正弦定理与余弦定理的应用同步练习2

正弦定理与余弦定理的应用（2）同步练习1．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10° B．北偏西10°C．南偏东10° D．南偏西10°2．据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，树尖与地面成45°角，树干也倾斜，与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是()\f(20\r(6),3)米 B．10eq\r(6)米\f(10\r(6),3)米 D．20eq\r(2)米3．甲船在B岛的正南A处，AB＝10km，甲船以4km/h的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是()\f(150,7)min \f(15,7)hC． D．4．一艘船以4km/h的速度与水流方向成120°角的方向航行，已知河水流速为2km/h，则经过eq\r(3)h，该船实际航程为()A．2eq\r(15)km B．6kmC．2eq\r(21)km D．8km5．如图，△ABC是简易遮阳棚，A、B是南北方向上的两个定点，正东方向射出的太阳光线与地面成40°角，为了使遮阴影面ABD面积最大，遮阳棚ABC与地面所成的角为()A．75°B．60°C．50°D．45°6．一只蚂蚁沿东北方向爬行xcm后，再向右转105°爬行20cm，又向右转135°，这样继续爬行可回到出发点处，那么x＝________.7.如图所示，海中小岛A周围38海里内有暗礁，一船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？如图，一辆汽车从O点出发，沿海岸一条直线公路以100千米/小时的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在O点南偏东方向距O点500千米且与海岸距离为300千米的海上M处有一快艇，与汽车同时出发，要把一件重要的物品递送给这辆汽车的司机，问快艇至少必须以多大的速度行驶，才能把物品递送到司机手中？并求快艇以最小速度行驶时方向与OM所成的角．

参考答案如图所示，∠ECA＝40°，∠FCB＝60°，∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，∵AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝eq\f(180°－80°,2)＝50°，∴∠ABG＝180°－∠CBH－∠CBA＝180°－120°－50°＝10°.故选B.2.A设树干底部为O，折断点为P，树尖着地处为M，如图，△OPM中，∠P＝180°－∠M－∠O＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理得eq\f(PO,sinM)＝eq\f(MO,sinP)，∴PO＝eq\f(MOsinM,sinP)＝eq\f(20×sin45°,sin60°)＝eq\f(20\r(6),3).3.A如图，设经过x小时时距离为s，则在△BPQ中，由余弦定理知：PQ2＝BP2＋BQ2－2BP·BQ·cos120°，即s2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)×6x×(－eq\f(1,2))＝28x2－20x＋100.当x＝－eq\f(b,2a)＝eq\f(5,14)时，s2最小，此时x＝eq\f(5,14)h＝eq\f(150,7)min.4.B如图，∵|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝2，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝4，∠AOB＝120°，∴∠A＝60°，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝eq\r(22＋42－2×2×4cos60°)＝2eq\r(3).经过eq\r(3)h，该船的航程为2eq\r(3)×eq\r(3)＝6(km)．5.C如图，作CE⊥平面ABD于点E，则∠CDE是太阳光线与地面所成的角，即∠CDE＝40°，延长DE交直线AB于点F，连接CF，则∠CFD是遮阳棚与地面所成的角，设为α.要使S△ABD最大，只需DF最大．在△CFD中，eq\f(CF,sin40°)＝eq\f(DF,sin140°－α).∴DF＝eq\f(CF·sin140°－α,sin40°).∵CF为定值，∴当α＝50°时，DF最大．6.eq\f(20,3)eq\r(6)如图△ABC中，∠A＝45°＋15°＝60°，∠B＝45°＋30°＝75°，∠ACB＝45°，由正弦定理知eq\f(x,sin∠ACB)＝eq\f(20,sinA)，∴x＝eq\f(20,3)eq\r(6).7.【解析】在△ABC中，BC＝30，∠B＝30°，∠ACB＝135°，∴∠BAC＝15°由正弦定理eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)，即：eq\f(30,sin15°)＝eq\f(AC,sin30°)∴AC＝60cos15°＝60cos(45°－30°)＝60(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝15(eq\r(6)＋eq\r(2))，∴A到BC的距离为d＝ACsin45°＝15(eq\r(3)＋1)≈海里>38海里，所以继续向南航行，没有触礁危险．8.【解析】如图所示，设快艇从M处以v千米/小时的速度出发，沿MN方向航行，t小时后与汽车相遇．在△MON中，MO＝500，ON＝100t，MN＝vt，设∠MON＝α，由题意得sinα＝eq\f(3,5)，则cosα＝eq\f(4,5).由余弦定理，得MN2＝OM2＋ON2－2OM·ON·cosα，即v2t2＝5002＋1002t2－2×500×100t×eq\f(4,5).v2＝5002×eq\f(1,t2)－2×500×80×eq\f(1,t)＋1002＝(500×eq\f(1,t)－80)2＋3600.当eq\f(1,t)＝eq\f(80,500)，即t＝eq\f(25,4)时，veq\o\al(2,min)＝3