流体力学粘性流体层流流动

第三节相似和量纲分析牛顿内摩擦定律雷诺实验提出雷诺数袁97页通过实验导出公式公式是随便的推导出来吗？如果不是，依据什么呢？为了研究流动规律，而实际的流动情况相当复杂，此时怎么办呢？量纲分析和相似原理都属于实验研究的范畴。实验科学研究的目的：重复实现和观察其流动现象，可以获得充分的感性认识；测量有关物理量，从中找出这些物理量间带规律性的关系；验证并完善理论分析或数值分析的结果。量纲分析可以帮助人们对复杂的流动问题进行定性的分析。通过揭示物理量量纲间存在的联系，提出反映流动的方程式结构形式。相似理论是进行流体力学模型实验时应遵循的理论基础。一、因次分析dimensionalanalysis因次（量纲）和单位、因次式1m(米)2s(秒)5kg(千克)100K(开尔文)50m/s(米每秒)cm(厘米)s(秒)g(克)℃(摄氏度)cm/s(厘米每秒)长度时间质量温度速度国际单位物理单位因次基本单位导出单位基本因次导出因次常用物理量的符号、单位和因次，参见袁98页长度时间质量温度速度因次[L][T][M][θ][LT-1]因次表达式试求动力粘性系数的因次表达式有物理意义的代数表达式或完整的物理方程是因次和谐的，或称为齐次的。2.因次的齐次性（和谐性）一个方程如果因次上齐次，则方程的表达式不随基本度量单位的改变而变化。利用因次的齐次性，检查经验公式中经验公式中经验系数的因次并进行单位变换。利用因次的齐次性，可检验物理方程是否正确。某一物理现象，涉及n个变量，变量间的函数关系，可以用n-m个无因次积πi表示的关系来描述，即：其中m表示基本量(量纲独立，不能相互导出)。π定理是化有因次的函数关系为无因次的函数关系式的方法，结果不唯一。3.因次分析方法——π定理(buckingham

theroy)步骤找出影响某一物理现象的n个物理量；从n个物理量中选出m个基本量xi(对于不可压缩流体运动，通常选取速度，密度及物体的特征长度为基本量，即m=3);将其余的物理量作为导出量，将他们分别与基本量的幂次组成一个无量纲数πi，共可以写出n-m个π项;依各个πi无量纲的条件，求出未知数α，β，…γ等；写出用π表示的函数关系。（袁）通过判断线性方程的相关性来确定独立变量，也即基本量的个数。方程组系数矩阵的矩，即为m。有因次无因次π5

π6π1

π2π3

π4有因次转化成无因次，结果不唯一。Π1Π2为互相独立的无因次积。

举例袁103，例4-2：研究完全淹没在流体中的螺旋桨的推力问题。此问题涉及到的物理量共7个，轴向推力P,桨直径D，推进速度v，转数n，重力加速度g，流体密度ρ，流体运动粘度ν。1.找出影响某一物理现象的n个物理量；2.从n个物理量中选出m个基本量xi(对于不可压缩流体运动，通常选取速度，密度及物体的特征长度为基本量，即m=3);n=73.将其余的物理量作为导出量，将他们分别与基本量的幂次组成一个无量纲数πi，共可以写出n-m个π项;其余的物理量：轴向推力P，转数n，重力加速度g，流体运动粘度ν。4.依各个πi无量纲的条件，求出未知数α，β，…γ等；重复3，4步，5.写出用π表示的函数关系(包含n-m项，且不唯一)。在现实中的应用在工程实际中，如何进行简化和处理，要视实际需要而定。通常尽可能使无因次积的数目减至最少，以减轻实验的工作量，但又要能反映各量的物理本质。在选择物理量时，是自己依据经验选定的。如果选取的变量过多，关系较复杂；如果选取的变量过少，特别是缺少了非常关键的物理量时，导出的公式没有意义。经验公式是反复总结的产物。分析研究模型和实物间的相似关系的基本原理称为相似理论。实物又称为原型，原型参数加脚码n表示。模型参数加脚码m表示。二、相似原理similaritytheory动力学相似原理包括：几何相似，运动相似，动力相似。1.几何相似原型与模型中对应的几何纯属尺寸成比例，对应的几何角度相等。线性长度比尺为：面积比尺为：体积比尺为：2.运动相似原型与模型中对应的运动参数如速度、加速度方向一致，大小成比例。时间比尺为：速度比尺为：加速度比尺为：3.动力相似原型与模型中对应点处受力方向相同，大小成比例。力的比尺为：是一个无因次的量，称为牛顿数。牛顿数中的力指流动所受外力的总和，其中可能包括重力、摩擦力、压力、表面张力等。完全的动力相似很难实现。因此在进行模型实验时，常只考虑某些起主要作用的力（多数情况只选一种力），做到近似的（或局部的）动力相似。常用的动力相似准数：雷诺数Re，富劳德数Fr，欧拉数Eu。(1).雷诺数物理意义为惯性力与粘性力的比。雷诺数特征长度；特征速度；运动粘性系数。应用于：完全封闭的流动（如管道中）或是在流动中物体完全淹没（如潜水艇）。不计自由表面。粘性力和惯性力是要考虑的主要的力。在流体内或者小尺寸的流管中，若粘性力占主要地位，同时伴有一个相对小的流速和较大的运动粘度，那么这种情况下流体在做有秩序的平行层状运动，层间流体没有任何混合——层流；当尺寸较大、流速较快、惯性力占主导地位、同时运动粘度较小时，流动呈现无序、脉动状态，表现为相邻层间的不规则的剧烈的掺混——湍流。(2).富劳德数物理意义为惯性力与重力的比。富劳德数应用于：具有自由表面的液流中，如船舶或水上飞机外壳产生的表面波。重力和惯性力是主要考虑的力。(3).欧拉数物理意义为压力力与惯性力的比。欧拉数应用于：淹没在流体中的物体表面上的压力或压强分布时，压力和惯性力是主要考虑的力。两个相似准数在同一个物理现象中，常不能同时满足相似关系。N-S方程单位质量力-单位压力+单位切力（粘性力）=单位惯性力方程两边同除惯性力则有袁108，例4-4：利用内径50mm的管子通过水流来模拟内径500mm管子内的标准空气流。若气流速度为2m/s，空气运动粘度为0.15cm2/s。为保持动力相似，则模型管中的水流速度应为多少？思路：1.判断用哪个准数？2.代入准数公式内计算。解：用雷诺数N-S方程的表达形式；

本构方程(应力和应变间的关系)因次分析能写出常用物理量的因次表达式；

用因次和谐性来验证公式正确与否；

会用π定理将有因次的函数化成无因次的。

小结小结——π定理找出影响某一物理现象的n个物理量；从n个物理量中选出m个基本量xi(对于不可压缩流体运动，通常选取速度，密度及物体的特征长度为基本量，即m=3);将其余的物理量作为导出量，将他们分别与基本量的幂次组成一个无量纲数πi，共可以写出n-m个π项;依各个πi无量纲的条件，求出未知数α，β，…γ等；写出用π表示的函数关系。小结相似原理，准数表达式及其应用对象(1).雷诺数物理意义为惯性力与粘性力的比。应用于：完全封闭的流动（如管道中）或是在流动中物体完全淹没（