高中数学第二章 平面向量章末复习

ruize章末复习学

习

目

标1.回梳理向量的有关概念步体会向量的有关概念的特征系整理向量线性运算、数量积运算及相应的运算律和运算性.3.体会应用向量解决问题的基本思想和基本方进步理解向量的“工具”性作用．

ruize1．向量的运算：设a＝x，)，b＝x，)1122向量运算

法则(或几何意义

坐标运算加法

a＋b＝x＋，＋)1212向量的线性运算减法

a－b＝x－，－)1212数乘

(1)|a＝λa；当＞时λa方向与a的方向相同；当＜，a的方向与a方向

a＝λx，)11

12121121212112212向量的数量积运算

ruize相反；当＝时λ＝0ab＝ab|cos(为a与的角定0a，数量积的几何意义是a的与b在a方上的投影的积

ab＝x＋12122．个(1)平向量基本定理①定理：如果e，e是一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，，a＝e＋e.②基底：把不共线的向量e，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

ruize(2)向共线定理向量a≠0与b共，且仅当有唯一一个实数，使＝a3．向量的平行与垂直a，b为零向量，设a＝x，)，b＝x，)，1122a∥ba⊥b

有唯一实数λ使b＝a≠0)ab0

xy－y＝1221xx＋y＝12121．面内的任何两个向量都可作为一组基底(×

)提示→→2．若向B和量D共线，则，B，，四点在同一直线上．×)提示∥CD3．若ab＝，a＝0或b＝0×)4．若ab>0，则和b的夹角为锐角；若<0，则a和b的角为钝角(×)提示abab>0ab0.abab<0abπ.

ruize类型一向量的线性运算→→→→例1若D点三角形ABC边BC上且D4DB＝rABsAC则3＋值为

)16A.58C.5

12B.54D.5考点平向量基本定理的应用题点利平面向量基本定理求数★答案★→→→→解析CDDBsAC→4→4→→→→CD(ABAC55

1μADAD→1μADAD→24441248，s，3s.55555反思与感悟向共线定理和平面向量基本定理是进行向量合成与分解的核心，是向量线性运算的关键所在，常应用它们解决平面几何中的共线、共点问题．→→跟踪训练1(2017·广深圳二模如所示方形ABCD中是的中点C＝→＋，λ＋等()4A.315C.8考点平向量基本定理的应用题点利平面向量基本定理求数★答案★→→→解析CμBD→→→→(ABBM(BAAD

5B.3D．λ

→→→→2(μABλμAD→→→ABADμ11μ，35μ，B.3

k1111ruizek1111类型二向量的数量积运算例2已a＝，α)，b＝β，β)，且ka＋＝akb>0)．(1)用示数量积ab(2)求ab最小值，并求出此时a与b的角θ的小．考点平向量数量积的运算性与法则题点求量的数量积的最值解

(1)kabb(ab3(ak)2∴2a

2abb

2

3a

6ab3kb2.∴k2

3)a

28ka(1kb20.∵acos21bcos2βsin2β1∴2

38ka13

2

02k2221∴ab(>0)8k4k2111(2)abk.4k4k11(k)k([∞411∴1fk)f(1)×1)，42abcosθ

ab，ab∵∈180∴60°.反思与感悟数积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题：(1)设a＝x，，b＝x，)，1122a∥b⇔y－＝，1221a⊥b⇔x＋＝0.1212(2)求量的夹角和模的问题①设a＝x，，a＝x＋2.②两向量夹角的余弦值≤≤abcos＝＝ab

xx＋y1212x2＋2＋21122

.跟踪训练2已△ABC是长为1的边三角形，点D，分别是边AB，的点，连→→接DE并长到点F，使得DE2EF，则·的值为)

→→→→13ACruize→→→→13AC51111A．B.C.D.8848考点平向量数量积的概念与何意义题点平向量数量积的概念与何意义★答案★→→→→→→→→3→解析∵ABAFADABAC2224∴·AFAB)·

→→2411133113131×××＋×××＋－.22244244288类型三向量坐标法在平面几何的应用例3金华十校期已知等边ABC的长为2P为ABC内包括三条一则→→→PB＋)的大值是)3A．B.C．D．22考点平向量数量积的坐标表与应用题点坐形式下的数量积运算★答案★解析BCOOxy(03)C(1,0)Pxy→→→A(3yPBx

44→→→44→→→44→→→A)2(x3y)·(2(2

33y23y)2y22tx

2

2

ABC0

2

Pt

7maxA)2反思与感悟把何图形放到适当的坐标系中，就赋予了有关点与向量具体的坐标，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而解决问题．这样的解题方法具有普遍性．跟踪训练3如半径为3的形的心角为120°点C在→→→若＝μOB，λ＋等()

上且∠＝A.3

B.

3343C.3

D．3考点平向量基本定理的应用题点利平面向量基本定理求数★答案★解析∠90°OOCy

32133ruize32133A(0C(B(×30°330°)→→→OλOAμOB(33)3×

313×22

3μ××33×μ2

2μ3μ3.→→1．D为△ABC所平面内一点BD＝CD则(→1→4→AD＝－＋33

)

ruize→→1→＝AB－33→→1→＝AB－32→1→3→AD＝－＋22考点向加减法的综合运算及用题点用知向量表示未知向量★答案★→→→→→→解析∵CD∴AD→→→∴AD3AC→3→1→∴AB2212．知a＝，ab，a－22

＝，则a与的角等于)A．45°C60°D120°考点平向量数量积的应用题点向模与夹角的综合应用★答案★解析abθ1aab|·cosθa21b|cosθ①2ab2

a2

b2

2ab1b211b1.1①②cosθ.2θ∈C.3．知向量a＝，＝－若ma＋b与a－b共，则的为

)1A.B．．2

D．－考点向平行与垂直的坐标表的应用题点已向量平行求参数★答案★

ruize解析a4bm4,38)ab∵a4ba2b∴4)×1)m×02.→→→→→→4．向O＝，－3)，OA＝OB，OAOB＝，＝________.考点平向量数量积的应用题点利数量积求向量的模★答案★25→→解析OOA|OB10→AB2025平面向量a＝1)b，存在不同时为0的数k和使x＝a＋t222y＝－a＋b，且x⊥y，试求函数关系式＝t)．考点平向量数量积的坐标表与应用题点坐形式下的数量积运算3解a(31)b20a2b1x⊥[a(23)bkab0

－b，k

2

abkt2

3)ab(2

3)b0114k3t0kt33)(tt344

31f(tt3t41由于向量有几何法和坐标法种表示方法的算也因为这两种不同的表示方法而有两

ruize种方式，因此向量问题的解决，理论上讲总共有两个途径，即基于几何表示的几何法和基于坐标表示的代数法，在具体做题时要善于从不同的角度考虑问题．2向是一个有“”几何量因在研究向量的有关问题时一定要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技.一、选择题1．列命题中正确的()→→→OA－→→＋＝0→C0AB＝0→→→→AB＋CD＝考点向的概念题点向的性质★答案★→→→→→解析OBBAABBA→→→00AB0.2．知A，三点在一条直线上，且A(3，－6)，(－，C点的横坐标为，C点的纵坐标()A．－B．9C．－．13考点向共线的坐标表示的应题点已三点共线求点的坐标

ruize★答案★→→解析(yA8,8)AC(336∵BC∴y9.88→→3．平面直角坐标系xOy，已知四边形ABCD是行四边形AB＝，AD＝，→→则D等()A．．C3D．考点平向量数量积的坐标表与应用题点坐形式下的数量积运算★答案★→→→→→解析∵ABCDABAD(1(2,1)(3AD2×(1)×5.4．辽大河高中高一期已平面向量a，3)＝(4，2)，＋λ与a垂直，则等()A．－C．1

B1D．考点向平行与垂直的坐标表的应用题点已向量垂直求参数★答案★解析aλbλ3λaba(b)·a043(21.5．向量a与b的角为，b＝4，(a＋ba－3b)＝－，则向量a的为)A．C6

B4D．考点平向量模与夹角的坐标示的应用题点利坐标求向量的模★答案★解析·bab|·cosa(2)·(a3ba2

b2

aba22|a9672.a6.

112B.，11C.，21112B.，11C.，216．义运算a×b＝abθ其中θ是量b的夹角．x＝y＝，xy＝－，则x×等()A．C8或－8

B－D．考点平向量数量积的概念与何意义题点平向量数量积的概念与何意义★答案★解析∵xy5xyxy3∴θ.2554θ∈π]∴sin，54∴xy|xy|·sinθ2××5→→→7如图所示在△ABC中AD＝＝ECCD与BE交点F设＝＝AF＝xa＋y，则(，)为)A.，22考点平向量基本定理的应用题点利平面向量基本定理求数★答案★→→解析B.

D.，32

→ACAB(1λλAC→ABAC→ACAB(1λλAC→ABACμABAC121232|→→→→→→→→ABBFλ

1→→→1→22→→CF→→→→→μ

1→→→→22→→ABAμ12

3→1→1→FABAC33二、填空题8．a＝，b＝，a与b的角为，若(3a＋b⊥a－b，的为_______．考点平向量数量积的应用题点已向量夹角求参数★答案★

238解析(a5bmabm2m3)abb

0m3)××60°235×m.89．菱形ABCD的长为2则－＋CD＝考点向加、减法的综合运算应用题点利向量的加、减法化简量★答案★2解析

|→→→||→→→|→→||→ABCDABCDAD10．知向量a，b夹为，a＝，a－＝10，b＝________.考点平向量数量积的应用题点利数量积求向量的模★答案★32解析ab45°a|2ab10.4a

2b

2

4a

224b2

4|b45°10

ruizeb2

22|b60b≥32.．知a是面内的单位向量若向量b足a－b＝，则b的取值范围_．考点平向量数量积的应用题点利数量积求向量的模★答案★[0,1]解析bababb2

a||bθb2

π∴ba|cosθcos(b∈0∴≤b≤1.三、解答题→→12．四宜中高一月如，在OAB中为段AB上一点，且OP＝＋→yOB→→(1)若＝，求，的值；→→→→→→→→(2)若＝PB，OA＝，|OB＝，且O与的角为60°，求OP的值．考点平向量数量积的概念与何意义题点平向量数量积的概念与何意义解

→→→1→1→(1)APPBOOAOB221x.2→→(2)A3PB

OPOAOB·→→→2ruizeOPOAOB·→→→2→1→3→OOAO