

tan。3、从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角。如图OBOC225°。4、指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角。如图4,OA、OB、OC、OD的方向角分别是：北偏东〕， 南偏东，南偏西， 北偏西。锐角三角函数单元测试一、选择题〔每题3分，共30分〕在Rt△ABC中，∠C=90°，以下式子不肯定成立的是〔 〕A．sinA=sinB B．cosA=sinB C．sinA=cosB D．∠A+∠B=90°2．在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A的三角函数值〔 〕A扩大3倍 B缩小3倍 C 都不变 D有的扩大，有的缩小在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A和a时，求c，应选择的关系式是〔 〕c= ac= ac=a·tanA D．c=a·cotAsinA cosA4、假设tan(α+10°)= 3，则锐角α的度数是( )A、20° B、30° C、35° D、50°..△ABC中，∠C=90°，设sinA=m，当∠A是最小的内角时，m的取值范围是〔 〕1 m B．0＜m＜

3C．0＜m＜

3D．0＜m＜0＜

＜2 2 3 2小明沿着坡角为30°的坡面对下走了2米，那么他下降〔 〕米 B． 3米 C．2

2 33米 D． 3 米4Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ，BC=8，则AC等于〔 〕332A．6 B． 3

C．10 D．12B8．sin2＋sin2(90°－)(0°＜＜90°〕等于〔 〕A 0 B 1 C 2 D 2sin29．如图，在△ABCC=90°，AC=8cm，ABMN

NC D M〔9题〕3ACDBD，假设cos∠BDC=5

，则BC的长是〔 〕A、4cm B、6cm C、8cm D、10cm10．以直角坐标系的原点O为圆心以1为半径作圆假设点P是该圆上第一象限内的一点，且P与x轴正方向组成的角为，则点P的坐标为〔 〕A(cosα,1) B(1,sinα) C(sinα,cosα) D(cosα,sinα)〔附加小阳觉察电线杆B的影子落在土坡的坡面D和地面C上量得8米米，CD与地面成30º角，且此时测得1米杆的影长为2米，则电线杆的高度为( )A9米 ．8米 〔每题3分，共0分〕3

3〕米 2 〕米ADCB〔附加题〕∠A是锐角，且sinA=

，那么∠A＝ .α为锐角，且sinα=cos500，则α＝ ...3．3tanA- 3=0，则∠A＝ .在△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝3，则cosA＝ ，sinB＝ ，tanB＝ ．直角三角形ABC的面积为24cm2，直角边AB为6cm，∠A是锐角则sinA＝ .5tanα＝ ，α是锐角，则sinα＝ .12如图，在坡度为1:2的山坡上种树，要求株距〔相邻两树间的水平距离〕是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米。8．cos2(50°＋)＋cos2(40°－)－tan(30°－)tan(60°＋)＝ .C等腰三角形底边长10cm，周长为36cm，则一底角的正切值为 .A O B如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，且AB＝5，BC＝3．则sin∠BAC= ；sin∠ADC= ．

D〔10题〕〔附加〕如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距 MN地面的垂直距离MA为a米，此时，梯子的倾斜角为75°，假设梯子底端不动，顶端靠在对面墙上N，此时梯子顶端距地面的垂直距离B为b米梯子的倾斜角5则这间房子的宽B是 米三、解答题〔共60分〕〔每题5分，共0分：

75° 45°A BC〔附加题〕(1)4sin30°－ 2cos45°＋ 3tan60° (2)tan30°sin60°＋cos230°－sin245°tan45°..2、(8分)在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，c＝8 3，∠A＝60°，解这个直角三角形．38分〕如图，一个等腰梯形的燕尾槽，外口D宽，燕尾槽深，B的坡度i=1:1BCA D..48分D中E为DEE对折，DAB边上的F处，求tan∠AFE？A F BED C58分〕〔中C两段3243AB与C的长度之和〔结果保存到01．〔参考数据sin30°≈0.50，cos30°≈0.87，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82〕C EC B 35°B D C′A① 30°B′ A②..68分〕如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔0海里的A处，它沿P的南东34°方向上的B处。这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远〔准确到1海里〕？〔参考数据：sin65°≈0.91,cos65°≈0.42，tan65°≈2.14，sin34°≈0.56,cos34°≈0.83，tan34°≈0.67〕A65°P C34B70分〕如图山脚下有一棵树，小强从点B沿山坡向上走m到达点，用高为..1.5m的测角仪CD测得树顶的仰角为10°,山坡的坡角为15°,求树AB的高.(准确到0.1m)〔参考数据：sin10°≈0.17，cos10°≈0.98，tan10°≈0.18，sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27)AC 10°ED15°P B..28章锐角三角函数单元测试(参考答案)..一、选择题:1．A 2．C 3．A 4．D 5．B 6．A 7．A 8．B 9．A 10．D 〔附加题:D〕二、填空题：3 3 3 3 3 4 51．60° 2．40° 3．30° 4．13

；13；2

5． 6． 7．3 55 138．0

12 3 4

〔附加题:a〕9．5

10． ；5 5三、解答题：11〕解：原式4× 2

22×2＋

3× 3＝2－1＋3＝43 3 3 2 1 3 1 3〔2〕解：原式=3

×2＋(2

)2－(2

)2×1＝＋－＝2 4 2 42.解：∵∠A＝60° ∴∠B＝90°－∠A＝30°b 1c 1∴ ＝ ＝×8 3＝4 32 2∴a＝ c2－b2＝ (8 3)2－(4 3)2＝12解：如图，作DF⊥BC于点F．由条件可得四边形AEFD是矩形，AD=EF=10．∵AB1:1，∴

AE A DBE＝1，∴BE=10．同理可得CF=10．∴里口宽BC＝BE+EF+FC＝30cm．1∴截面积为 ×〔10+30〕×10=2002

cm2解：由题意可知∠EFC＝∠D＝90°，CF＝CD＝10∴∠AFE＋∠BFC＝90°∵∠BCF＋∠BFC＝90°

A F BE. D C.∴∠AFE＝∠BCF在Rt△CBF∠B＝90°，CF＝10，BC＝8∴BF＝ CF2－BC2＝ 102－82＝6BF 6 3CF∴tan∠BCF＝ ＝＝CF8 43∴tan∠AFE＝tan∠BCF＝45．解：在Rt△AB′B中，∠AB′B＝90°，∠B′AB＝30°，B′B＝3.2B′B∵sin30°＝AB0.5B′B 3.20.5AB＝

sin30°＝ ≈6.4在Rt△BC′C中，∠BC′C＝90°，∠CBC′＝35°，BC′＝4.3BC′∵cos35°＝BCBC′

4.3BC＝

cos35°≈0.82≈5.24∴AB＋BC＝6.4＋5.24＝11.6〔m〕答：两段楼梯AB与BC11.6m.6Rt△ACP∠ACP＝90°，∠A＝65°，AP＝80PC∵sinA＝AP∴PC＝APsinA＝80×sin65°≈80×0.91≈72.8在Rt△BCP∠BCP＝90°，∠B＝34°，PC＝72.8..PC∵sinB＝PBPC 72.8 72.8PB＝ PB＝ ≈ ≈130〔海里〕sinB sin34° 0.56答：这时，海轮所在的B处距离灯塔P约有130海里.7CD交PB于F，则DF⊥PB

AC 10°ED在Rt△BFD∠BFD＝90°，∠FBD＝15°，BD＝50P FDF BF

15°B∵sin∠FBD＝BD

cos∠FBD＝BD∴DF＝BDsin∠FBD＝BDsin15°≈50×0.26=13.0BF＝BDcos∠FBD＝BDcos15°≈50×0.97＝48.5在Rt△AEC中，∠AEC＝90°，∠ACE＝10°，CE＝BF＝48.5AE∵tan∠ACE＝CE∴AE＝CEtan∠ACE＝CEtan10°≈48.5×0.18＝8.73∴AB＝AE+CD+DF＝8.73+1.5+13≈23.2〔米〕AB23.2米.0分〕1、α为锐角，则m=sinα+cosα的值〔 〕A．m＞1 B．m=1 C．m＜1 D．m≥12、在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A的三角函数值 〔 〕也扩大3倍 B缩小为原来的1 C 都不变 D有的扩大，有的缩小33O1P是该圆上第一象限内的一点，..且OPxα，则点P〔〕A(cosα,1) B(1,sinα) C(sinα,cosα)D(cosα,sinα)4、如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分线MN交AC BN3DBDcos∠BDC=5

，则BC的长是 〔 〕C AA、4cm

B、6cm C、8cm

DD、10cm M5、a为锐角，sina=cos500则a等于 〔 〕A20° B30° C40° D50°6、假设tan(a+10°)= 3，则锐角a的度数是 ( A、20° B、30° C、35° D、50°7、假设α、β都是锐角，下面式子中正确的选项是 〔 〕A、sin(α+β)=sinα+sinβ

B、cos(α+β)=12

时，α+β=60°C、假设α≥β时，则cosα≥cosβ D、假设cosα>sinβ,则α+β>90° A8、小阳觉察电线杆ABCD和地面BC上，量D得CD=8米，BC=20米，CD与地面成30º角且此时测得1米杆的 B C影长为2米，则电线杆的高度为〔 〕 A．9米 B．28米 C．7 3米 D.142 3米9am,从A点测得Da,测得C点的俯角为β,则较低建筑物CD的高为 ( )..A.am B.(atanα)mC.(a/tanα)m D.a(tanα－tanβ)m10、如图，钓鱼竿AC长6m，露在水面上的鱼线BC长3 2m，某钓者想看看鱼钓上的状况，把鱼竿AC转动到AC的位置，此时露在水面上的鱼线BC为3 3，则鱼竿转过的角度是( )A．60° B．45° C．15° D．90°0分〕.，sinB＝ ，tanB＝ .12、直角三角形ABC的面积为24cm2，直角边AB为6cm，∠A是锐角，则sinA＝ .13、tan＝5，是锐角，则sin＝ .1214、cos2(50°＋)＋cos2(40°－)－tan(30°－)tan(60°＋) yA＝ . B15、如图，机器人从A点，沿着西南方向，行了个4点后观看

2单位，到达B O x到原点O在它的南偏东60°的方向上，则原来A的坐标为 .〔结果保存根号．16、等腰三角形底边长10cm，周长为36cm，则一底角的正切值为 .17某人沿着坡度i=1: 3的山坡走了50米则他离地面 米高。18、如图，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距〔相邻两树间的水..平距离〕是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是 米。19、在△ABCACB＝90°，cosA=ABC的面积为 .

3，AB＝8cm，则△320、如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA为a米，此时，梯子的倾斜角为75°，假设梯子底端不动，顶端靠在对面墙上N，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为b米梯子的倾斜角45°，则这间房子的宽AB是 米。0分〕21、计算(8分)：(1)tan30°sin60°＋cos230°－sin245°tan45°1 1 tan45 sin40(2) tan245 3cos230 ．4 sin230 cos0 cos5022、(6分)△ABC中，∠C＝90°(1)：c＝8 3，∠A＝60°，求∠B、a、b．(2)：a＝3 6，∠A＝30°，求∠B、b、c...23、(6分)某段笔直的限速大路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60km/h〔503m/s0m处设置了一速度监测点A点A位于yBC在x轴上，点B在点A60°C在点A的北偏东45°方向上．请在图中画出表示北偏东45°方向的射线AC，B并标出点C的位置；

y/mO

北东x/m点B坐标为 ，点C坐标为 ；

60°A〔0,-100〕一辆汽车从点B行驶到点C所用的时间为15s，请通过计算推断该汽车在限速大路上是否超速行驶？〔本小问中 3取1.7〕24、(6分)Rt△ABC的斜边 AB的长为10cm,sinA、sinB是方程 m(x2－..01〕求m2〕求C的内切圆的面积。258ABC是等腰三角形,∠ACB=90°,过BC的中点D作DE⊥ABECEsin∠ACE26、(8分)〔08庆阳市〕如图，某超市〔大型商场〕在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板〔一楼的楼顶墙壁〕与地面平行，请你依据图中数据计算答复：小敏身高1.85米，他乘电梯会有碰头危急吗？〔sin28o≈0.47，tan28o≈0.53〕..27、(8分)如图，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东M的南偏东方向上有一点A，以A为圆心，500m