2018-2019学年度第一学期沪教版九年级上册数学单元测试题第二十六章二次函数

-2019学年度第一学期沪教版九年级上册数学单元测试题第二十六章二次函数做题时间100分钟满分120分题号一二三总分得分班级姓名选择题（共10小题,每题3分，计30分）

1.在一定的条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则当t=4秒时，该物体所经过的路程为（）

A．28米B．48米C．68米D．88米

2.抛物线y=x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得的抛物线表达式是（）

A．y=（x+3）2-2B．y=（x-3）2+2

C．y=（x-3）2-2D．y=（x+3）2+2

3.二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标是（）

A．（-1，8）B．（1，8）C．（-1，2）D．（1，-4）

4.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，若点A（1，y1）、B（2，y2）是它图象上的两点，则y1与y2的大小关系是（）

A．y1＜y2B．y1=y2C．y1＞y2D．不能确定

5.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是（）

A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根

C．无实数根D．由b2-4ac的值确定

6.图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）

A．y=-2x2B．y=2x2C．y=-x2D．y=x2

7.在一幅长60cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是ycm2，设金色纸边的宽度为xcm2，那么y关于x的函数是（）

A．y=（60+2x）（40+2x）B．y=（60+x）（40+x）

C．y=（60+2x）（40+x）D．y=（60+x）（40+2x）

8.如图所示，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD，其中AB和BC分别在两直角边上，设AB=x

m，长方形的面积为y

m2，要使长方形的面积最大，其边长x应为（）

A．mB．6mC．15mD．m

9.某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），（如图）如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面米，则水流下落点B离墙距离OB是（）

A．2米B．3米C．4米D．5米

10.小敏在今年的校运动会跳远比赛中跳出了满意一跳，函数h=3.5t-4.9t2（t的单位：s，h的单位：m）可以描述他跳跃时重心高度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是（）

A．0.71sB．0.70sC．0.63sD．0.36s

填空题（共8小题,每题4分，计32分）

1.抛物线y=（x-1）2+3的对称轴是直线___________．

2.如图，有一个抛物线形拱桥，其桥拱的最大高度为16米，跨度为40米，现把它的示意图放在平面直角坐标系中，则此抛物线的函数关系式为___________________.

3.在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点的个数是___________．

4.已知点A（-1，）、B（-2，）、C（3，）在抛物线上，则、、的大小关系是

．

5.在一次体育考试中，小刚推铅球时，铅球行进高度h（m）与水平距离s（m）之间的函数关系式是，则本次考试中，小刚推出的铅球的距离为___________m．

6.抛物线的部分图象如图所示，若，则的取值范围是

．

7.某公园草坪的防护栏形状是抛物线形．为了牢固起见，每段护栏按0.4m的间距加装不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则其中防护栏支柱A2B2的长度为

m．

8.已知集合A中的数与集合B中对应的数之间的关系是某个二次函数.若用x表示集合A中的数，用y表示集合B中的数，由于粗心，小聪算错了集合B中的一个y值，请你指出这个算错的y值为

．

三．解答题（共8小题,计58分）

1.已知一个二次函数的图象经过点（1，-1），（0，1），（-1，13），求这个二次函数的解析式．

2.已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两交点的横坐标分别是-1和3，与y轴交点的纵坐标是-；

（1）确定抛物线的解析式；

（2）说出抛物线的开口方向，对称轴和顶点坐标．

3.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的顶点是C（0，1），直线l：y=-ax+3与这条抛物线交于P、Q两点，且点P到x轴的距离为2．

（1）求抛物线和直线l的解析式；

（2）求点Q的坐标．

x（元）152030…y（件）252010…

4.某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间的关系如下表：

若日销售量y是销售价x的一次函数．

（1）求出日销售量y（件）是销售价x（元）的函数关系式；

（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日的销售利润是多少元？

5.某企业投资100万元引进一条产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万．该生产线投产后，从第1年到第x年的维修、保养费用累计为y（万元），且y=ax2+bx，若第1年的维修、保养费用为2万元，第2年为4万元．

（1）求y的解析式；

（2）投产后，这个企业在第几年就能收回投资？

6.已知二次函数图象的顶点是（-1，2），且过点（0，）．

（1）求二次函数的表达式，并在图中画出它的图象；

（2）判断点（2，-）是否在该二次函数图象上；并指出当取何值时，？

一座桥如图，桥下水面宽度AB是20米，高CD是4米.要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米.

（1）如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系.

①求抛物线的解析式；

②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?

（2）如图2，若把桥看做是圆的一部分.

①求圆的半径；

②要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米?

8.如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．

（1）求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．

（2）足球第一次落地点C距守门员多少米？（取）

（3）运动员乙要抢到第二个落点D，他应再向前跑多少米？（取）

---------答题卡---------一．单选题

1.答案：D

1.解释：

分析：把t=4代入函数关系式直接解答即可．

解答：解：当t=4时，

s=5t2+2t

=5×16+2×4

=88（米）．

故选D．

点评：本题考查二次函数的应用，难度简单．

2.答案：A

2.解释：

分析：变化规律：左加右减，上加下减．

解答：解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y=x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位得y=（x+3）2-2．

故选A．

点评：考查了抛物线的平移以及抛物线解析式性质．

3.答案：A

3.解释：

分析：利用二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（-，），可求函数的顶点坐标．

解答：解：∵a=-3、b=-6、c=5，∴-=-1，=8，即顶点坐标是（-1，8）．

故选A．

点评：本题考查了二次函数的顶点坐标．

4.答案：C

4.解释：

分析：利用二次函数的性质即可解答．

解答：解：从题中给出的图象可以看出，对称轴为直线x=-3，a＜0，

又点A、B位于对称轴右侧，y随x的增大而减小，

则y1＞y2．

故选C．

点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，学会比较图象上点的坐标的大小．

5.答案：A

5.解释：

分析：抛物线与x轴的交点的横坐标，即令y=0所对应的一元二次方程的根．

解答：解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点，

∴一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．

故选A．

点评：此题考查了二次函数与一元二次方程之间的联系，即抛物线与x轴的交点的个数与一元二次方程的根的情况有关．

6.答案：C

6.解释：

分析：由图中可以看出，所求抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，可设此函数解析式为：y=ax2，利用待定系数法求解．

解答：解：设此函数解析式为：y=ax2，a≠0；

那么（2，-2）应在此函数解析式上．

则-2=4a

即得a=-，

那么y=-x2．

故选C．

点评：根据题意得到函数解析式的表示方法是解决本题的关键，关键在于找到在此函数解析式上的点．

7.答案：A

7.解释：

分析：挂图的面积=长×宽=（60+2x）（40+2x）．

解答：解：长是：60+2x，宽是：40+2x，

由矩形的面积公式得

则y=（60+2x）（40+2x）．

故选A．

点评：根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．本题需注意长和宽的求法．

8.答案：D

8.解释：

分析：本题考查二次函数最小（大）值的求法．思路是：长方形的面积=大三角形的面积-两个小三角形的面积．

解答：解：根据题意得：y=30-（5-x）-x（12-），

整理得y=-x2+12x，

=-[x2-5x+（）2-]，

=-（x-）2+15，

∵

∴长方形面积有最大值，此时边长x应为m．

故选D．

点评：求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法，当二次系数a的绝对值是较小的整数时，用配方法较好，如y=-x2-2x+5，y=3x2-6x+1等用配方法求解比较简单．

9.答案：B

9.解释：

分析：以地面，墙面所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，把题中已知点代入，求出解析式后，令y=0，即可解答．

解答：解：设抛物线解析式：y=a（x-1）2+，

把点A（0，10）代入抛物线解析式得：

a=-，

∴抛物线解析式：

y=-（x-1）2+．

当y=0时，x1=-1（舍去），x2=3．

∴OB=3米．

故选B．

点评：本题考查抛物线建模，在平面直角坐标系中求抛物线解析式，解决实际问题．

10.答案：D

10.解释：

分析：找重心最高点，就是要求这个二次函数的顶点，应该把一般式化成顶点式后，直接解答．

解答：解：

h=3.5t-4.9t2

=-4.9（t-）2+，

∵-4.9＜0

∴当t=≈0.36s时，h最大．

故选D．

点评：本题考查了二次函数的一般式化为顶点式，及顶点式在解题中的作用．

二．填空题

1.答案：填空答案x=1．

1.解释：

分析：此题直接利用抛物线顶点式的特殊形式即可求得对称轴

解答：解：∵y=（x-1）2+3

∴其对称轴为x=1

故填空答案：x=1．

点评：此题主要考查了求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法．

2.答案：y=-(x-20)2+16

2.解释：

y=-(x-20)2+16

【解析】顶点坐标为(20,16),

所以y=a(x-20)2+16.

再把(40,0)代入可得a的值.

3.答案：2

3.解释：

2

【解析】

试题分析：抛物线图象与轴的交点个数是有对应的一元二次方程的根的判别式决定的，时，抛物线图象与轴的有两个交点时，抛物线图象与轴的无交点；时,抛物线图象与轴有唯一一个交点.本题,故有2个交点

考点：抛物线图象与轴的交点个数．

4.答案：．

4.解释：

．

【解析】

试题分析：∵点A（-1，）、B（-2，）、C（3，）在函数的图象上，∴点A（-1，）、B（-2，）、C（3，）都满足函数解析式，∴，，，∵，∴，故答案是：．

考点：二次函数图象上点的坐标特征．

5.答案：10．

5.解释：

分析：此题主要是利用二次函数图象与x轴交点，与x轴交点坐标的正坐标即是所求问题的答案．

解答：解：令y=0，即，

解得x1=10，x2=-2（不合题意，舍去），

小刚推出的铅球的距离是抛物线与x轴交点的正坐标，即推出的铅球的距离为10m．

故答案为：10．

点评：此题考查二次函数图象与x轴交点坐标，转化为解一元二次方程的问题，再据图象就可以解决问题．

6.答案：-3＜x＜1．

6.解释：

-3＜x＜1．

【解析】

试题分析：根据抛物线的对称轴为x=-1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（-3，0），结合图象求出y＞0时，x的范围．

试题解析：根据抛物线的图象可知：

抛物线的对称轴为x=-1，已知一个交点为（1，0），

根据对称性，则另一交点为（-3，0），

所以y＞0时，x的取值范围是-3＜x＜1．

考点:二次函数的图象．

7.答案：0.48.

7.解释：

0.48.

【解析】

试题分析：根据所建坐标系特点可设解析式为y=ax2+c的形式，结合图象易求D点和C点坐标，代入解析式解方程组求出a，c的值得解析式；再根据对称性求出A2B2长度：

如图，建立平面直角坐标系，则由题意得D（0，0.5）、C（1，0）.

设抛物线的解析式为：y=ax2+c

代入得a=-0.5，c=0.5，∴解析式为：.

当时y=0.48，

∴这条防护栏的不锈钢支柱A2B2的长度为0.48m．

考点：二次函数的应用．

8.答案：5.

8.解释：

5.

【解析】

试题分析：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，根据题意找出三个点坐标代入求出a，b及c的值，确定出解析式，检验其它的坐标即可．

试题解析：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，

将（-1，-2），（0，-1），（1，-2）代入得：

，解得：，

则二次函数解析式为y=-x2-1，

当x=2时，y=-4-1=-5；当x=-2时，y=-4-1=-5，

则算错的y值为5．

考点:待定系数法求二次函数解析式．

三．主观题

1.答案：这个二次函数的解析式y=5x2-7x+1．

1.解释：

分析：先设二次函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），利用待定系数法，把点（1，-1），（0，1），（-1，13），代入可解得二次函数的解析式．

解答：解：设二次函数解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），

把三点分别代入得（1）a+b+c=-1，（2）c=1，（3）a-b+c=13，

（1）（2）（3）联立方程组解得a=5，b=-7，c=1，

故这个二次函数的解析式y=5x2-7x+1．

点评：考查用待定系数法求函数解析式．

2.答案：y=（x+1）（x-3），即y=x2-x-；

（2）∵=；

∴抛物线开口向上，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，-2）．

2.解释：

分析：（1）已知抛物线与x轴的两交点的横坐标分别是-1和3，设抛物线解析式的交点式y=a（x+1）（x-3），再将点（0，-）代入求a即可；

（2）将抛物线解析式配方为顶点式，可确定抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．

解答：解：（1）依题意设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），

将点（0，-）代入，得-3a=-，解得a=，

故y=（x+1）（x-3），即y=x2-x-；

（2）∵=；

∴抛物线开口向上，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，-2）．

点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式的一般方法，需要根据条件合理地设解析式，同时考查了解析式的变形及运用．

3.答案：=（）2，解得a=1；

所以抛物线的解析式为：y=x2+1，直线l的解析式为：y=-x+3．

（2）联立抛物线和直线l的解析式，得：

，

解得，；

故Q（-2，5）．

3.解释：

分析：（1）已知抛物线的顶点为（0，1），说明抛物线的对称轴为y轴，即b=0，c=1；由于两个函数交点P的纵坐标为2，代入两个函数的解析式中，联立两个含a的表达式即可求得a的值，从而确定抛物线和直线的解析式．

（2）联立（1）得到的两个函数解析式，即可求出Q点的坐标．

解答：解：（1）由抛物线的顶点为（0，1），

得：b=0，c=1，

即y=ax2+1；

由于抛物线经过P点，

则有：2=ax2+1，

即x2=；

同理可得到：-ax+3=2，x=；

故=（）2，解得a=1；

所以抛物线的解析式为：y=x2+1，直线l的解析式为：y=-x+3．

（2）联立抛物线和直线l的解析式，得：

，

解得，；

故Q（-2，5）．

点评：此题主要考查的是函数解析式的确定方法以及函数图象交点坐标的求法；属于基础题，需要熟练掌握．

4.答案：一次函数的关系式为y=-x+40．

（2）设所获利润为W元，

则W=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225

所以产品的销售价应定为25元，此时每日的销售利润为225元．

4.解释：

分析：（1）本题属于市场营销问题，销售利润=一件利润×销售件数，一件利润=销售价-成本，日销售量y是销售价x的一次函数，所获利润W为二次函数．

（2）运用二次函数的性质，可求最大利润．

解答：解：（1）设此一次函数关系式为y=kx+b，

则，

解得k=-1，b=40

故一次函数的关系式为y=-x+40．

（2）设所获利润为W元，

则W=（x-10）（40-x）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225

所以产品的销售价应定为25元，此时每日的销售利润为225元．

点评：本题涉及一次函数，二次函数的求法，及二次函数性质的运用，需要根据题意，逐步求解，由易到难，搞清楚这两个函数之间的联系．

5.答案：当x=3时，g=-（x-16）2+156=-13＜0，

当x=4时，g=-（x-16）2+156=-（4-16）2+156=12＞0，即第4年可收回投资．

5.解释：

分析：（1）根据条件解方程组易得解析式；

（2）收回投资即纯利润=投资（包括购设备、维修、保养）．

解答：解：（1）由题意，x=1时，y=2；

x=2时，y=2+4=6，分别代入y=ax2+bx

得

解得：

∴y=x2+x．

（2）设g=33x-100-x2-x，

则g=-x2+32x-100=-（x-16）2+156

由于当1≤x≤16时，g随x的增大而增大，

故当x=3时，g=-（x-16）2+156=-13＜0，

当x=4时，g=-（x-16）2+156=-（4-16）2+156=12＞0，即第4年可收回投资．

点评：第二个问题可解方程求解．但运用函数知识解题解决问题的面更宽阔些．

6.答案：

（1），图象见试题解析；（2）在，或．

6.解释：

（1），图象见试题解析；（2）在，或．

【解析】

试题分析：（1）由于二次函数图象的顶点是（﹣1，2），设顶点式为，然后把点（0，）代入可求得a的值，从而确定二次函数解析式，先通过顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=﹣1，顶点坐标为（﹣1，2），再确定抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0），然后画图；

（2）把代入二次函数的解析式，即可判断点（2，）是否在该二次函数图象上，再由图象得到当或时，．

试题解析：（1）设二次函数的解析式为，把点（0，）代入得，解得，

所以二次函数的表达式为；

（2）∵，当时，，∴点（2，）在该二次函数图象上．

∵二次函数的表达式为，∴抛物线的对称轴为直线，令y=0，则，解得，，∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（1，0），顶点坐标为（﹣1，2）．由图像可知，当或时，．