第07讲 不等式若含参数 转化与化归相依 讲义-高考数学二轮复习经典微专题

第07讲不等式若含参数，转化与化归相依一、攻关方略高中数学中解不等式部分包括解一元二次不等式、可分解因式的高次不等式与分式不等式、含绝对值符号的不等式、无理不等式、指数对数不等式，每一类不等式的求解过程都有其本身特有的规律可循，关键是不等式的同解变形，如果上述不等式中还含有参数，则解题难度肯定会增大，技巧性也会加强.本讲重点探讨含参数不等式的解法以及已知含参数不等式成立的条件，求参数的范围.对参数的分类讨论是解答含参数不等式的最为重要、最为核心的思想方法，当然，分类要全面，要做到不重不漏，含有参数的不等式恒成立问题的讨论和求解，途径之一是转化为函数，结合函数的图像，正确运用函数的性质再一次转化为不等式组求解，有时候需转化为多个不等式组，运算量较大；途径之二是运用参变分离法.通常解答含参数数学问题总是把注意力集中在主变元上，思考探求参变元的取值或其范围，这种思考当然是可以的，正如上面所言，有时解题过程会非常烦琐.若注意考查命题的求解趋势，依从条件与结论的内在联系变换思考方向，视其参变元为主元进行研究、推导，也能找到解决问题的途径，有时还能获得问题的妙思巧解，这就是“反客为主”分离参数的方法，参变分离法就是把所求参变量与其他变量分离开来，通过研究其他变量构成的解析式的性质来确定所求参变量的范围.参变分离的过程实质是把原问题化归为另一领域的数学问题，通常是一个全新的、容易操作的问题.这一解法具有思路清晰、有章可循、解法简洁的特点，且又带有创造性.真可谓：不等式若含参数，可考虑参变分离.函数方程融一体，转化与化归相依.二、例题展示例1求使恒成立的的最小值.解题策略本例解题实质是给定条件求参数的最值，所求的最值蕴含于恒成立的不等式中，因而利用不等式的有关性质把呈现出来，等价转化与化归是解决题目的突破口.策略一对所给不等式平方变形结合均值不等式，通过比较确定的最小值,策略二由题设条件构造函数，由均值不等式求函数最值，进而确定的最小值,策略三通过对题设不等式变形，运用三角换元法求解.解法一：由于的值为正数,将已知不等式两边平方,得,即,=1\*GB3①∵=2\*GB3②当且仅当时,=2\*GB3②式中等号成立,比较=1\*GB3①式,可得的最小值满足.即（∵），∴的最小值为.解法二设.∵，，∴，当且仅当时等号成立，∴.的最大值是1,从而可知,的最大值为.又由已知得，∴的最小值为.解法三∵,,∴原不等式可化为,设,,∴,即.∴=3\*GB3③又∵的最大值为(此时),故由=3\*GB3③式可知的最小值为.例2设,若时均有,求的值.解题策略本例是含参数不等式在恒成立，求参数的值，难点有两个，所给不等式是高次的(好在已分解成两个因式之积)，变量是受范围限定的，但是如果解题方向对头，困难总是可以解决的.策略一直接把所给不等式变为等价的两种不等式组，通过参变分离，构造函数，用研究函数的最值确定的值，策略二：变更主元,解关于的不等式得,通过求的最大值、的最小值确定的值.策略三视为主元，得到一种更妙的解法，思路与策略二相似.策略四：把不等式问题转化为函数,通过研究两函数的图像与性质确定的值.策略五通过讨论高次不等式的解结合方程的根求的值(注意不等式中的“＝”).策略六转化为直线介于两函数与图像之间.策略七转化为直线介于两函数与图像之间.策略八转化为关于的二次不等式，利用特殊值确定的值.策略九直接利用特殊值法求解.解法一不等式等价于如下两种情况：(i),(ii)对于（i）,有.这时,对,有.易知,函数在上为增函数,在区间右端点取到最大值,函数在上为减函数,在区间右端点取到最小值.有,得.对于(ii),有这时,对,有.易知,函数在上为㨔函数,在区间左端点取到最大值,函数在上为增函数,在区间左端点取到最小值,有,得,合并两种情况,求并集得.又当时,对均有∴为所求.解法二变更主元.将已知不等式变形为关于的不等式,对有，比较与的大小知,当时,有;当时,有，当时,解关于的不等式,得,有,得，当时,解关于的不等式,得.有,得，∴.又当时,对均有.∴为所求.解法三视为主元,原不等式变形为,,比较与的大小知,当时,有;当时,有.当时,解关于的不等式,得.即.有,得.当时,解关于的不等式,得.即.有,得，又当时,对均有.∴为所求.解法四令,则两函数图像都经过同一点.当时,对一切有,需不等式在时恒成立,而二次函数的图像开口向上,显然在时不能恒成立,即不成立.(ii)当时,函数在上单调递增.且在时,在时.故只需在时,,在时,,∵二次函数的对称轴方程为,函数图像开口向上,且过点,∴只需,即,整理得,故舍去.解法五由题意分析可得,则方程有两个异号的实数根,不妨设、是方程的两个异号根,且,,则原不等式可转化为对一切恒成立,∴,将其代入方程,得,整理得,故舍去).解法六对,已知条件可以变形为关于的不等式,即直线介于两函数与的图像之间(如图所示),故直线过两图像与的交点,得.解法七视为主元,原不等式变形为，.这表明介于与之间,即在右半平面上.直线介于两函数与的图像之间(如图7-2所示).故直线过两图像与的交点,代入,得.解法八将原不等式看成关于的二次不等式.即，当时,;当时,.∴当时,,故.解法九由题意知时不等式成立.即,∴,故.又当,时,有.∴.例3已知函数,其中是自然对数的底数,若关于的不等式在上恒成立,求实数的取值范围.解题策略本例是含参数不等式恒成立问题,可以有如下几种思考.策略一运用换元法转化为函数图像的讨论，则分类与整合的思想必不可少.

策略二：采用参变分离，结合换元法，解题过程则显得简捷明快.策略三：参变分离后，换元的方法并非上述一种,采用不同的换元法可以感受不同的解题过程.解法一由题意得在上恒成立.令,即在上恒成立,设(1)当时,在上不恒成立,故.（2）当时,易知.函数的对称轴,当,即时,若在,上恒成立,则只需,解得;当,即时,若在,上恒成立,则只需,此时恒成立.综上,,即实数的取值范围是.解法二由条件知在上恒成立.令,则，∴对任意成立,，∴.当且仅当,即时等号成立.因此,实数的取值范围是.解