小学全部概念以及教学

小学全部概念以及教学第一页，共一百三十一页，2022年，8月28日什么是数学概念小学数学概念网络小学数学概念的表现形式小学数学概念教学的意义数学概念教学的一般要求小学数学概念教学的过程小学数学概念教学中应注意的问题案例赏析小学数学概念教学第二页，共一百三十一页，2022年，8月28日一、什么是数学概念

思考：数学的研究对象什么？伟大的革命导师恩格斯，站在辩证唯物主义的理论高度，通过深刻分析数学的起源和本质，精辟地作出了一系列科学的论断。恩格斯指出：“数学是数量的科学”，“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系”。根据恩格斯的观点，较确切的说法就是：数学——研究现实世界的数量关系和空间形式的科学。

数学概念是客观现实中的数量关系和空间形式的本质属性在人脑中的反映。第三页，共一百三十一页，2022年，8月28日小学数学中有很多概念数的概念运算的概念量与计量的概念几何形体的概念比和比例的概念方程的概念统计初步知识的有关概念、、、、、、这些概念是构成小学数学基础知识的重要内容，它们是互相联系着的。第四页，共一百三十一页，2022年，8月28日二、小学数学概念网络第五页，共一百三十一页，2022年，8月28日（一）、整数、小数、分数和百分数的认识整数……0自然数整除倍数约数质数合数1公倍数最小公倍数质因数分解质因数公约数互质数最大公约数第六页，共一百三十一页，2022年，8月28日（一）、整数、小数、分数和百分数的认识小数的意义和性质小数的意义小数的性质小数点位置移动引起小数大小的变化第七页，共一百三十一页，2022年，8月28日（一）、整数、小数、分数和百分数的认识分数的意义和性质分数的意义分数的种类分数的基本性质分数和小数的互化分数的意义分数与除法的关系分子的意义分母的意义分数单位的意义求一个数是另一个数的几分之几的应用题真分数假分数带分数转化约分通分最简分数的意义约分的意义约分的方法通分的意义通分的方法掌握互化的方法判断一个分数是否能化成有限小数第八页，共一百三十一页，2022年，8月28日第九页，共一百三十一页，2022年，8月28日（二）、分数、小数和百分数的互化分数百分数小数分子除以分母写成十进位分数再约分改写成分数后约分一般先化成小数去%后小数点向左移两位小数点向右移两位加%第十页，共一百三十一页，2022年，8月28日（三）、数的整除约数公约数最小公约数自然数（0除外）质数合数1质因数分解质因数倍数公倍数最小公倍数能被2、5、3整除的数的特征奇数偶数整除互质数第十一页，共一百三十一页，2022年，8月28日（四）、四则运算和四则混合运算商的变化规律运算整数、小数、分数四则运算加法减法除法乘法整数、小数四则混合运算分数、小数加减混合运算分数四则混合运算意义法则简便算法加法的意义加法各部分间的关系加法的运算定律减法的意义减法各部分间的关系减法的运算定律乘法的意义乘法各部分间的关系乘法的运算定律积的变化规律除法的意义除法各部分间的关系逆运算逆运算逆运算逆运算第十二页，共一百三十一页，2022年，8月28日（五）、代数初步认识用字母表示数用字母表示数的意义用字母表示数的方法用字母表示数量关系用字母表示运算定律用字母表示计算公式用字母表示数量等式（方程）不等式方程的解解方程第十三页，共一百三十一页，2022年，8月28日（六）、比和比例比比的意义比的各部分名称比与除法、分数之间的关系比的基本性质化简比比的应用（按比例分配）比例比例的意义比例的各部分名称比例的基本性质解比例比例尺正比例反比例成正比例的量成正比例关系正比例关系式成反比例的量反比例关系反比例关系式第十四页，共一百三十一页，2022年，8月28日（六）、比和比例比和比例研究两个量（或数）的比较关系比比的意义比、分数、除法的关系比的性质和化简比比的应用比例尺按比例分配研究两个比之间的关系比例比例的意义比例的性质解比例研究常量与变量的变化规律正比例反比例正、反比例的意义正、反比例的判断比例应用题正比例应用题反比例应用题第十五页，共一百三十一页，2022年，8月28日（七）、简单应用题一步计算应用题整数一步计算应用题小数一步计算应用题分数一步计算应用题百分数一步计算应用题两个已知条件一个问题第十六页，共一百三十一页，2022年，8月28日（八）、简单应用题复合应用题两步计算应用题两步以上计算应用题第十七页，共一百三十一页，2022年，8月28日（九）、量的计算量长度质量时间人民币面积体积克千克吨时分秒年月日元角分第十八页，共一百三十一页，2022年，8月28日（十）、几何初步认识（一）线没有端点同一个平面内两直线位置关系相交成直角直线互相垂直永不相交互相平行有一个端点射线两条射线有公共端点大于0°小于90°锐角等于90°直角大于90°小于180°钝角等于180°平角等于360°周角角有两个端点线段（用线段可围成各种图形）第十九页，共一百三十一页，2022年，8月28日（十一）、几何初步认识（二）D=2rC=πd=2πrS=πr²两同心圆所围成部分平面图形（由三条线段围成的图形）三角形性质分类按角分按边分锐角三角形（三个角都是锐角）直角三角形（有一个角是直角）钝角三角形（有一个角是钝角）一般三角形（三边均不相等）等腰三角形（两边相等）等边三角形（三边相等）稳定性三个内角和是180°S=½ah四边形（由四条线段围成的图形）只有一组对边平行两组分别对边平行梯形平行四边形一般梯形等腰梯形（等腰相等）直角梯形（一腰与底垂直）S=½（a+b)h长方形正方形有一个角是直角邻边相等两组对边分别平行并且相等，没有对称轴；S=ab对边相等，四个角是直角；有两条对称轴；C=（a+b)×2S=ab两边相等，四个角是直角；有四条对称轴；C=4aS=a²圆（由曲线围成的图形）一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形扇形圆环S=πR²-πr²第二十页，共一百三十一页，2022年，8月28日（十二）、几何初步认识（三）立体图长方体正方体六个面，都是长方形（特殊情况下有两个相对的面是长方形）相对的面完全相同，十二条棱，相对的棱长度相等S表=2（ab+ah+bh)V=abh六个面是正方形，十二条棱都相等S表=6a²V=a³圆柱长、宽、高相等上下底面位等圆，侧面展开得到一个长方形S侧=2πrhS表=2πr²+2πrhV=sh=πr²h圆锥长、宽、高相等有两个面，底面是一个圆，侧面是一个曲面V=sh球第二十一页，共一百三十一页，2022年，8月28日（十三）、简单的统计统计知识数据的收集和整理求平均数求简单的平均数求比较复杂的平均数统计表简单统计表复式统计表含有百分数统计表统计图条形统计图折线统计图扇形统计图单式条形统计图复式条形统计图单式折线统计图复式折线统计图第二十二页，共一百三十一页，2022年，8月28日（十四）、统计表的制作表外部分统计表名称：反映统计表的主要内容应简明扼要单位说明：表内数据的计量单位统一时计量单位可放在表外制表时间：年月日表内部分表头数据：要填写的统计数据纵标题：每一纵行内数据的意义横标题：每一横行内数据的意义横栏目数据的主要内容纵栏目第二十三页，共一百三十一页，2022年，8月28日三、小学数学概念的表现形式

1．定义式定义式是用简明而完整的语言揭示概念的内涵或外延的方法，具体的做法是用原有的概念说明要定义的新概念。

如“有两条边相等的三角形叫等腰三角形”；“含有未知数的等式叫方程”。第二十四页，共一百三十一页，2022年，8月28日二、小学数学概念的表现形式

2．描述式用一些生动、具体的语言对概念进行描述，叫做描述式。

如：“我们在数物体的时候，用来表示物体个数的0、1、2、3、4、5……叫自然数”；“象1.25、0.726、0.005等都是小数”等。第二十五页，共一百三十一页，2022年，8月28日描述式概念一般用于以下情况一种是对数学中的点、线、体、集合等原始概念都用描述法加以说明。

另一种是对于一些较难理解的概念，如果用简练、概括的定义出现不易被小学生理解，就改用描述式。第二十六页，共一百三十一页，2022年，8月28日小学数学概念呈现两大特点

一是数学概念的直观性；二是数学概念的阶段性。

第二十七页，共一百三十一页，2022年，8月28日四、数学概念教学的意义首先，数学概念是数学基础知识的重要组成部分。

其次，数学概念教学的过程是发展思维、培养数学能力的过程。

第二十八页，共一百三十一页，2022年，8月28日首先，数学概念是数学基础知识的重要组成部分。学生掌握基础知识的过程，实际上就是掌握概念并运用概念进行判断、推理的过程。数学中的法则都是建立在一系列概念的基础上的。例如：整数百以内的笔算加法法则为：“相同数位对齐，从个位加起，个位满十，就向十位进一。”第二十九页，共一百三十一页，2022年，8月28日其次，数学概念教学的过程是发展思维、培养数学能力的过程。

概念是思维形式之一，也是判断和推理的起点，所以概念教学对培养学生的思维能力能起重要作用。第三十页，共一百三十一页，2022年，8月28日观点分享：美国约翰.霍尔特写的《学习像呼吸一样自然》，有一个观点值得分享。他认为：当我们对什么事情都不懂的时候，有这样1-3种关于理解障碍的情形：第三十一页，共一百三十一页，2022年，8月28日

关于理解障碍的情形：第一种，我们可能听到一个词或词组，或者看到一个图标，却不明白其代表的事务。

比如，狗是一种四条腿、有毛、通常有尾巴的动物，如果你从来没有见过狗，听到有人谈话时提起狗，你会有些糊涂。如果你只在遥远的北极生活，人们很难向你解释树是什么，就像生活在平原的人解释山是什么很难一样。从没有见过雪的人，就算他们听说过甚至看过雪的图片，当他看到真正的雪的时候还是会情不自禁的俯下身子去仔细端详。如果你见过某种动物，比如马或是猫，我便能较为容易的给你解释狗，我可以说它比马小比猫大或是差不多，也是四条腿，有头有尾巴。第三十二页，共一百三十一页，2022年，8月28日第二种关于理解的障碍是，先听说一件事情，然后又听说另一件事情，但它和第一件事情看似矛盾。如果你被告知鸭子会飞，而暴躁的乌龟生活在水里，然后又听说鸭子被乌龟捉住了（的确会发生）你想不明白，这怎么可能呢？当别人告诉你鸭子有时也会在水里呆着，这时你就会想通了。第三十三页，共一百三十一页，2022年，8月28日第三种关于理解障碍是建立联系。

第三十四页，共一百三十一页，2022年，8月28日启发：面对学生的“我不明白！”该怎么办？第三十五页，共一百三十一页，2022年，8月28日五、数学概念教学的一般要求1．使学生准确理解概念2．使学生牢固掌握概念3．使学生能正确运用概念第三十六页，共一百三十一页，2022年，8月28日五、数学概念教学的一般要求

1．使学生准确理解概念理解概念，一要能举出概念所反映的现实原型，二要明确概念的内涵与外延，即明确概念所反映的一类事物的共同本质属性，和概念所反映的全体对象，三要掌握表示概念的词语或符号。第三十七页，共一百三十一页，2022年，8月28日五、数学概念教学的一般要求2．使学生牢固掌握概念掌握概念是指要在理解概念的基础上记住概念，正确区分概念的肯定例证和否定例证。能对概念进行分类，形成一定的概念系统。第三十八页，共一百三十一页，2022年，8月28日五、数学概念教学的一般要求

3．使学生能正确运用概念概念的运用主要表现在学生能在不同的具体情况下，辨认出概念的本质属性，运用概念的有关属性进行判断推理。第三十九页，共一百三十一页，2022年，8月28日六、数学概念教学的过程引入概念，使学生感知概念，形成表象；通过分析、抽象和概括，使学生理解和明确概念；通过例题、习题使学生巩固和应用概念。第四十页，共一百三十一页，2022年，8月28日（一）数学概念的引入数学概念的引入，是数学概念教学的第一个环节，也是十分重要的环节。概念引入得当，就可以紧紧地围绕课题，充分地激发起学生的兴趣和学习动机，为学生顺利地掌握概念起到奠基作用。第四十一页，共一百三十一页，2022年，8月28日数学概念的发生形成过程：有的是现实模型的直接反映；有的是在已有概念的基础上经过一次或多次抽象后得到的；有的是从数学理论发展的需要中产生的；有的是为解决实际问题的需要而产生的；有的是将思维对象理想化，经过推理而得；有的则是从理论上的存在性或从数学对象的结构中构造产生的。第四十二页，共一百三十一页，2022年，8月28日（一）数学概念的引入1、以感性材料为基础引入新概念。2、以新、旧概念之间的关系引入。3、以“问题”的形式引入新概念。4、从概念的发生过程引入新概念。第四十三页，共一百三十一页，2022年，8月28日1、以感性材料为基础引入新概念。用学生在日常生活中所接触到的事物或教材中的实际问题以及模型、图形、图表等作为感性材料，引导学生通过观察、分析、比较、归纳和概括去获取概念。第四十四页，共一百三十一页，2022年，8月28日1、以感性材料为基础引入新概念。“平行线”。“轴对称图形”。“万以内数的认识”第四十五页，共一百三十一页，2022年，8月28日1、以感性材料为基础引入新概念。

以感性材料为基础引入新概念，是用概念形成的方式去进行教学的，因此教学中应选择那些能充分显示被引入概念的特征性质的事例，正确引导学生去进行观察和分析，这样才能使学生从事例中归纳和概括出共同的本质属性，形成概念。第四十六页，共一百三十一页，2022年，8月28日2、以新、旧概念之间的关系引入。如果新、旧概念之间存在某种关系，如相容关系、不相容关系等，那么新概念的引入就可以充分地利用这种关系去进行。第四十七页，共一百三十一页，2022年，8月28日2、以新、旧概念之间的关系引入。“乘法意义”可以从“加法意义”引入。“整除”可以从“除法”中的“除尽”引入。“质因数”可以从“因数”和“质数”引入。质数、合数可用约数概念引入。……第四十八页，共一百三十一页，2022年，8月28日3、以“问题”的形式引入新概念。从现实生活中的问题引入数学概念；从数学问题或理论本身的发展需要引入概念。第四十九页，共一百三十一页，2022年，8月28日案例：“统计”（从现实生活问题引入）谈话引入：今天，老师给你们带来了几部动画片的片断，想看吗？请看大屏幕。（课件播放播动画片片头）提问：说一说，老师刚才放了哪些动画片？（教师在黑板上贴《海绵宝宝》、《喜洋洋和灰太郎》、《猫和老鼠》、《大耳朵图图》动画片图案）设疑提问：孩子们，还想看吗？那好，这次老师就给大家放一部你们最喜欢的，这四部动画片，你们最喜欢哪一部？（孩子们争论不休）追问：这四部动画片，每部都有人喜欢，到底放哪一部呀？汇总学生意见：哪一部动画片喜欢的人多，它就是“大家最喜欢的”，也就播放这一部。

……第五十页，共一百三十一页，2022年，8月28日案例：《认识长方形和正方形》师：今天，咱们一起来研究研究长方形和正方形。生：我知道。师：很好。看来，我们许多小朋友知道长方形是什么样子的。那我们就一起做个游戏：“演双簧”。你们来指挥，我来画长方形，如何？生：好。（积极性很高） 师：注意游戏规则：请描述长方形的样子，老师照你说的画长方形，看我们配合得怎么样。（学生很兴奋，跃跃欲试）第五十一页，共一百三十一页，2022年，8月28日案例：《认识长方形和正方形》在这个环节中，学生有很多描述，但叙述都比较片面。如：两条线段相等。老师画两条相等但相交的线段。学生急着说：不是，应该是平行的。老师按照他的说法画出两条平行、相等，但不完全相对的线段。学生不断补充：有四条线段、四个直角……根据他们的描述，可能画出许多不是长方形的图形，经过修修改改……长方形到底有什么特征呢？教师适时安排探究活动。第五十二页，共一百三十一页，2022年，8月28日4、从概念的发生过程引入新概念。案例：分数的意义：情景：两个小朋友春游带了两瓶水、四个苹果和一块蛋糕。提问：怎么分呢？结果：一人1瓶水、2个苹果、半块蛋糕研究：分蛋糕的过程得到一块蛋糕的1/2。问：回想刚才分蛋糕的过程，我们是怎么得到了一块蛋糕的二分之一？抽象概括分数的意义。第五十三页，共一百三十一页，2022年，8月28日分数有三个定义：份数的定义，这种定义引入自然.一个数除以另一个数（0除外），如果能整除得到的就是整数，除不尽了商就是分数。除法的定义突出分数产生的必要性.两个自然数a比b,b≠0,即a/b叫做分数.第五十四页，共一百三十一页，2022年，8月28日你能想到哪个分数？第五十五页，共一百三十一页，2022年，8月28日（二）数学概念的形成引入概念，仅是概念教学的第一步，要使学生获得概念，还必须引导学生准确地理解概念，明确概念的内涵与外延，正确表述概念的本质属性。为此，教学中可采用一些具有针对性的方法。第五十六页，共一百三十一页，2022年，8月28日（二）数学概念的形成1、对比与类比。2、恰当运用反例。3、合理运用变式。4、让学生参与概念形成的过程。第五十七页，共一百三十一页，2022年，8月28日1、对比与类比。对比概念，可以找出概念间的差异，类比概念，可以发现概念间的相同或相似之处。例如，学习“整除”概念时，可以与“除法”中的“除尽”概念进行对比

第五十八页，共一百三十一页，2022年，8月28日2、恰当运用反例。用反例去突出概念的本质属性，实质是使学生明确概念的外延从而加深对概念内涵的理解。第五十九页，共一百三十一页，2022年，8月28日3、合理运用变式。依靠感性材料理解概念，往往由于提供的感性材料具有片面性、局限性，或者感性材料的非本质属性具有较明显的突出特征，容易形成干扰的信息，而削弱学生对概念本质属性的正确理解。

第六十页，共一百三十一页，2022年，8月28日4、让学生参与概念形成的过程。所谓概念形成，是指学生从许多具体事例中，以归纳的方式概括出一类事例的本质属性，从而获得概念的一种形式。概念的形成是通过对具体事物的感知、辨别而抽象、发现事物的本质属性或规律，从而概括出概念的过程。第六十一页，共一百三十一页，2022年，8月28日概念教学普遍关注的原因概念的地位概念教学内容抽象普遍存在走过场，采用“一个定义，几项注意”的方式，以解题教学代替概念教学第六十二页，共一百三十一页，2022年，8月28日4、让学生参与概念形成的过程。中科院数学与系统科学研究院的李邦河院士认为，“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧．技巧不足道也！”以解题教学代替概念教学的做法严重偏离了数学的正轨，必须纠正．否则，学生在数学上耗费大量时间、精力，结果可能是对数学的内容、方法和意义知之甚少，“数学育人”终将落空．第六十三页，共一百三十一页，2022年，8月28日4、让学生参与概念形成的过程。关注交流表述，归纳意义运用变式、比较，揭示本质第六十四页，共一百三十一页，2022年，8月28日关注交流表述，归纳意义表述和交流自己的发现。解释说明自己的观点。质疑和反驳他人的想法。第六十五页，共一百三十一页，2022年，8月28日分数除以整数：第六十六页，共一百三十一页，2022年，8月28日运用变式、比较，揭示本质“变式”是指本质属性不变而非本质属性发生变化。通过对不同的变式进行比较．突出概念的关键特征，可以使获得的概念更精确、稳定和易于迁移。第六十七页，共一百三十一页，2022年，8月28日案例：《认识正、负数》第一环节，引入：教师用丰富的配音图片资料吸引学生，为学生提供了温度、海拔高度、产量情况等丰富的素材信息。第六十八页，共一百三十一页，2022年，8月28日案例：《认识正、负数》第二环节：通过温度计理解零上13℃、零下3℃以及0℃的含义：师：我们先来看这两个温度。（零上13℃、零下3℃）你知道生活中用什么工具测量温度吗？生：用温度计测量温度。师：（课件出示：温度计图）这是一个温度计图，上面的1小格是1度，1大格是5℃。你能找出零上13℃、零下3℃的位置吗？生1：最下面一格是0℃，从0℃往上13小格就是零上13℃。从0℃往下三小格就是零下3℃。师：这个同学敢于把自己的想法说给大家听，真棒。这样找到零上13℃和零下3℃，你们同意吗？第六十九页，共一百三十一页，2022年，8月28日案例：《认识正、负数》生2：我觉得这样不行，因为0℃下面没有刻度，也就找不出零下3℃。师：谁有不同的找法？生3：（指着温度计图）如果把0℃，移到这儿（上移3格），零上13℃就是往上数2大格，再数3小格，零下3℃就是从0℃往下数3小格。师：你们觉得这种方法怎么样？生：我觉得好，这样零下找出来比较准确，原来那样就是找也是大约。师：说得好。那我们要找零上13℃和零下3℃，先要确定什么？生：0℃。师：科学家把自然状态下刚结冰的温度定为0摄氏度，简称0℃。0℃在这有什么作用？第七十页，共一百三十一页，2022年，8月28日案例：《认识正、负数》生1：找到0℃就能找到零上和零下温度了。生2：我给他补充，0℃可以分开零上温度和零下温度。生3：0℃是分界线，把零上和零下温度分开了。师：正如同学们所说，0℃是零上和零下温度的分界线。在接下来的环节中，教师让学生自主创造表示零上13℃和零下3℃的方法，有的用上下箭头、有的从股市得到灵感用上下三角形、有的用加减号。。。通过讨论交流，让学生经历符号化过程。第七十一页，共一百三十一页，2022年，8月28日（三）数学概念的巩固1、注意及时复习2、重视应用3、重视辨析第七十二页，共一百三十一页，2022年，8月28日1、注意及时复习复习的方式可以是对个别概念进行复述，也可以通过解决问题去复习概念，而更多地则是在概念体系中去复习概念。当概念教学到一定阶段时，特别是在章节末复习、期末复习和毕业总复习时，要重视对所学概念的整理和系统化，从纵向和横向找出各概念之间的关系，形成概念体系。第七十三页，共一百三十一页，2022年，8月28日2、重视应用

在概念教学中，既要引导学生由具体到抽象，形成概念，又要让学生由抽象到具体，运用概念。

第七十四页，共一百三十一页，2022年，8月28日2、重视应用（1）概念内涵的应用（2）概念外延的应用（3）例证的运用。第七十五页，共一百三十一页，2022年，8月28日（1）概念内涵的应用

复述概念的定义或根据定义填空。根据定义判断是非或改错。根据定义推理。第七十六页，共一百三十一页，2022年，8月28日（1）概念内涵的应用题组1：不计算，怎么拆更方便？（1）1089+99（2）1089-99=1089+100-1=1089-100+1（3）1089×99（4）1089÷99=1089×(100-1)=1089÷(100-1)第七十七页，共一百三十一页，2022年，8月28日（1）概念内涵的应用题组2：细细比较，怎样算最合理？（1）75×4×25×2（2）75×4+25×2（3）75×4+25×4

思考：分别比较一下乘法结合律和乘法分配律有什么不同？第七十八页，共一百三十一页，2022年，8月28日（2）概念外延的应用举例。辨认肯定例证或否定例证。并说明理由。按指定的条件从概念的外延中选择事例。将概念按不同标准分类。第七十九页，共一百三十一页，2022年，8月28日（2）概念外延的应用列举你所见到过的圆柱形物体。分母是9的最简真分数有

分子是9的假分数中，最小的一个是

将自然数2－19按不同标准分成两类（至少提出3种不同的分法）第八十页，共一百三十一页，2022年，8月28日（3）例证的运用。概念形成主要依靠对例证中隐含的属性的抽象概括。如，在初步认识了“比的意义”后，可以让学生充分举例各种不同的比及它们所表示的意义后，再补充以下几个例子：补充举例一：（1）第一小组男生5人，女生4人；（2）香蕉10元4斤；（3）汽车每小时行驶60千米，从绍兴到上海行驶了2.5小时；

第八十一页，共一百三十一页，2022年，8月28日（3）例证的运用。补充举例二：以下是李叔叔一天驾车的行驶记录：上午行驶2小时下午行驶3小时上午行了120千米下午行了240千米师：你能写出哪些比？2：240可以吗？3：120呢？师：关于“比”，还有什么要补充的？师生小结：只有当两个相关联的量具有相除关系的时候，才可以称为两个量的比。第八十二页，共一百三十一页，2022年，8月28日巩固新知：《比的基本性质》

把下面各比化成最简整数比：32：16

1/6：5/6

0.15：0.3

4/7：4/9

0.125：5/8

3/11：1/5发现几位同学在化简4/7：4/9时，直接写出了答案4/7：4/9=7：9。显然这是错误的。为什么好几位同学都会犯同样的错误呢？再一看前面有1/6：5/6。一定是化简这个比的思路负迁移了。第八十三页，共一百三十一页，2022年，8月28日巩固新知：《比的基本性质》生1：我发现4/7：4/9化简的比不是7：9，而是9：7.生2：根据比的性质，4/7：4/9的前项和后项同时乘63，等于36：28=9：7.是将前后项的分母调换位置了。生3：还可以用除法，4/7：4/9=4/7÷4/9=4/7×9/4=9:7生4：对，我有举了一个例子，1/2:1/3=3:2生5：我发现凡是分子相同的两个比，它们的化简比就是分母调换位置写成的。板演同学：我知道我为什么错了，刚才我算1/6：5/6

=1：5，这题和它看上去差不多，就直接写答案了，我太粗心了。生6：我还发现凡是分母相同的两个比，它们的化简比就是两个分子的比。第八十四页，共一百三十一页，2022年，8月28日3、重视辨析在小学数学中，有些概念其含义接近，但本质属性又有区别。如数与数字，数位与位数，奇数与质数，偶数与合数，质数、质因数与互质数，整除与除尽，化简比与求比值，时间与时刻，周长与面积，体积与容积……。第八十五页，共一百三十一页，2022年，8月28日3、重视辨析如几何知识中的高”、“底”、“腰”等概念，从字面上容易使学生产生“铅垂方向”与“下方”、“两侧”的错觉。而“倒数”则强化了分子与分母颠倒位置的直观认识，弱化了“两个数的乘积等于1”的本质属性，第八十六页，共一百三十一页，2022年，8月28日案例：体积和体积单位层次一：教学“物体占空间”。“占空间”不好表现，因为物体一移开就看不见了，为此我首先引用学生最熟悉的故事《乌鸦喝水》说明“石块占空间”；又做实验：用一个正好装满沙子的杯子，将沙倒出后放进一个木块，再将原来的沙装进杯中，学生发现原来正好满杯的沙装不下了，从而理解“木块也占空间”；接着又让学生将书包里的书等文具拿出来，发现书包瘪了，进一步认识书本等文具也都占空间……这样，通过具体实例，用小学阶段常用的“简单枚举法”就将生活经验数学化，抽象出“物体占空间”的意义。自认为完美的设计受到了专家的质疑：“满杯的沙子是什么时候装进去的？那小木块能挤出那么多的沙吗？”第八十七页，共一百三十一页，2022年，8月28日案例：体积和体积单位层次二：教学“物体占空间有大小” 在此环节教学中，我设计了一个比较长、宽、高分别为2、3、4的长方体与棱长为3的正方体比较所占空间的大小，并将它们制作成两个精美的盒子，先让学生猜，当出现分歧后，再把事先装进盒子的同样大小的小正方体一个个拿出来，通过数的方式得出正方体所占空间大。这时专家又质疑：体积和容积有区别吗？第八十八页，共一百三十一页，2022年，8月28日七、小学数学概念教学中应注意的问题

把握概念教学的目标，处理好概念教学的发展性与阶段性之间的矛盾。加强直观教学，处理好具体与抽象的矛盾。重视概念的运用，发挥概念的作用。关注数学概念的科学性、准确性，恰当选择生活中的“原型”。概念教学的活动组织，要找准起点。概念教学的活动安排，要注意顺序和时间问题。

第八十九页，共一百三十一页，2022年，8月28日把握概念教学的目标，处理好概念教学的发展性与阶段性之间的矛盾。概念本身有自己严密的逻辑体系。在一定条件下，一个概念的内涵和外延是固定不变的，这是概念的确定性。由于客观事物的不断发展和变化，同时也由于人们认识的不断深化，因此，作为人们反映客观事物本质属性的概念，也是在不断发展和变化的。如：对“数”这个概念来说对“0”的认识第九十页，共一百三十一页，2022年，8月28日把握概念教学的目标，处理好概念教学的发展性与阶段性之间的矛盾。数学概念的系统性和发展性与概念教学的阶段性成了教学中需要解决的一对矛盾。解决这一矛盾的关键是要切实把握概念教学的阶段性目标。例如，对分数意义理解的三次飞跃。再如长方体和立方体的认识在许多教材中是分成两个阶段进行教学的。

第九十一页，共一百三十一页，2022年，8月28日在把握阶段性目标时，应注意三点：

在每一个教学阶段，概念都应该是确定的，这样才不致于造成概念混乱的现象。当一个教学阶段完成以后，应根据具体情况，酌情指出概念是发展的，不断变化的。当概念发展后，教师不但指出原来概念与发展后概念的联系与区别，以便学生掌握，而且还应引导学生对有关概念进行研究，注意其发展变化。第九十二页，共一百三十一页，2022年，8月28日把握概念教学的目标，处理好概念教学的发展性与阶段性之间的矛盾。教学时既要注意教学的阶段性，不能把后面的要求提到前面，超越学生的认识能力；又要注意教学的连续性，教前面的概念要留有余地，为后继教学打下埋伏。从而处理好掌握概念的阶段性与连续性的关系。

第九十三页，共一百三十一页，2022年，8月28日第九十四页，共一百三十一页，2022年，8月28日第九十五页，共一百三十一页，2022年，8月28日第九十六页，共一百三十一页，2022年，8月28日（二）、加强直观教学，处理好具体与抽象的矛盾

尽管教材中大部分概念没有下严格的定义，而是从学生所了解的实际事例或已有的知识经验出发，尽可能通过直观的具体形象，帮助学生认识概念的本质属性。对于不容易理解的概念就暂不给出定义或者采用分阶段逐步渗透的办法来解决。但对于小学生来说，数学概念还是抽象的。第九十七页，共一百三十一页，2022年，8月28日（二）、加强直观教学，处理好具体与抽象的矛盾通过演示、操作进行具体与抽象的转化结合学生的生活实际进行具体与抽象的转化

第九十八页，共一百三十一页，2022年，8月28日

1、通过演示、操作进行具体与抽象的转化

教学中，对于一些相对抽象的内容，尽可能地利用恰当的演示或操作使其转化为具体内容，然后在此基础上抽象出概念的本质属性。

例如“圆周率”这一概念非常抽象(1)写出自己做的圆的直径；(2)滚动自己的圆，量出圆滚动一周的长度，写在练习本上；(3)计算圆的周长是直径的几倍。第九十九页，共一百三十一页，2022年，8月28日1、通过演示、操作进行具体与抽象的转化

圆直径(厘米)圆的周长(厘米)周长是直径的几倍

26.23.139.63.2412.63.15515.73.14……第一百页，共一百三十一页，2022年，8月28日1、通过演示、操作进行具体与抽象的转化这样教师借助于直观教学，运用学生原有的一些基础知识，逐步抽象，环环紧扣，层次清楚。通过实物演示，使学生建立表象，从而解决了数学知识的抽象性与儿童思维的形象性的矛盾。第一百零一页，共一百三十一页，2022年，8月28日2、结合学生的生活实际进行具体与抽象的转化

教学中有许多数量关系都是从具体生活内容中抽象出来的，因此，在教学中应该充分利用学生的生活实际，运用恰当的方式进行具体与抽象的转化，即把抽象的内容转化为学生的具体生活知识，在此基础上又将其生活知识抽象为教学内容。

第一百零二页，共一百三十一页，2022年，8月28日2、结合学生的生活实际进行具体与抽象的转化例如《乘法交换律》的教学：

一种钢笔，每盒10支，每支3元，买2盒钢笔要多少元?两种解答思路：一是先求出“每盒多少元”，再求出“2盒要多少元”，算式：(3×10)×2＝60元；二是先求出“一共有多少支钢笔”，再求出“2盒多少元”，算式：3×(2×10)＝60元。第一百零三页，共一百三十一页，2022年，8月28日2、结合学生的生活实际进行具体与抽象的转化乘法分配律的教学也是让学生解答类似的问题，如：一件上衣50元，一条裤子30元，买这样的5套衣服需要多少元?第一百零四页，共一百三十一页，2022年，8月28日2、结合学生的生活实际进行具体与抽象的转化“长方形、正方形面积的计算”：先提出“根据你们自己的经验，你们认为长方形的面积可能与它的什么有关系？”，再提出“长方形的面积和它的长和宽有什么样的关系呢？”，并以“我们先来摆一摆。”展开实验探索活动。第一百零五页，共一百三十一页，2022年，8月28日（三）、重视概念的运用，发挥概念的作用

自举实例运用于计算、作图等运用于生活实践第一百零六页，共一百三十一页，2022年，8月28日1、自举实例

有经验的教师，在学生通过分析、综合、抽象、概括出概念后，总是让他们自举例证，把概念具体化。

第一百零七页，共一百三十一页，2022年，8月28日2、运用于计算、作图等

例如，如学了乘法的运算定律后，就可以让学生简便计算下面各题。104×2548×25101×35×214×99+1425×32146+9×146(80+8)×258×(125+50)34×5×2第一百零八页，共一百三十一页，2022年，8月28日2、运用于计算、作图等在掌握分数的基本性质后，就要求学生能熟练地进行通分、约分，并说明通分、约分的依据。学习了小数的性质后，就可以让学生把小数按要求进行化简或改写；学习了等腰三角形，可设计一组操作题：画一个等腰三角形；画一个顶角60度的等腰三角形；画一个腰长为2厘米的等腰直角三角形。

……第一百零九页，共一百三十一页，2022年，8月28日

3、运用于生活实践

数学概念来源于生活，就必然要回到生活实际中去。教师引导学生运用概念去解决数学问题，是培养学生思维，发展各种数学能力的过程。并且，也只有让学生把所学习到的数学概念，拿到生活实际中去运用，才会使学到的概念巩固下来，进而提高学生对数学概念的运用技能。第一百一十页，共一百三十一页，2022年，8月28日3、运用于生活实践举例学习平均数的概念后，当看到水塘标识：“平均水深1.2米”，学生就知道作为身高1.4米的学生下去游泳是有危险的。学习了众数的概念后，学生就知道鞋店进货是依据销售鞋码的众数。……第一百一十一页，共一百三十一页，2022年，8月28日3、运用于生活实践举例又如在学习圆的面积后，一位教师就设计了这样的问题：“我们已经学习了圆面积公式，谁能想办法算一算，学校操场上白杨树树干的横截面面积?”再如，在教学正比例应用题时，可以启发学生运用旗杆高度与影长的关系，巧妙地算出了旗杆的高度。第一百一十二页，共一百三十一页，2022年，8月28日3、运用于生活实践这样通过创设有效的教学情景，教师适时点拨，不但启迪了学生的思维，而且培养了学生学以致用的兴趣和能力，也加深了对所学概念的理解。第一百一十三页，共一百三十一页，2022年，8月28日为学生选择“原型”和学习素材，需要注意的是“抓实质”。（四）、关注数学概念的科学性、准确性，恰当选择生活中的“原型”。第一百一十四页，共一百三十一页，2022年，8月28日（四）、关注数学概念的科学性、准确性，恰当选择生活中的“原型”。比如，旋转现象:游乐园里的摩天轮和旋转椅的转动、电风扇工作、风车玩具迎风旋转……从人的肢体动作来看，芭蕾舞演员一个脚尖点地的旋舞动作，可以看作旋转。两脚交替踏地转动身体，就偏离了绕一点转动的运动本质。第一百一十五页，共一百三十一页，2022年，8月28日（四）、关注数学概念的科学性、准确性，恰当选择生活中的“原型”。再如，轴对称图形：意大利国旗（由三个平行相等的竖长方形相连构成，从左至右依次为绿、白、红色）是轴对称图形吗？.

轴对称图形对称轴的两边都一样，是指形状大小一样、图案一样，与颜色无关。第一百一十六页，共一百三十一页，2022年，8月28日（五）、概念教学的活动组织，要找准起点。我们强调：要从学生已有的知识和经验出发，设计、组织数学学习活动。学生已有的与新知识相关的知识和经验，就是数学学习活动的起点。第一百一十七页，共一百三十一页，2022年，8月28日（五）、概念教学的活动组织，要找准起点。“万以内数的认识”的教学，我们经常听到这样的片段：

1百万有多大？让学生认识“1百万颗黄豆的体积大约是多少”第一百一十八页，共一百三十一页，2022年，8月28日（五）、概念教学的活动组织，要找准起点。找准学生学习的起点设计、组织数学活动，学生有条件、有能力参与，才能敢参与、愿参与，才会有获取知识、探索规律的信心和兴趣。学生的数学学习，才有可能是主动的、积极的。第一百一十九页，共一百三十一页，2022年，8月28日（六）、概念教学的活动安排，要注意顺序和时间问题。数学活动的安排顺序，要符合学生的认知规律，又要符合数学知识的逻辑顺序，要呈现知识的形成过程。然而，有的课上数学活动的安排，不是环环紧扣、层层递进。不是数学活动重复，就是难易顺序不当，影响了概念教学的效果和质量。另外，活动时间是需要注意的问题。第一百二十页，共一百三十一页，2022年，8月28日八、案例赏析：

案例：《射线与直线的认识》1、

借助想象：认识射线与直线师：请同学们说一说这“红外线”灯射出的红外线从哪里到哪里？并上台指一指。生：“红外线”灯射出的红外线从灯口到黑板（生上台指灯和黑板）。师：请同学们想一想，这射出的红外线有什么特点呢？生1：这条红外线应该是笔直的。生2：这条红外线应该是可以量出长度的。师：同学们对这条线的描述非常好，我们暂时称它为1号线。老师将“红外线”从窗户射出去，假如窗户外没有任何遮挡，一直射出去，请同学们说说这条线是从哪里到哪里？生：“红外线”灯还是从灯口射出，最后射到远方。第一百二十一页，共一百三十一页，2022年，8月28日案例：《射线与直线的认识》师：远方是哪里？你能指出来吗？

生1：远方就是窗外（比划窗外的方向）生2：远方就是射出去后被挡住的地方。师：如果老师射出的红外线没有任何物体遮挡，请同学们想象一下，会射到哪里呢？生1：如果没有任何遮挡物，就射向无限远的地方。生2：一直射下去，找不到会射向哪里。师：无限远是什么意思，你能想象出来吗？生：无限远就是没有尽头，一直这样射出去。第一百二十二页，共一百三十一页，2022年，8月28日案例：《射线与直线的认识》师：对啊，同学们能想象得出，如果窗外没有任何遮挡物，这红外线将一直射出去，射向无限远的地方，我们暂时称这种线为2号线。“红外线”灯从两端射出去，假如两端也没有任何遮挡物，请同学们想象一下，