数值分析第二章插值法

第二章插值法一、引言插值问题的提出插值问题提出原因一些基本概念一、引言插值问题的提出插值问题通俗来说，对于平面（或空间）中给定一些离散点，构造适当的连续函数使其通过这些离散点提出原因一些基本概念一、引言插值问题的提出插值问题提出原因一些基本概念一、引言插值问题的提出插值问题提出原因将复杂函数用简单函数近似曲线、曲面拟合一些基本概念一、引言插值问题的提出插值问题提出原因一些基本概念一、引言插值问题的提出插值问题提出原因一些基本概念插值节点插值区间插值函数一、引言插值问题的提出插值问题提出原因一些基本概念已知f(x)在点a≤x0<x1<…<xn≤b上的值y0=f(x0),…,

yn=f(xn)，若存在一简单函数P(x)，使P(x)为f(x)的插值函数，点x0,x1,…,xn称为插值节点，[a,b]称为插值区间，求P(x)的方法称为插值法.一、引言插值问题的提出插值问题提出原因一些基本概念若是次数不超过的代数多项式，其中为实数，就称为插值多项式，相应的插值法称为多项式插值.即一、引言插值问题的提出插值问题提出原因一些基本概念若为分段的多项式，就称为分段插值.若为三角多项式，就称为三角插值.一、引言多项式插值一个例子多项式插值的存在唯一性一、引言多项式插值一个例子多项式插值的存在唯一性例某地区某年夏季时节间隔30天的日出日落时间为

5月1日5月31日 6月30日日出5：51 5：17 5：10日落19：04 19：38 19：50求5、6月份的日照时间的变化规律。一、引言多项式插值一个例子多项式插值的存在唯一性日照时间的变化设为

y(x)=a0+a1x+a2x2,根据三组数据:

(1,13.53),(31,14.21),(61,14.40)，导出关于a0，a1，a2的线性方程组一、引言多项式插值一个例子多项式插值的存在唯一性一、引言多项式插值一个例子多项式插值的存在唯一性定理对n+1个插值节点x0,x1,…,xn的次数不超过n的插值多项式P(x)是存在唯一的.一、引言多项式插值一个例子多项式插值的存在唯一性定理对n+1个插值节点x0,x1,…,xn的次数不超过n的插值多项式P(x)是存在唯一的.插值多项式的求解可转化为求解线性方程组.还有更简单的求解算法：Lagrange和Newton插值.二、拉格朗日插值1.拉格朗日插值多项式问题

设有n+1个互异节点x0<x1<…<xn，且已知

yi=f

(xi) (i=0,1,…,n)构造多项式Ln(x)，使Ln(xj)=yj

(

j=0,1,…,n)二、拉格朗日插值1.拉格朗日插值多项式插值基函数lj(x)(j=0,1,…,n)在n+1个节点x0<x1<…<xn上满足条件(j,k=0,1,…,n)二、拉格朗日插值2.插值余项与误差估计插值余项误差估计二、拉格朗日插值2.插值余项与误差估计插值余项

若在[a,b]上用Ln(x)近似f

(x)，则其截断误差

Rn(x)＝f

(x)-Ln(x)称插值多项式的余项。误差估计二、拉格朗日插值2.插值余项与误差估计插值余项误差估计二、拉格朗日插值2.插值余项与误差估计插值余项误差估计设f

(x)在[a,b]上具有n阶连续导数,且f(n+1)(x)存在,节点a≤x0<x1<…<xn≤b，Ln(x)是满足条件

Ln(xj)=yj(j=0,1,2,…,n)的插值多项式，则对任何x[a,b]，插值余项三、均差与牛顿插值插值多项式的逐次生成提出原因逐次生成插值多项式的方法三、均差与牛顿插值拉格朗日插值法当节点增减时，计算需全部重新进行，为了计算方便，可重新设计一种逐次生成插值多项式的牛顿插值方法。在实际操作执行时，该方法更易实现且计算复杂度更低。三、均差与牛顿插值1.均差与性质均差定义性质均差的计算1.均差与性质均差定义一阶均差：性质均差的计算三、均差与牛顿插值

二阶均差：k阶均差：三、均差与牛顿插值1.均差与性质均差定义性质均差的计算三、均差与牛顿插值1.均差与性质均差定义性质均差的计算（1）f

(x)的k阶均差可表示为函数值f

(x0),f

(x1),……,f

(xn)的线性组合，即三、均差与牛顿插值1.均差与性质均差定义性质均差的计算（2）k阶均差可重新写为：三、均差与牛顿插值1.均差与性质均差定义性质均差的计算（3）设f

(x)在[a,b]上具有n阶导数，且x0,x1,…,xn

[a,b]，则n阶均差与导数的关系如下：三、均差与牛顿插值1.均差与性质均差定义性质均差的计算差商表三、均差与牛顿插值1.均差与性质均差定义性质均差的计算差商表

x

f(x)一阶均差二阶均差三阶均差-2

-56

-1

-16

400

-2

14

-131

-2

0

-7

23

4

3

1

2三、均差与牛顿插值2.牛顿插值多项式Newton插值多项式Newton插值和Lagrange插值的关系三、均差与牛顿插值2.牛顿插值多项式Newton插值多项式根据均差定义Newton插值和Lagrange插值的关系将后一式代入前一式，得三、均差与牛顿插值2.牛顿插值多项式Newton插值多项式Newton插值和Lagrange插值的关系其中称Pn(x)为Newton均差插值多项式。三、均差与牛顿插值2.牛顿插值多项式Newton插值多项式Newton插值和Lagrange插值的关系三、均差与牛顿插值2.牛顿插值多项式Newton插值多项式Newton插值和Lagrange插值的关系牛顿插值多项式和拉格朗日插值多项式是恒等的，它们的差异仅是书写形式不同而已，但这种差异却为计算带来了很大方便三、均差与牛顿插值3.差分形式的牛顿插值公式若x0,x1,…,xn

为等距节点，即xk=x0+kh(k=0,1,...,n)时，可将牛顿插值公式简化三、均差与牛顿插值3.差分形式的牛顿插值公式差分均差与差分关系牛顿前插公式三、均差与牛顿插值3.差分形式的牛顿插值公式差分均差与差分关系牛顿前插公式设点的函数值为，类似地称为处的二阶差分.一般地称为处的n阶差分.称为xk处的一阶（向前）差分.三、均差与牛顿插值3.差分形式的牛顿插值公式差分均差与差分关系牛顿前插公式三、均差与牛顿插值3.差分形式的牛顿插值公式差分均差与差分关系牛顿前插公式三、均差与牛顿插值3.差分形式的牛顿插值公式差分均差与差分关系牛顿前插公式三、均差与牛顿插值3.差分形式的牛顿插值公式差分均差与差分关系牛顿前插公式称为牛顿前插公式，其余项为前插公式适用于x在x0附近，除此还有适用于x在xn附近的牛顿后插公式和x在插值区间中部的Bessel公式四、埃尔米特插值

有时，我们不但需要插值函数在插值节点x0,x1,…,xn上与函数值相等，同时还需要某些节点上的导数值甚至高阶导数值也相等。四、埃尔米特插值两个典型的埃尔米特插值典型一：考虑满足条件

的插值多项式P(x)及其余项表达式.四、埃尔米特插值两个典型的埃尔米特插值典型一：考虑满足条件

的插值多项式P(x)及其余项表达式.

四个条件，可确定次数不超过3的插值多项式由由四、埃尔米特插值两个典型的埃尔米特插值典型一：考虑满足条件

的插值多项式P(x)及其余项表达式.

令R(x)=f(x)-P(x)=k(x)(x-x0)(x-x1)2(x-x2)，反复运用罗尔定理，k(x)=f(4)(ξ)∕4!,因此四、埃尔米特插值两个典型的埃尔米特插值典型二：两点三次埃尔米特插值，插值节点取为xk和xk+1，插值多项式为H(x)，插值条件为四、埃尔米特插值两个典型的埃尔米特插值典型二：两点三次埃尔米特插值，插值节点取为xk和xk+1，插值多项式为H(x)，插值条件为基函数方法，令四、埃尔米特插值两个典型的埃尔米特插值典型二：两点三次埃尔米特插值，插值节点取为xk和xk+1，插值多项式为H(x)，插值条件为四、埃尔米特插值两个典型的埃尔米特插值典型二：两点三次埃尔米特插值，插值节点取为xk和xk+1，插值多项式为H(x)，插值条件为令R(x)=f(x)-H(x)=k(x)(x-xk)2(x-xk+1)2，反复运用罗尔定理，k(x)=f(k)(ξ)∕4!,因此四、埃尔米特插值Hermite插值多项式与Newton插值多项式一个插值节点x0，n+1个插值条件Hermite插值多项式：四、埃尔米特插值Hermite插值多项式与Newton插值多项式一个插值节点x0，n+1个插值条件Newton插值多项式：（相当于在x0给出了n+1次插值条件Pn(x0)=f(x0)）四、埃尔米特插值Hermite插值多项式与Newton插值多项式多个插值节点yi(i=1,2,...,s)，n+1个插值条件

Newton插值多项式四、埃尔米特插值Hermite插值多项式与Newton插值多项式多个插值节点yi(i=1,2,...,s)，n+1个插值条件它刚好是在多个插值节点yi(i=1,2,...,s)给出n+1个插值条件的n次Hermite插值多项式（不加证明）五、分段低次插值高次插值的病态性质Runge反例：在[-5,5]上取n+1个等距节点构造拉格朗日插值多项式为计算在上的函数值。五、分段低次插值高次插值的病态性质Runge反例：五、分段低次插值高次插值的病态性质Runge反例：L10(x)

f(x)五、分段低次插值在每个小区间

上是线性函数.分段线性插值分段线性插值就是通过插值点用折线连接起来逼近f(x)，记分段函数Ih(x)

五、分段低次插值分段三次埃尔米特插值为保证一定光滑性，在节点xk(k=0,1,...,n)上除已知函数值fk之外还给出导数值fk'(k=0,1,...,n)，可构造一个导数连续的分段插值函数Ih(x)

在每个小区间

上是三次多项式.六、三次样条插值

利用分段埃尔米特插值，若再要提高光滑性，令二阶导数连续，就得用分段5次多项式，但插值多项式次数太高又不可取。而利用三次样条插值可以既保证二阶导数连续，又可使插值多项式次数为3。六、三次样条插