现代控制工程-第7章最优控制

第7章最优控制教材：王万良，现代控制工程，高等教育出版社，2011如果系统是状态完全能控的，则总可以设计一个状态反馈矩阵，使系统的闭环极点等于期望极点，以达到预期的动态特性要求。在实际控制问题中，常常希望在控制过程中使一些指标最小，或者最大。例如，控制过程中，要求系统消耗的能量最少、时间最少等，或者达到最大的产量、最好的经济效益等。最优控制是控制系统设计的一种方法，它研究的中心问题是如何选择控制信号，使控制系统的性能在某种意义上是最优的。下面首先介绍最优控制的概念，然后介绍用变分法求解最优控制问题的方法，和庞德里亚金的极小值原理，最后着重讨论线性二次型最优控制问题。第7章最优控制2第7章最优控制7.1最优控制的概念7.2变分法与泛函的极值条件7.3变分法求解无约束最优控制问题7.4极小值原理7.5线性二次型最优控制37.1最优控制的概念设系统的状态方程为最优性能指标所谓最优控制，就是要确定在中的最优控制，将系统的状态从转移到，或者的一个集合，并使性能指标最优。最优控制问题从数学上看，就是求解一类带有约束条件的条件泛函极值问题，可以用变分法求解。工程中很多控制问题的控制信号是受限制的，例如，任何系统中能够得到的燃料、电压、允许的温度等都是有限制的，不可能取任意大的值。控制信号受限的最优控制问题不能用变分法求解，而需要用庞德里亚金极小值原理或者贝尔曼的动态规划求解。41.泛函的概念如果对于自变量t，存在一类函数，对于每个函数，有一个值与之对应，则变量称为依赖于函数的泛函数，简称为泛函，记作。如果泛函满足下列关系，则泛函是线性泛函。7.2变分法与泛函的极值条件2.泛函的变分泛函的变量的变分，定义为，其中，为一标称函数（即最优控制中的最优轨线），为邻域内与属于同一函数类的某一函数。57.2变分法与泛函的极值条件如果泛函的增量可以表示为其中，是的线性泛函，且当时，则线性泛函称为泛函的变分（一阶变分），记作。由变分的定义可以看出，泛函的变分是一种线性映射，它的运算规则类似于函数的线性运算，有如下的变分规则：63.泛函的极值若泛函在附近的任一曲线上的值不小于，即，则泛函在曲线上达到极小值。泛函在曲线上达到极小值的必要条件为（证明略）7.2变分法与泛函的极值条件在实际问题中，泛函极值问题的最优轨线通常是受到各种约束的。例如，最优控制性能指标（7.2）中的u和x的选择，要满足状态方程（7.1），这是一个等式约束。在等式约束下的泛函极值问题，称为条件泛函极值问题。用拉格朗日乘子法将条件泛函极值问题转化为无约束条件极值问题。最优控制问题就是一类带有约束条件的条件泛函极值问题。7*7.3变分法求解无约束最优控制问题设系统的状态方程为性能指标为上面的最优控制问题中，因为对控制变量没有约束，所以通常称为无约束最优控制问题。无约束最优控制问题是一个求有等式约束的泛函极值问题，可以用拉格朗日乘子法把有约束条件问题转化为无约束条件问题。构造增广泛函为构造哈密顿函数为则增广泛函为设初始时刻及其状态给定为。根据终端状态边界条件，可按以下几种情况讨论。8*7.3变分法求解无约束最优控制问题1.给定，终端自由，即任意增广泛函为取一阶变分并令其为零，得由于9*7.3变分法求解无约束最优控制问题最优控制问题（7.7），（7.8）取极值的必要条件为状态方程伴随方程控制方程横截条件联立求解上述正则方程和控制方程，就可求得性能指标达到极值时的最优控制、最优状态轨线及最优协态轨线。10*7.3变分法求解无约束最优控制问题例7.1已知系统的状态方程为初始条件为性能指标解本题为给定、终端自由的最优控制问题。由于控制变量不受约束，所以，可以用变分法求解。构造哈密顿函数为由伴随方程得因此，常数。由横截条件得由控制方程得即代入状态方程，得上面这个微分方程的解为11*7.3变分法求解无约束最优控制问题当时，有最优控制为最优性能指标为12*7.3变分法求解无约束最优控制问题2.给定，终端约束设终端约束为构造增广泛函为对增广泛函取一阶变分并令其为零，经过与上面类似的推导，得13*7.3变分法求解无约束最优控制问题最优控制问题（7.7），（7.8）取极值的必要条件为状态方程伴随方程控制方程横截条件联立求解上述方程，就可求得性能指标达到极值时的最优控制、最优状态轨线及最优协态轨线。边界条件14*7.3变分法求解无约束最优控制问题例7.2已知系统初始条件为性能指标解本题为给定、终端受约束的最优控制问题。由于控制变量不受约束，所以，可以用变分法求解。构造哈密顿函数为由于终端约束条件为15所以*7.3变分法求解无约束最优控制问题由初始条件得因为由横截条件得将和代入上式，得16*7.3变分法求解无约束最优控制问题求解以作为未知数的联立方程组

可得则所求最优控制为17*7.4极小值原理利用变分法求解最优控制问题时，要使极值条件有意义，需要假定控制是不受约束的，其变分是任意的。因此，在无约束最优控制问题中，要求控制变量不受任何限制，但是，在实际控制工程中，控制变量往往受到一定限制。例如，电动机的转矩、阀门开度等都有上限。控制变量只能在某个有界的闭域里取值。控制变量受到限制时的最优控制问题，通常称为有约束最优控制问题。对于有约束最优控制问题，不能应用变分法求解，而需要采用本节所介绍的极小值原理求解。极小值原理是由前苏联学者庞德里亚金1956年提出的。由于极大和极小可以认为只差一个负号，所以庞德里亚金极小值原理又称为极大值原理。由于极小值原理是由变分法引申而来，因此，它的结论与变分法的结果有许多相似之处。但由于它能求解控制变量受到边界限制的最优控制问题，并且不要求哈密顿函数对控制量可微，所以获得了广泛的应用。18设系统的状态方程为7.4.1连续系统的极小值原理不等式约束为要求终端状态满足等式约束性能指标为则最优控制、最优轨迹和最优伴随向量必须满足下列条件：设哈密顿函数为（1）沿最优轨线满足正则方程（2）横截条件和边界条件（3）在最优轨迹上与最优控制相对应的函数取绝对极小值，即197.4.1连续系统的极小值原理例7.4已知系统的状态方程为：初始状态和终端状态分别为控制量受到不等式的约束求最优控制，使系统从初始状态转移到终端状态的时间最短。解这是最短时间的最优控制问题，因此，系统的性能指标为解得207.4.1连续系统的极小值原理由于控制是受约束的，所以要用极小值原理求解。哈密顿函数为由于，当并且的符号与相反时，可使H为最小，所以最优控制为217.4.2离散系统的极小值原理求解离散系统的最优控制的方法，与上述连续系统的方法相似。离散系统极小值原理与连续系统极小值原理的对应关系如表7.2所示。227.5线性二次型最优控制在最优控制问题中，若系统是线性的，且性能指标为二次型函数，则称为线性二次型调节器问题，简称LQR(LinearQuadraticRegulator)问题。由于二次型性能指标具有鲜明的物理意义，代表了大量工程实际问题中提出的性能指标要求，并且在数学上容易处理，而且可以得到线性状态反馈的最优控制律，易于工程实现，因而在实际工程问题中得到了广泛的应用。237.5.1线性二次型最优控制问题设线性系统是状态完全能控的最优控制的性能指标为状态向量和控制向量的二次型函数上述问题称为线性二次型最优控制问题。线性二次型调节器问题的提法具有普遍的意义。例如，在化工过程控制中，给定一个设计的操作工况，希望设计一个控制系统，使生产过程恒定在该工况下，这就是所谓的定值调节系统。LQR调节器问题的物理概念与定值调节的概念是一致的，若系统受外界扰动，偏离平衡点(不失一般性，可假定平衡点为零状态)到某一初始状态，LQR调节器问题就是设计一控制律使系统状态回到零状态附近，并满足二次型目标函数为最小。247.5.2连续系统有限时间状态调节器定理：设线性时变系统的状态方程为二次型性能指标为则最优控制存在且唯一，并由下式确定25例7.6设被控系统为

7.5.2连续系统有限时间状态调节器性能指标为求系统的最优控制律。解设正定对称矩阵满足黎卡提矩阵微分方程：26得到下列线性代数方程组：7.5.2连续系统有限时间状态调节器

利用计算机解上述微分方程，可以得到从到的的值，从而得到最优控制为由于状态反馈系数是时变的，所以在设计最优控制系统时需要先求出和的值，并存储在计算机中，在控制时再取出所需要的和的值。277.5.3连续系统无限时间定常状态调节器设线性定常系统的状态方程为设系统完全可控，状态向量，控制向量不受约束，性能指标为则最优控制存在且唯一，并由下式确定其中，K为正定对称矩阵，是下列黎卡提矩阵代数方程的唯一解而最优状态则是下列线性微分方程的解性能指标的最小值为28例7.7设7.5.3连续系统无限时间定常状态调节器确定最优控制。解系统可控性判别矩阵为所以，系统完全可控。设K矩阵为由矩阵K是正定的要求得即将K代入黎卡提矩阵代数方程，得29系统的最优控制为7.5.3连续系统无限时间定常状态调节器解得30设线性离散系统的状态方程为7.5.4线性离散系统状态调节器1.有限时间状态调节器有限时间状态调节器的二次型性能指标为最优控制规律为31离散系统状态调节器的结构图如图7.5所示。7.5.4线性离散系统状态调节器327.5.4线性