2022-2023学年广东省惠州市惠阳区朝晖学校八年级(上)开学数学试卷(word版含解析)

学年广东省惠州市惠阳区朝晖学校八年级（上）数学试卷学校: 姓名班级考号 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）下列整数中，2−√3最接近的( )A.−1 B.0 C.1 D.228()A.29人 B.30人 C.31人 D.32人3. 已𝑃点坐标(2−𝑎,3𝑎+6)，且𝑃𝑥轴上，则𝑃的坐标( )A.𝑃(0,12) B.𝑃(0,2) C.𝑃(2,0) D.𝑃(4,0)7−2𝑥≤1若关𝑥的不等{𝑥−𝑚<0的整数解共个，𝑚的取值范围( )7−2𝑥≤1A.6<𝑚<7 B.6≤𝑚<7 C.6≤𝑚≤7 D.6<𝑚≤7元()千米2.6元()𝑥千21𝑥()A.11 B.8 C.7 D.5下列命题中，假命题( )平行四边形是中心对称图形三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等对于简单的随机样本，可以用样本的方差去估计总体的方差D.若𝑥2=𝑦2，则𝑥=𝑦如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，则这两个( )相等 B.互补 C.相等或互补 D.大小关系不能确定下列命题中正确的个数( )①一个角对应相等的两个等腰三角形相似；②两边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相似；③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似；④三边对应成比例的两个三角形相似．A.1 B.2 C.3 D.4𝐴0(1,0)𝐴0𝐴(−1,1)𝐴1跳动至点𝐴2(2,1)𝐴2𝐴3(−2,2)𝐴3𝐴4(3,2)，……依此规律跳动𝐴2019𝐴2020()A.2021 B.2020 C.2019 D.2018图书馆将某一本书和某一个关键词建立联系规定当关键𝐴𝑖出现在中时元𝑎𝑖𝑗=1，否𝑎𝑖𝑗=0(𝑖,为正整).例如：当关键𝐴1出现在中时=1，否=0.根据上述规定，某读者去图书馆寻找书中同时有关键词的书，则下列相关表述错误的是( )A.当𝑎21+𝑎51+𝑎61=3时，选择𝐵1这本书B.当𝑎22+𝑎52+𝑎62<𝐵2这本书C.𝑎2𝑗，𝑎5𝑗，𝑎6𝑗这本书D.只有当𝑎2𝑗+𝑎5𝑗+𝑎6𝑗=0时，才不能选择𝐵𝑗这本书二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）经过直线外一点，有且只直线与这条直线平行．端午节期间，质监部门要对市场上粽子质量情况进行调查，适合采用的调查方式.填“全面调查”或“抽样调查人，为了解学生最喜欢的课外体育运动项目的情况，学校随机抽查了名学生，其中名学生表示最喜欢的项目是跳绳，则可估计该校学生中最喜欢的外体育运动项目为跳绳的学生人．14. 点𝑀(3,−1)𝑥轴距离．𝑥𝑦

2𝑥+𝑦=𝑚−1

，的方程组{𝑥+2𝑦=7

的解满1<𝑥+𝑦<3𝑚的取值范围是 ．16. 如图所示直𝐵𝐶经过原点𝐴𝑥轴上⊥𝐵𝐶于𝐷，若𝐵(𝑚,3)，𝐶(𝑛,−5)，𝐴(4,0)，𝐴𝐷⋅𝐵𝐶．17. 𝑥𝑂𝑦𝑃(𝑥,𝑦)𝑃′(−𝑦+1,𝑥+𝑃的伴随点．已𝐴1𝐴2，点𝐴2𝐴3，点𝐴3的伴随点为𝐴4，…，这样依次得点𝐴1，𝐴2，𝐴3…，𝐴𝑛若𝐴1的坐标(3,1)，则𝐴2019的坐标．三、解答题（本大题共8小题，共69.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18. (1)用计算器计算−2= √1111−22 √111111−222 √11111111−2222= (1)中各式的计算结果，你能发现什么规律？试运用发现的规律猜想−22222= ，并通过计算器验证你的猜想．19. 名学生．为了解全校每名学生的上学方式，该校数学兴趣小组在全校随机抽取了名学生进行抽样调查．整理样本数据，得到扇形统计图如右图(1)本次调查的个体，样本容量；扇形统计图中，乘私家车部分对应的圆心角度；名学生中，选择骑车和步行上学的一共有多少人？20.如表是𝑁𝐵𝐴太阳队与火箭队在某场比赛中的各项技术比较：队名太阳队技术火箭队投篮 87投36中91投45中三分球 32投15中20投8中罚球 28罚20中35罚29中篮板球 38次59次总得分 107127表中的数据是通过什么方法得到的？你从这些数据中获得关于这场比赛的哪些信息和结论？.现决定𝐴(大合唱).该校随机抽取了本校部学生进行调查，以了解学生喜欢参加哪个活动小组，并将调查结果36°答下列问题：本次共调名学生，扇形统计图中的圆心角度数；请将条形统计图补充完整；150022.,,)𝑎+)2+𝑎−𝑏+|=0，𝐴𝐵交𝑦𝐹点．𝐴、𝐵的坐标；点𝐷𝑦𝐵𝑀𝑀𝐵𝐸的度数；如图也可以利用图𝐹𝑃△𝑃和△的面积相等？若存在，求出𝑃点坐标；若不存在，请说明理由．23.用计算器求下列各式的近似值(精确到0.01)：)5+√2−𝜋；2(2)√11×√2÷1．√624.如图，𝐴𝐶//𝐵𝐷，𝐵𝐶平分∠𝐴𝐵𝐷，设∠𝐴𝐶𝐵为𝛼，点𝐸是射线𝐵𝐶上的一个动点．(1)若𝛼=30°时，且∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐶𝐴𝐸，求∠𝐶𝐴𝐸的度数；(2)若点𝐸运动到𝑙1上方，且满足∠𝐵𝐴𝐸=100°，∠𝐵𝐴𝐸：∠𝐶𝐴𝐸=5：1，求𝛼的值；(3)若∠𝐵𝐴𝐸：∠𝐶𝐴𝐸=𝑛(𝑛>1)，求∠𝐶𝐴𝐸的度数(用含𝑛和𝛼的代数式表示)．25.综合应用题：如图，有一副直角三角板如图①放置(其中∠𝐷=45°，∠𝐶=30°)，𝑃𝐴、𝑃𝐵与直线𝑀𝑁重合，且三角板𝑃𝐴𝐶，三角板𝑃𝐵𝐷均可以绕点𝑃逆时针旋转．(𝑙)∠𝐷𝑃𝐶；②𝑃𝐵𝐷∠𝑃𝐴𝐶𝑃10°/秒，转动𝑃𝐴𝐶𝑃𝐶//𝐷𝐵成立；(3)𝑃𝐴𝐶𝑃𝐴𝑃𝑁.𝑃3°/𝑃𝐵𝐷𝑃𝐵𝑃𝑀𝑃当𝑃𝐶𝑃𝑀重)∠𝐶𝑃𝐷=∠𝐵𝑃𝑀，求旋转的时间是多少？答案和解析𝐵【解析】解：∵1<3<4，∴1<√3<2，∴0<2−√3<1，∵√3≈1.732，∴0<2−√3<0.5，∴2−√3最接近的是0．故选：𝐵．根据算术平方根的定义得到1<√3<2，利用不等式的性质即可得到0<2−√3<1．了算术平方根．𝐵【解析】解：设这个敬老院的老人有𝑥人，依题意得：4𝑥+28−5(𝑥−1)<4{4𝑥+28−5(𝑥−1)≥1，解得：29<𝑥≤32，∵𝑥为整数，∴𝑥可取值30，31，32，∴𝑥最少为30，故选：𝐵．首先设这个敬老院的老人有𝑥人，则有牛奶(4𝑥+28)盒，根据关键语句“如果分给每位老人5盒牛

4𝑥+28−5(𝑥−1)<4，{4𝑥+28−5(𝑥−1)≥1解出不等式组后再找出符合条件的整数．此题主要考查了一元一次不等式组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，列出不等式组．𝐷【解析】解：∵𝑃点坐标为(2−𝑎,3𝑎+6)，且点𝑃在𝑥轴上，∴3𝑎+6=0，解得𝑎=−2，2−𝑎=2−(−2)=4，故点𝑃的坐标为(4,0)．故选：𝐷．根据𝑥轴上点的纵坐标为0列方程求出𝑎，再求解即可．本题考查了点的坐标，熟记𝑥轴上点的纵坐标为0是解题的关键．𝐷【解析】解：由𝑥−𝑚<0得，𝑥<𝑚，由7−2𝑥≤1得，𝑥≥3，故原不等式组的解集为：3≤𝑥<𝑚，∵不等式的整数解有4个，∴其整数解应为：3、4、5、6，∴𝑚的取值范围是6<𝑚≤7．故选：𝐷．首先确定不等式组的解集，先利用含𝑚的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于𝑚的不等式，从而求出𝑚的范围．本题考查了一元一次不等式组的整数解，关键是列出关于𝑚的不等式组．𝐵【解析】【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据出租车费≥8+2.6(𝑥−3)，结合出租车费为21元列出关于𝑥的一元一次不等式是解题的关键．解之即可得出𝑥的取值范围，取其整数即可得出结论．【解答】解：根据题意得：8+2.6(𝑥−3)≤21，解得：𝑥≤8，所以𝑥的最大值是8．故选B．𝐷【解析】解：𝐴、平行四边形是中心对称图形，它的中心对称点为两条对角线的交点，故该命题是真命题；B故该命题是真命题；C故该命题是真命题；D、若𝑥2=𝑦2，则𝑥=±𝑦，不是𝑥=𝑦，故该命题是假命题；故选：𝐷．根据平行四边形的性质、三角形外心的性质以及用样本的数字特征估计总体的数字特征和有理数乘方的运算逐项分析即可．本题考查了命题真假的判断，属于基础题．根据定义：符合事实真理的判断是真命题，不符合事实真理的判断是假命题，不难选出正确项．𝐶【解析】解：如图，∠1，∠2，∠3的两边互相平行，∴∠3=∠4，∠4=∠1，∠4+∠2=180°；∴∠3=∠1，∠3+∠2=180°．∴这两个角相等或互补．故选：𝐶．本题应分两种情况讨论，如图，∠1，∠2，∠3的两边互相平行，由图形可以看出∠1和∠2是邻补角，它们和∠3的关系容易知道一个相等，一个互补．此题考查了平行线的性质．注意掌握数形结合思想的应用．𝐵【解析】解：①一个角对应相等的两个等腰三角形不一定相似，例如顶角为40°的等腰三角形与底角为40°的等腰三角形不相似，本小题说法是假命题；②∵两边对应成比例且夹角对应相等的两个三角形相似，∴本小题说法是假命题；③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似，本小题说法是真命题；④三边对应成比例的两个三角形相似，本小题说法是真命题；故选：𝐵．根据相似三角形的判定定理判断即可．本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．𝐴第(3,2)，第第…第2𝑛次跳动至点的坐标是(𝑛+1,𝑛)，则第2020次跳动至点的坐标是(1011,1010)，第2019次跳动至点𝐴2017的坐标是(−1010,1010)．∵点𝐴2019与点𝐴2020的纵坐标相等，∴点𝐴2019与点𝐴2020之间的距离=1011−(−1010)=2021，故选：𝐴．1𝐴2019𝐴2020的坐标，进而可求出点𝐴2019与点𝐴2020之间的距离．本题考查了坐标与图形的性质，以及图形的变化问题，结合图形得到偶数次跳动的点的横坐标与纵坐标的变化情况是解题的关键．𝐷【解析】解：根据题意𝑎𝑖𝑗的值要么为1，要么为0，A、𝑎21+𝑎51+𝑎61=3，说明𝑎21=1，𝑎51=1，𝑎61=1，故关键词“𝐴2，𝐴5，𝐴6”同时出现在书𝐵1中，而读者去图书馆寻找书中同时有关键词“𝐴2，𝐴5，𝐴6”的书，故A表述正确；B𝑎22𝑎52𝑎623𝑎22𝑎52𝑎62的，即关键词“𝐴2，𝐴5，𝐴6”不同时具有，从而不选择𝐵2这本书，故B表述正确；C、当𝑎2𝑗，𝑎5𝑗，𝑎6𝑗全是1时，则𝑎2𝑗=1，𝑎5𝑗=1，𝑎6𝑗=1，故关键词“𝐴2，𝐴5，𝐴6”同时出现在书𝐵𝑗中，则选择𝐵𝑗这本书，故C表述正确；D𝑎2𝑗𝑎5𝑗𝑎6𝑗3𝑎2𝑗𝑎5𝑗𝑎6𝑗的值、3，故D表述错误，符合题意．故选：𝐷．𝑎𝑖𝑗𝐴𝑖𝑎𝑖𝑗𝑎𝑖𝑗0(𝑖为正整数)，按照此规定对每个选项分析推理即可．本题考查了推理与论证，读懂题意，按照规定进行计算与推理是解题的关键．一条【解析】解：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．故答案为：一条．根据平行公理判断即可．本题考查了平行公理，平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．抽样调查【解析】解：∵市场上的粽子数量较大，∴适合采用抽样调查．故答案为：抽样调查．根据全面调查与抽样调查的意义进行解答．查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．680【解析】解：由于样本中最喜欢的项目是跳绳的人数所占比例为85，200∴估计该校学生中最喜欢的课外体育运动项目为跳绳的学生有1600×故答案为：680．

85

=680，用样本中最喜欢的项目是跳绳的人数所占比例乘以全校总人数即可得．本题主要考查样本估计总体，掌握总体中所占比值与样本中的所占比值近似相等是解题的关键．1【解析】解：𝑀(3,−1)到𝑥轴距离是1．故答案为：1根据点到𝑥轴的距离是纵坐标的绝对值，点到𝑦轴的距离是点的横坐标的绝对值，可得答案．本题考查了点的坐标，利用点到𝑥轴的距离是纵坐标的绝对值，点到𝑦轴的距离是点的横坐标的绝对值是解题关键．15.【答案】−9<𝑚<3【解析解+𝑦=𝑚−1 ①②𝑥+2𝑦=7 ，②①+②，得3𝑥+3𝑦=𝑚+6，即𝑥+𝑦=𝑚+6，3∵关于𝑥，𝑦的方程组

2𝑥+𝑦=𝑚−1

−1<𝑥+𝑦<3，∴−1<𝑚+63

<3，

{𝑥+2𝑦=7

的解满足∴−3<𝑚+6<9，∴−9<𝑚<3，故答案为：−9<𝑚<3．3𝑥3𝑦𝑚𝑥𝑦

2𝑥+𝑦=𝑚−1的解满足−1<𝑥+𝑦<3得出−1<𝑚+63

3<3，再求出𝑚的取值范围即可．

{𝑥+2𝑦=7本题考查了解二元一次方程组和解一元一次不等式组，能得出关于𝑚的不等式组是解此题的关键．16.【答案】32【解析】解：过𝐵作𝐵𝐸⊥𝑥轴于𝐸，过𝐶作𝐶𝐹⊥𝑦轴于𝐹，∵𝐵(𝑚,3)，∴𝐵𝐸=3，∵𝐴(4,0)，∴𝐴𝑂=4，∵𝐶(𝑛,−5)，∴𝑂𝐹=5，∵𝑆△𝐴𝑂𝐵=1𝐴𝑂⋅𝐵𝐸=1×4×3=6，2 22 𝑆△𝐴𝑂𝐶=1𝐴𝑂⋅𝑂𝐹=1×4×5=102 ∴+=6+10=∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝑆△𝐴𝑂𝐵+𝑆△𝐴𝑂𝐶，∴1𝐵𝐶⋅𝐴𝐷=16，2∴𝐵𝐶⋅𝐴𝐷=32，故答案为：32．作三角形的高线，根据坐标求出𝐵𝐸、𝑂𝐴、𝑂𝐹的长，利用面积法可以得出𝐵𝐶⋅𝐴𝐷=32．要熟练掌握；本题根据面积法求出线段的积．17.【答案】(−3,1)【解析】解：∵𝐴1的坐标为(3,1)，∴𝐴2(0,4)，𝐴3(−3,1)，𝐴4(0,−2)，𝐴5(3,1)，…，依此类推，每4个点为一个循环组依次循环，∵2019÷4=504…3，∴点𝐴2019的坐标与𝐴3的坐标相同，为(−3,1)．故答案为：(−3,1)．42019𝐴2019的坐标即可．此题考查点的坐标规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义并求出每4个点为一个循环组依次循环是解题的关键．18.【答案3 33 333 3333 33333【解析】解：(1)√11−2=3，√1111−22=33，√111111−222=333，√11111111−2222=3333；故答案为：3，33，333，3333；(2)根据以上可以得出：根号内被开方数是2𝑛个数字1和𝑛个数字2的差，结果为𝑛个数字3；(3)试运用发现的规律可得：√1111111111−22222=33333．故答案为：33333．用计算器分别计算出各题的答案；2𝑛𝑛𝑛3；(3)(2)中规律得出答案，从而用计算器验证即可．2𝑛和𝑛𝑛3．(2)72;(3)500(15+)=220(答：估计该校500名学生中，选择骑车和步行上学的一共有220人．【解析】【分析】考题型．(1)根据个体、样本容量的定义即可解决问题；(2)根据圆心角=360°×百分比计算即可；(3)利用样本估计总体的思想解决问题即可．【解答】解：(1)本次调查的个体是：每名学生的上学方式．样本容量100，故答案为每名学生的上学方式；100；(2)乘私家车部分对应的圆心角是=360°×(1−6%−30%−15%−29%)=72°．故答案为72．(3)见答案．表中的数据是通过观察、记录得到的．(2)由题意可知：①火箭队以20分的优势取胜；②火箭队的篮板球明显高于太阳队；③太阳队的三分球数量与命中率高于火箭队等．【解析】(1)统计员通过网上调查方法获得表中的数据．(2)利用表格中的信息即可解决问题．本题考查统计表，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．10÷20%=50()，扇形统计图中“𝐵°÷360°×100%=10%，扇形统计图中“𝐶”所占的百分比为：1−20%−10%−40%=30%，扇形统计图中“𝐶”的圆心角度数为：360°×30%=108°，故答案为：50，108°；(2)𝐵项活动的人数为：50×10%=5(名)，𝐶项活动的人数为：50×30%=15(名)，补全统计图如下：(3)1500×30%=450(人)，答：估计该校约有450人喜欢参加“𝐶”活动小组．【解析】(1)根据“𝐴”活动小组的人数及其百分比可得总人数；扇形统计图中用360°乘以𝐶所占的百分比可得“𝐶”的圆心角度数；总人数乘以“𝐵”、“𝐶𝐶”活动小组的人数，据此补全统计图可得；1500参加“𝐶”活动小组的人数．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键；条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．解：(1)∵(𝑎+𝑏)2+|𝑎−𝑏+6|=0，∴𝑎+𝑏=0，𝑎−𝑏+6=0，∴𝑎=−3，𝑏=3，∴𝐴(−3,0)，𝐵(3,3)；(2)如图2，∵𝐴𝐵//𝐷E，∴∠𝑂𝐷E+∠𝐷𝐹𝐵=180°，而∠𝐷𝐹𝐵=∠𝐴𝐹𝑂=90°−∠𝐹𝐴𝑂，∴∠𝑂𝐷E+90°−∠𝐹𝐴𝑂=180°，∵𝐴𝑀，𝐷𝑀分别平分∠𝐶𝐴𝐵，∠𝑂𝐷E，∴∠𝑂𝐴𝑁=1∠𝐹𝐴𝑂，∠𝑁𝐷𝑀=1∠𝑂𝐷E，2 2∴∠𝑁𝐷𝑀−∠𝑂𝐴𝑁=45°，而∠𝑂𝐴𝑁=90°−∠𝐴𝑁𝑂=90°−∠𝐷𝑁𝑀，∴∠𝑁𝐷𝑀−(90°−∠𝐷𝑁𝑀)=45°，∴∠𝑁𝐷𝑀+∠𝐷𝑁𝑀=135°，∴180°−∠𝑁𝑀𝐷=135°，∴∠𝑁𝑀𝐷=45°，即∠𝐴𝑀𝐷=45°；(3)①连结𝑂𝐵，如图3，设𝐹(0,𝑡)，∵𝑆△𝐴𝑂𝐹+𝑆△𝐵𝑂𝐹=𝑆△𝐴𝑂𝐵，∴1⋅3⋅𝑡+1⋅𝑡⋅3=1×3×3，解得𝑡=3，2 2 2 2∴𝐹点坐标为(0,3)；2②存在．△𝐴𝐵𝐶的面积=1×7×3=21，2 2当𝑃点在𝑦轴上时，设𝑃(0,𝑦)，∵𝑆△𝐴𝐵𝑃=𝑆△𝐴𝑃𝐹+𝑆△𝐵𝑃𝐹，∴1⋅|𝑦−3|⋅3+1⋅|𝑦−3|⋅3=21，解得𝑦=5或𝑦=−2，2 2 2 2 2∴此时𝑃点坐标为(0,5)或(0,−2)；当𝑃点在𝑥轴上时，设𝑃(𝑥,0)，则1⋅|𝑥+3|⋅3=21，解得𝑥=−10或𝑥=4，2 2∴此时𝑃点坐标为(−10,0)，综上可知存在满足条件的点𝑃，其坐标为(0,5)或(0,−2)或(−10,0)．【解析】(1)根据非负数的性质可求出𝑎和𝑏，即可得到点𝐴和𝐵的坐标；(2)由平行线的性质结合角平分线的定义可得则∠𝑁𝐷𝑀−∠𝑂𝐴𝑁=45°，再利用∠𝑂𝐴𝑁=90°−∠𝐴𝑁𝑂=90°−∠𝐷𝑁𝑀，得到∠𝑁𝐷𝑀−(90°−∠𝐷𝑁𝑀)=45°，所以∠𝑁𝐷𝑀+∠𝐷𝑁𝑀=135°，然后根据三角形内角和定理得180°−∠𝑁𝑀𝐷=135°，可求得∠𝑁𝑀𝐷=45°；(3)①连结𝑂𝐵，如图3，设𝐹(0,𝑡)，根据𝑆△𝐴𝑂𝐹+𝑆△𝐵𝑂𝐹=𝑆△𝐴𝑂𝐵，得到关于𝑡的方程，可求得𝑡的值，则可求得点𝐹的坐标；②先计算△𝐴𝐵𝐶的面积，再分点𝑃在𝑦轴上和在𝑥轴上讨论．当𝑃点在𝑦轴上时，设𝑃(0,𝑦)，利用𝑆△𝐴𝐵𝑃=𝑆△𝐴𝑃𝐹+𝑆△𝐵𝑃𝐹，可解得𝑦的值，可求得𝑃点坐标；当𝑃点在𝑥轴上时，设𝑃(𝑥,0)，根据三角形面积公式得，同理可得到关于𝑥的方程，可求得𝑥的值，可求得𝑃点坐标．(2)∠𝑁𝐷𝑀+∠𝐷𝑁𝑀=中由三中．23.【答案】解：(1)原式≈1×2.236+1.260−3.1422≈−0.76；(2)原式≈3.317×1.414×2.449≈11.49．【解析】利用计算器计算后按要求取近似值可得．本题主要考查计算器−数的开方，解题的关键是掌握计算器的使用．24.【答案】解：(1)∵𝛼=30°，𝐴𝐶//𝐵𝐷，∴∠𝐶𝐵𝐷=30°，∵𝐵𝐶平分∠𝐴𝐵𝐷，∴∠𝐴𝐵E=∠𝐶𝐵𝐷=30°，∴∠𝐵𝐴𝐶=180°−∠𝐴𝐵E−𝛼=180°−30°−30°=120°，又∵∠𝐵𝐴E=∠𝐶𝐴E，∴∠𝐶𝐴E=1∠𝐵𝐴𝐶=1×120°=60°；2 21所示，∵∠𝐵𝐴E=100°，∠𝐵𝐴E：∠𝐶𝐴E=5：1，∴∠𝐶𝐴E=20°，∴∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐵𝐴E−∠𝐶𝐴E=100°−20°=80°，∵𝐴𝐶//𝐵𝐷，∴∠𝐴𝐵𝐷=180°−∠𝐵𝐴𝐶=100°，又∵𝐵𝐶平分∠𝐴𝐵𝐷，∴∠𝐶𝐵𝐷=1∠𝐴𝐵𝐷=1×100°=50°，2 2∴𝛼=∠𝐶𝐵𝐷=50°；(3)①如图2所示，∵𝐴𝐶//𝐵𝐷，∴∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐵=𝛼，∵𝐵𝐶平分∠𝐴𝐵𝐷，∴∠𝐴𝐵𝐷=2∠𝐶𝐵𝐷=2𝛼，∴∠𝐵𝐴𝐶=180°−∠𝐴𝐵𝐷=180°−2𝛼，又∵∠𝐵𝐴E：∠𝐶𝐴E=𝑛，∴(∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐶𝐴E)：∠𝐶𝐴E=𝑛，(180°−2𝛼+∠𝐶𝐴E)：∠𝐶𝐴E=𝑛，解得∠𝐶𝐴E=180°−2𝛼；𝑛−1②如图3所示，∵𝐴𝐶//𝐵𝐷，∴∠𝐶𝐵𝐷=∠𝐴𝐶𝐵=𝛼，∵𝐵𝐶平分∠𝐴𝐵𝐷，∴∠𝐴𝐵𝐷=2∠𝐶𝐵𝐷=2𝛼，∴∠𝐵𝐴𝐶=180°−∠𝐴𝐵𝐷=180°−2𝛼，又∵∠𝐵𝐴E：∠𝐶𝐴E=𝑛，∴(∠𝐵𝐴𝐶−∠𝐶𝐴E)：∠𝐶𝐴E=𝑛，(180°−2𝛼−∠𝐶𝐴E)：∠𝐶𝐴E=𝑛，解得∠𝐶𝐴E=180°−2𝛼．𝑛+1综上∠𝐶𝐴E的度数为180°−2𝛼或180°−2𝛼．𝑛−1 𝑛+1【解析】(1)根据平行线的性质可得∠𝐶𝐵𝐷的度数，再根据角平分线的性质可得𝐴𝐵E的度数，应用三角形内角和计算∠𝐵𝐴𝐶的度数，由已知条件∠𝐵𝐴E=∠𝐶𝐴E，可计算出∠𝐶𝐴E的度数；(2)=∠𝐶𝐴E∠𝐵𝐴E=100°可计∠𝐵𝐴𝐶∠𝐶𝐵𝐷根据题意可分两种情况，E𝑙1𝛼∠𝐶𝐵𝐷∠𝐵𝐴𝐶∠𝐵𝐴E：∠𝐶𝐴E𝑛，∠𝐵𝐴E∠𝐵𝐴𝐶∠𝐶𝐴E，列出等量关系求解即可等处结论；②若点E运动到𝑙1下方，根据平行线的性质由𝛼可计算出∠𝐶𝐵𝐷的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出∠𝐵𝐴𝐶的度数，