高中数学北师大版2第三章推理与证明综合法与分析法 学业分层测评9

学业分层测评(九)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知a，b为非零实数，则使不等式eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≤－2成立的一个充分不必要条件是()A．a·b>0 B．a·b<0C．a>0，b<0 D．a>0，b>0【解析】∵eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≤－2，∴eq\f(a2＋b2,ab)≤－2.∵a2＋b2>0，∴ab<0，则a，b异号，故选C.【答案】C2．平面内有四边形ABCD和点O，eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，则四边形ABCD为()A．菱形 B．梯形C．矩形 D．平行四边形【解析】∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))，∴eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OD,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，∴四边形ABCD为平行四边形．【答案】D3．若实数a，b满足0<a<b，且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是()\f(1,2) B．a2＋b2C．2ab D．a【解析】∵a＋b＝1，a＋b>2eq\r(ab)，∴2ab<eq\f(1,2).而a2＋b2>eq\f(a＋b2,2)＝eq\f(1,2).又∵0<a<b，且a＋b＝1，∴a<eq\f(1,2)，∴a2＋b2最大，故选B.【答案】B4．A，B为△ABC的内角，A>B是sinA>sinB的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若A>B，则a>b，又eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，∴sinA>sinB；若sinA>sinB，则由正弦定理得a>b，∴A>B.【答案】C5．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是()A．若mβ，α⊥β，则m⊥αB．若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，则α∥βC．若m⊥β，m∥α，则α⊥βD．若α⊥γ，α⊥β，则β⊥γ【解析】对于A，m与α不一定垂直，所以A不正确；对于B，α与β可以为相交平面；对于C，由面面垂直的判定定理可判断α⊥β；对于D，β与γ不一定垂直．【答案】C二、填空题6．设e1，e2是两个不共线的向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝2e1＋ke2，eq\o(CB,\s\up6(→))＝e1＋3e2，若A，B，C三点共线，则k＝________.【解析】若A，B，C三点共线，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(CB,\s\up6(→))，即2e1＋ke2＝λ(e1＋3e2)＝λe1＋3λe2，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,3λ＝k，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ＝2，,k＝6.))【答案】67．设a＝eq\r(2)，b＝eq\r(7)－eq\r(3)，c＝eq\r(6)－eq\r(2)，则a，b，c的大小关系为________．【解析】∵a2－c2＝2－(8－4eq\r(3))＝eq\r(48)－eq\r(36)>0，∴a>c.又∵eq\f(c,b)＝eq\f(\r(6)－\r(2),\r(7)－\r(3))＝eq\f(\r(7)＋\r(3),\r(6)＋\r(2))>1，∴c>b，∴a>c>b.【答案】a>c>b8．已知三个不等式：①ab>0；②eq\f(c,a)>eq\f(d,b)；③bc>ad.以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成________个正确的命题．【解析】对不等式②作等价变形：eq\f(c,a)>eq\f(d,b)⇔eq\f(bc－ad,ab)>0.于是，若ab>0，bc>ad，则eq\f(bc－ad,ab)>0，故①③⇒②.若ab>0，eq\f(bc－ad,ab)>0，则bc>ad，故①②⇒③.若bc>ad，eq\f(bc－ad,ab)>0，则ab>0，故②③⇒①.因此可组成3个正确的命题．【答案】3三、解答题9．如图3­3­4，四棱锥P­ABCD的底面是平行四边形，E，F分别为AB，CD的中点，求证：AF∥平面PEC.图3­3­4【证明】∵四棱锥P­ABCD的底面是平行四边形，∴ABCD.又∵E，F分别为AB，CD的中点，∴CFAE，∴四边形AECF为平行四边形，∴AF∥EC.又AF⃘平面PEC，EC平面PEC，∴AF∥平面PEC.10．(2023·临沂高二检测)在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c也成等差数列．求证：△ABC为等边三角形.【导学号：67720238】【证明】由A，B，C成等差数列知，B＝eq\f(π,3)，由余弦定理知b2＝a2＋c2－ac，又a，b，c也成等差数列，∴b＝eq\f(a＋c,2)，代入上式得eq\f(a＋c2,4)＝a2＋c2－ac，整理得3(a－c)2＝0，∴a＝c，从而A＝C，而B＝eq\f(π,3)，则A＝B＝C＝eq\f(π,3)，从而△ABC为等边三角形．[能力提升]1．设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝2eq\r(3)，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最大值为()A．2 \f(3,2)C．1 D．eq\f(1,2)【解析】∵ax＝by＝3，x＝loga3，y＝logb3，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝log3(ab)≤log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝1.故选C.【答案】C2．(2023·西安高二检测)在△ABC中，tanA·tanB>1，则△ABC是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．不确定【解析】因为tanA·tanB>1，所以A，B只能都是锐角，所以tanA>0，tanB>0,1－tanA·tanB<0，所以tan(A＋B)＝eq\f(tanA＋tanB,1－tanA·tanB)<0，所以A＋B是钝角，即C为锐角．【答案】A3．若0<a<1,0<b<1，且a≠b，则a＋b,2eq\r(ab)，a2＋b2,2ab中最大的是________．【解析】由0<a<1,0<b<1，且a≠b，得a＋b>2eq\r(ab)，a2＋b2>2ab.又a>a2，b>b2，知a＋b>a2＋b2，从而a＋b最大．【答案】a＋b4．(2023·泰安高二检测)如图3­3­5所示，M是抛物线y2＝x上的一点，动弦ME，MF分别交x轴于A，B两点，且MA＝MB.若M为定点，求证：直线EF的斜率为定值．图3­3­5【证明】设M(yeq\o\al(2,0)，y0)，直线ME的斜率为k(k>0)，∵MA＝MB，∴∠MAB＝∠MBA，∴直线MF的斜率为－k，∴直线ME的方程为y－y0＝k(x－yeq\o\al(2,0))．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－y0＝kx－y\o\al(2,0)，,y2＝x，))消去x得ky2－y＋y0(1－ky0)＝0，解得yE＝eq\f(1－ky0,k)，∴xE＝eq\f(1－ky02,k2).同理可得yF＝eq\f(1＋ky0,－