概率统计复习

概率论复习第一章1.基本概念：随机事件，随机现象、随机试验、统计规律性、样本点样本空间、不可能事件、基本事件、随机事件、必然事件S。2.事件的关系与运算A∪B发生事件A与事件B

中至少有一个发生A∩B发生事件A与事件B

同时发生A－B

发生事件A发生，但事件B

不发生事件A与事件B互不相容（互斥）事件A与事件B互为逆事件注：“A

与B

互相对立”与“A

与B

互斥”是不同的概念对偶律

注:(1)A,B互不相容（互斥）3.概率的定义和性质(4)若A和B相互独立，则有则A未必是不可能事件.则A未必是必然事件.(5)思考：什么条件下，

（6）思考：若A与B相互独立，则P(A∪B)=?P(AB)=0，则AB未必为4.古典概型（1）拿球模型10个球中有4个白球，6个黑球，从中任取5个，其中2个白球，3个黑球的概率为多少？（2）生日问题一个宿舍有4个学生，只有1人生日在12月份；4个人的生日在同一个月份；4个人的生日不在同一个月份；4人的生日在不同月份；4人中至少有2人生日在同一个月份；5.条件概率与乘法定理6.全概率公式与贝叶斯公式7.事件的独立性事件与相互独立8.n重贝努利试验，1、已知(1)当A、B互不相容时，(2)当A、B相互独立时，(3)当时，练习：2、设三次独立试验中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率为，则在一次试验中事件A出现的概率为

。3.两个学生参加某个公司的招聘会，被聘用的概率分别为0.6和0.7，则两个学生至少有一人被该公司聘用的概率为

．4.设

则下列结论中错误的是（）(A)事件A与B互不相容；(B)(C)(D)(1)甲、乙两人同时命中目标的概率；

(2)恰有一人命中目标的概率；

(3)目标被命中的概率。三、计算题：１、甲、乙两人各自向同一目标射击，已知甲命中目标的概率为0.7，乙命中目标的概率为0.8求：解:设分别表示甲乙命中目标。则2、市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。第二章1．离散型随机变量的分布律及其性质注：求r.v分布律的步骤(1)列出X的所有可能取值；

(2)求出X的对应取值的概率；(3)列表（1）离散型随机变量的分布律例1.

一个口袋中有5个球，2个白球，3个红球，从中任取三个球，以X表示取到的白球的个数，求其分布律.例2.

从编号为1，2，3，4，5的5个球中任取3个，记X为3个球中的最大号码，求随机变量X的分布律。(2)三个常用的离散型随机变量（0-1）分布，二项分布，泊松分布（熟记分布律，数学期望和方差）2．分布函数的定义与性质注意:（1）（2）若分别为随机变量的分布函数，则不是任何随机变量的分布函数。因为3．连续型随机变量的分布律及其性质（1）连续型随机变量的概率密度对于任何实数a,注意：对连续性随机变量，有（2）三个常用的连续型随机变量均匀分布，指数分布（参数为），正态分布（熟记概率密度，数学期望和方差）（3）正态分布标准正态分布的分布函数若，则例3.已知例4.

设某种零件的长度服从参数为求这种零件的合格率；的正态分布，规定长度误差在±0.02范围内的为合格品，若任意抽取20个这种零件，问其中不合格品不超过2个的概率是多少？3．随机变量函数的分布（1）离散型随机变量函数的分布随机变量取值从小到大排列，相同值对应概率相加。（2）连续型随机变量函数的分布若不单调，则先求随机变量的分布函数再求出随机变量的概率密度若单调，则利用如下公式求其中h(y)是g(x)的反函数，（具体的请参照教材P56）（3）正态分布的线性函数仍服从正态分布第三章1．二维随机变量的联合分布，边缘分布，独立性（1）二维随机变量关于X,Y的边缘分布函数分别为X和Y相互独立，则（2）二维离散型随机变量关于X,Y

的边缘分布律分别为X和Y相互独立，则（3）二维连续型随机变量关于X,Y的边缘概率密度分别为X和Y相互独立，则（4）两个常用的二维连续型随机变量若二维随机变量（X,Y）在区域G上服从均匀分布，则其概率密度为其中A为G的面积.若，则X和Y相互独立（5）两个随机变量函数的分布一般，且X和Y相互独立,则

有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布结论：例1.

二维连续型随机变量（X，Y）的概率密度为试求(X,Y)关于X和关于Y的边缘概率密度，并判断独立性例2.设随机变量X和Y相互独立，且X~N(0,1),Y在区间(0,2)上服从均匀分布，求(X,Y)的概率密度第四章1．数学期望的概念，性质和计算（1）离散型随机变量

二维一维（2）连续型随机变量

,二维

,（3）一维2．方差的概念，性质和计算（1）（2）（3）X

与Y

相互独立3．协方差、相关系数的概念，性质和计算(1)（2）例1.

长度为的细棒随意折成两段，长度分别为X,Y,则（3）（4）但是，若(X,Y)~N(1,2,12,22,),则，即若(X,Y)~N(1,2,12,22,),则X,Y

相互独立X,Y不相关例2.

设在区域上服从均匀分布，写出的联合概率密度，并求关于的边缘概率密度，判断是否相互独立；又是否互不相关?第五章1．大数定律（了解）2．中心极限定理（1）独立同分布下的中心极限定理设且相互独立，则近似服从近似服从（2）德莫佛－拉普拉斯中心极限定理设，则X近似服从２．二项分布的正态近似与二项分布的泊松近似，两者相比，一般在ｐ较小时，用泊松分布近似较好；而在和时，用正态分布近似较好．注：１．泊松分布也可作为二项分布的近似分布．当ｎ很大，ｐ很小，其中例1.

射击不断进行，设每次射中的概率为0.1。试求500次射击中，射中的次数在区间[49，55]之间的概率。数理统计复习第六章1．基本概念个体，总体，样本（简单随机样本），样本容量，样本的联合分布，统计量2．样本均值性质：样本方差性质：注意：必须学会用计算器计算样本均值考试时在没有得到监考教师允许时使用他人的计算器可视为作弊，因此考试时务必带好计算器。3.分布、分布、分布的定义、及性质上α分位点以及查表4．抽样分布定理定理1定理2、3、4（教材P134）第七章1．矩估计法（用样本的矩作为总体的矩的估计）（1）样本均值是总体均值的矩估计（2）是总体方差的矩估计注意：样本方差不是总体方差的矩估计2．极大似然估计法极大似然估计法的步骤：（1）写出似然函数或（2）似然函数取对数，化简（3）求导数（4）令，解得参数的极大似然估计，其中为待估参数，是取自总体X

的样本值，例1.

设总体X的概率密度为的矩估计值和最大似然估计值.求参数3．估计的无偏性和有效性（1）样本均值是总体均值的无偏估计（2）样本方差是总体方差的无偏估计注意：不是总体方差的无偏估计，样本标准差不是总体标准差的无偏估计（2）试判断g1和g2哪一个更有效？例2.已知总体的数学期望和方差都存在，X1，X2，X3是总体的样本.设（1）证明g1和g2都是的无偏估计4．参数的区间估计单个正态总体均值的置信区间（①方差已知，②方差未知）单个正态总体方差的置信区间（③均值未知）两个正态总体均值之差的置信区间（④方差已知，⑤方差未知但）

上述5种置信区间的公式附在试卷上，重点训练如何选择正确的公式例1.用一个仪表测量某一物理量9次，得样本均值样本标准差假设测量值X服从正态分布，试求均值的0.95置信区间.第八章1．假设检验的原理及其含义，两类错误2．（1）方差未知时，单个正态总体均值的假设检验，

①

②，

③（2）方差未知但时两个正态总体均值的假设检验④⑤⑥（3）均值未知时两个正态总体方差的假设检验⑦⑧⑨拒绝域附在试卷上，上述9种假设检验的原假设，备择假设及其相应的统计量，重点训练如何选择正确的公式注意：（1）根据题意选择双边或单边检验（2）在单边检验中，应选择与事实一致的作为备择假设，然后再确定原假设，也就是说应该选择与事实相反的作为原假设

例1.一台机床加工轴的椭圆度X服从正态分布N(0.095,0.022）（单位：mm)。机床经调整后随机取20根测量其椭圆度，算得mm。已知总体方差不变，问调整后机床加工轴的椭圆度的均值有无显著降低？例2.测得两批小学生的身高（单位：厘米）为：第一批：140，138，14