中考数学总复习(全套)第一部分

数学第一章数与式重难点突破一数、式的综合计算题第二章方程（组）与不等式（组）重难点突破二方程（组）与不等式（组）的应用第三章函数重难点突破三一次函数与反比例函数的综合运用重点难突破四二次函数与一次函数的综合运用第一章数与式第一节实数的有关概念和运算知识点1:实数的分类知识点2:实数的有关概念1.数轴的三要素:

、

和单位长度.

2.

与数轴上的点一一对应.(云南考情:2014年曲靖第16题3分)3.实数的相反数、倒数、绝对值:实数a的相反数为

;若a,b互为相反数,则a+b=

;非零实数a的倒数为

(a≠0);若a,b互为倒数,则ab=

;实数a的绝对值为|a|=(云南考情:2014年曲靖第9题3分,2014年云南第1题3分,2014年昆明第1题3分)

4.乘方:求n个

因数a的

的运算叫做乘方.

原点正方向实数-a0

1相同乘积知识点3:科学记数法、近似数1.科学记数法:一般形式为a×10n(

≤|a|<

,n为整数).(云南考情:2014年云南第9题3分,2014年昆明第9题3分,2014年曲靖第2题3分)

2.近似数:一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.知识点4:实数的大小比较1.数轴比较法:数轴上的两个数,

边的数总比

边的数大.2.性质比较法:正数>0>负数.3.绝对值比较法:a<0,b<0,若|a|>|b|,则a

b.

4.根式比较法:a>b≥0⇔>.5.差值法比较:(1)a-b>0⇔a>b;(2)a-b<0⇔a<b;(3)a-b=0⇔a=b.6.求商法比较:若b>0,则(1)>1⇔a>b;(2)<1⇔a<b;(3)=1⇔a=b.110右左<知识点5:实数的运算(云南考情:2014年曲靖第17题6分,2014年云南第15题5分)1.实数的运算顺序是先算

、

,再算

,最后算

.如果有括号,先算

,再算

,最后算

.同级运算应

.

2.零指数幂的意义:a0=

(a≠0).(云南考情:2014年云南第2题3分)

3.负整数指数幂的意义:a-p=

(a≠0,p为整数).(云南考情:2014年云南第2题3分)

4.正数的任何次幂都为

,负数的奇次幂为

,负数的偶次幂为

.

5.初中所涉及的三个非负数:|a|,a2,(a≥0).若几个非负数的和为0,则时为0.例如:若|a|+b2+=0,则a=b=c=0.【注意】(1)解绝对值和数轴有关问题时常用到字母表示数的思想、分类讨论思想和数形结合思想.(2)N=a×10n中,1≤|a|<10,n为整数.当|N|>1时,n等于N的整数位数减1,如200=2×102,2000=2×103;当0<|N|<1时,n为负整数,|n|等于N的第一个非零数前的零的总个数(包括小数点前面的零),如0.2=2×10-1,0.02=2×10-2.乘方开方乘除加减小括号内的中括号内的大括号内的1正数负数正数按从左到右的顺序有理数、无理数的概念及实数的分类(2013·毕节)实数,0,-π,,()0,sin45°,0.1010010001…(相邻两个1之间依次多一个0),其中无理数有

个.

【分析】对无理数的判定,不能只被表面形式迷惑,而应从最后结果去判断.一般来说,用根号表示的数不一定就是无理数,如=3,=4,()0=1是有理数;用三角函数符号表示的数也不一定就是无理数,如sin30°、tan45°就是有理数.一个数是不是无理数的关键在于不同形式表示的数的最终结果是不是无限不循环小数.【分析】对无理数的判定,不能只被表面形式迷惑,而应从最后结果去判断.一般来说,用根号表示的数不一定就是无理数,如=3,=4,()0=1是有理数;用三角函数符号表示的数也不一定就是无理数,如sin30°、tan45°就是有理数.一个数是不是无理数的关键在于不同形式表示的数的最终结果是不是无限不循环小数.【解】3科学记数法、近似数(2013·日照)据新华社报道:在我国南海某海域探明可燃冰储量约有194亿立方米.194亿用科学记数法表示为(

)A.1.94×1010

B.0.194×1010C.19.4×109 D.1.94×109【分析】科学记数法形式为a×10n(1≤|a|<10,且n为整数).【解】A实数的计算计算:-2sin30°-+(-π)0-+(-1)2012.【分析】sin30°=,=9,(-π)0=1,=-2,(-1)2012=1.【解】原式=-2×-9+1-(-2)+1=-1-9+1+2+1=-6.【方法归纳】解答此类问题的关键是熟记特殊角的三角函数值,理解整数指数幂和立方根的含义,特别要注意零指数幂、负整数指数幂的计算方法:a0=1、a-p=,其中a≠0.第二节整式与因式分解知识点1:代数式、代数式的值1.代数式:代数式是用

(加、减、乘、除、乘方、开方)把

或表示

的

连接而成的式子,单独的一个数或一个字母也是代数式.

2.代数式的值:用数值代替代数式里的

,计算后所得的结果.

3.求代数式的值主要用代入法,代入法分为直接代入、整体代入和寻找规律求值.知识点2:整式的相关概念1.整式运算符号数数字母字母知识点3:整式的运算(云南考情:2014年曲靖第1题3分,2014年云南第2题3分,2014年昆明第4题3分)1.整式的加减:整式的加减实际上是

.

2.整式的乘除3.乘法

公式合并同类项2.单项式中的

叫做这个单项式的系数;所有字母的指数

叫做单项式的次数.

3.组成多项式的各个单项式中

叫做多项式的次数.

4.同类项:多项式中所含

相同并且

也相同的项,叫做同类项.

数字因数和次数最高的项的次数字母相同字母的指数知识点4:幂的运算1.am·an=

(m,n都是正整数).

2.(ab)n=

(n是正整数).

3.(am)n=

(m,n都是正整数).

4.am÷an=

(a≠0,m,n都是正整数,且m>n).知识点5:因式分解1.因式分解:把一个多项式化成几个整式

的形式,因式分解是

的逆变形.

2.因式分解的方法:(1)提公因式法:ma+mb+mc=

.

(2)公式法:a2-b2=

,

a2±2ab+b2=

.

am+nanbnamnam-n积多项式乘法m(a+b+c(a+b)(a-b)(a±b)23.因式分解的一般步骤:(1)如果多项式各项有公因式,应先提取公因式;(2)如果各项没有公因式,可以尝试使用公式法来分解因式;(3)检查因式分解是否彻底,必须分解到每一个因式不能再分解为止.以上三步骤可以概括为“一提二套三检查”.4.整式的乘法和因式分解是互逆变形,它们可以用来相互检验其正确性.实际问题中的代数式甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品,甲超市先降价20%,后又降价10%;乙超市连续两次降价15%;丙超市一次性降价30%.那么,顾客到哪家超市买这种商品更合算(

)A.甲B.乙C.丙 D.一样【分析】设商品的原价为m,用代数式表示出三家超市降价后的价格,然后比较.甲超市的售价为m(1-20%)·(1-10%)=0.72m,乙超市的售价为m(1-15%)2≈0.723m,丙超市的售价为m(1-30%)=0.7m,显然到丙超市合算.【解】C【方法归纳】列代数式的关键是找出问题中的数量关系,能准确地把文字语言转换成数学语言.具体地说:(1)正确理解和、差、积、商、多、少、倍、分等数学术语的意义.(2)要分清数量关系中的运算层次与运算顺序,必要时,要正确地添加括号.(3)分析语句所表达的数量关系时,除了要注意关键词的意义外,还应弄清楚语句中的数量关系是以哪个量为基准的.(1)如果x=1时,代数式ax3+bx+3的值是5,那么当x=-1时,代数式ax3+bx+3的值是

.

(2)有一个数值转换器,原理如图所示,若开始输入的x值是7,可发现第1次输出的结果是12,第2次输出的结果是6,第3次输出的结果是

,依次继续下去,第2013次输出的结果是

.

求代数式值的常用方法【分析】(1)将x=1代入代数式ax3+bx+3.由值是5求出a+b的值,再将x=-1代入求值.∵x=1时,ax3+bx+3=5,∴a+b=2,因此,当x=-1时,ax3+bx+3=-a-b+3=-(a+b)+3=-2+3=1.(2)注意x为奇数或偶数的区分.由图可知,输入x=7时,第1次输出7+5=12;第2次输出×12=6;第3次输出×6=3;第4次输出3+5=8;第5次输出×8=4;第6次输出×4=2;第7次输出×2=1;第8次输出1+5=6.归纳得出输出的结果从第2次开始以6,3,8,4,2,1循环.∵(2013-1)÷6=335……2,则第2013次输出的结果为3.【解】(1)1

(2)3

3在几何图形中用整式运算求面积(2013·宁波)7张如图1的长为a,宽为b(a>b)的小长方形纸片,按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内,未被覆盖的部分(两个矩形)用阴影表示.设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S,当BC的长度变化时,按照同样的放置方式,S始终保持不变,则a,b满足

.

【分析】表示出左上角与右下角部分的面积,求出之差,根据之差与BC无关即可求出a与b的关系式.左上角阴影部分的长为AE,宽为AF=3b,右下角阴影部分的长为PC,宽为a,∵AD=BC,即AE+ED=AE+a,BC=BP+PC=4b+PC,∴AE+a=4b+PC,即AE-PC=4b-a,∴阴影部分面积之差S=AE·AF-PC·CG=3bAE-aPC=3b(PC+4b-a)-aPC=(3b-a)PC+12b2-3ab,则3b-a=0,即a=3b.【解】a=3b【方法归纳】此题考查了整式的混合运算的应用,弄清题意是解本题的关键.因式分解(1)(2013·河北)下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是(

)A.a(x-y)=ax-ayB.x2+2x+1=x(x+2)+1C.(x+1)(x+3)=x2+4x+3D.x3-x=x(x+1)(x-1)(2)(2013·恩施州)把x2y-2y2x+y3分解因式正确的是(

)A.y(x-y)2

B.x2y-y2(2x-y)C.y(x+y)2 D.y(x2-2xy+y2)【分析】(1)因式分解是把一个多项式化为n个整式的积的形式;(2)因式分解的步骤是“一提二套三检查”.【解】(1)D

(2)A第三节分式知识点1:分式的有关概念1.形如

(A、B是整式,且B中含有

,B≠0)的式子叫做分式,其中A叫做分子,B叫做分母.

2.分式有意义:在分式中,当

时,分式有意义;当

时,分式没有意义.

3.分式的值为零:分式的值为零的条件是分子A=0,而分母B≠0.4.有理式:整式和分式统称为有理式.知识点2:分式的性质(约分、通分)字母分母B≠0分母B=0知识点3:分式的运算1.分式的乘、除法:3.分式的加减法.4.分式的混合运算.【方法归纳】(1)分式乘法的实质是约分,能直接约分的应先约分,不能直接约分的,可先因式分解,看能否约分,然后按法则进行;(2)分式运算的结果必须是最简分式或整式;(3)由字母的选值求分式的值时,选值既要使分式的结果有意义,又要使化简前的原分式有意义.分式的意义(云南考情:2014年昆明第13题3分)(1)(2013·天津)若分式的值为0,则x的值等于

.(2)(2013·杭州)已知分式,当x=2时,分式无意义,则a=

;当a<6时,使分式无意义的x的值共有

个.

(2)当x=2时,x2-5x+a=0,∴a=6;∵Δ=52-4a=25-4a且a<6,∴Δ必大于0,故x2-5x+a=0有两个不相等的实数解.【解】(1)1

(2)6

2分式的化简及求值(云南考情:2014年云南第15题5分,2014年曲靖第18题8分,2014年昆明第17题5分)【方法归纳】在最后由x的取值求值时,x要满足使化简前的原分式有意义.第四节数的开方二次根式知识点1:平方根、算术平方根与立方根正数a0负数a算术平方根0没有平方根0没有立方根0知识点2:二次根式的有关概念(1)被开方数的因数是整数,因式是

;

(2)被开方数中不含有

.

整式开得尽方的因数或因式知识点3:二次根式的性质1.双重非负性:

0(a≥0).

2.()2=

(a≥0);=

.3.

=(a≥0,b≥0);=(a

≥0,b

0).>≥a|a|知识点4:二次根式的计算1.二次根式的加减:(云南考情:2014年云南第19题3分)二次根式相加减,先把各个二次根式化成

,再把

分别合并.

2.二次根式的乘法:最简二次根式同类二次根式3.二次根式的除法:【注意】二次根式运算的结果可以是数或整式,也可以是最简二次根式,如果二次根式的运算结果不是最简二次根式,必须化为最简二次根式.知识点5:二次根式的估值二次根式的估算,一般采用“夹逼法”确定其值所在范围.具体地说,先对二次根式平方,找出与平方后所得的数

的两个能开得尽方的整数,对其进行

,即可确定这个二次根式在哪两个整数之间.

相邻开方二次根式的概念及性质【解】D实数的估计【解】A重难点突破一数、式的综合计算题实数的运算【分析】依次将原式中负指数幂、零次幂、三角函数值、二次根式、绝对值进行化简.再按照从左到右的运算顺序进行计算.【方法归纳】实数的混合运算是由很多考点综合而成的,第一步要化简正确,第二步注意运算顺序,第三步注意运算结果是否是最简形式.分式的化简求值【分析】先将除式的分子、分母因式分解、约分,再按照运算顺序,可先算括号里面的,也可用乘法分配律计算;求值时,a取的值必须使原分式有意义.【方法归纳】解决本题分三步走:一化、二选、三代入.二次根式的运算与化简求值【解】由已知,得a+b=10,ab=1,第二章方程(组)与不等式(组)第一节一元一次方程与二元一次方程组知识点1:等式的性质知识点2:一元一次方程1.含有

的等式叫做方程.使方程两边相等的

叫做方程的解.

2.只含有一个未知数,并且未知数的次数是

,且等式两边都是

的方程叫做一元一次方程.ax+b=0(a≠0)是一元一次方程的标准形式.

未知数未知数的值1整式3.解一元一次方程的一般步骤是:①去分母,②去括号,③

,④

,⑤

.

移项合并同类项系数化为1知识点3:一次方程(组)及解法1.二元一次方程:含有两个未知数,并且

的次数都是一次的方程叫做二元一次方程.

2.二元一次方程的解:使二元一次方程

相等的未知数的值叫做二元一次方程的解.

3.二元一次方程组:由两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组.4.解二元一次方程组的基本思想是

,将二元一次方程组转化为一元一次方程.有

消元法和

消元法两种.

未知数项左右两边消元加减代入【拓展】方程ax=b的解有以下三种情况:(1)当a≠0时,方程有且仅有一个解;(2)当a=0,b≠0时,方程无解;(3)当a=0,b=0时,方程有无穷多个解.知识点4:一次方程(组)的应用(云南考情:2014年曲靖第4题3分,2014年昆明第21(1)题4分)列一次方程(组)解应用题的一般步骤是:①审:即审清题意,分清题中的已知量和

;

②设:即设关键未知数;③列:即找出适当的等量关系

;

④解:即解方程(组);⑤检:即检查所得的值是否正确和是否

实际情况;

⑥答:即规范作答(包括单位名称).未知量列方程(组)符合二元一次方程组的解【解】②③④方程组的应用(2013·东营)如图,长青化工厂与A、B两地有公路、铁路相连.这家工厂从A地购买一批每吨1000元的原料运回工厂,制成每吨8000元的产品运到B地.已知公路运价为1.5元/(吨·千米),铁路运价为1.2元/(吨·千米),且这两次运输共支出公路运输费15000元,铁路运输费97200元.求:

(1)该工厂从A地购买了多少吨原料?制成运往B地的产品多少吨?(2)这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元?【分析】等量关系为:从A地到工厂公路运费+从工厂到B地公路运费=15000;从A地到工厂铁路运费+从工厂到B地铁路运费=97200.【解】(1)设从A地购买了x吨原料,从工厂运了y吨产品到B地,由题意得出(2)多出“300×8000-(400×1000+15000+97200)=1887800(元).答:(1)从A地购买了400吨原料,运往B地的产品300吨.

(2)这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元.【方法归纳】建立合适的等量关系是解应用题的关键.第二节分式方程知识点1:分式方程及其解法1.定义:分母中含有

的方程,叫做分式方程.

2.解分式方程的步骤:分式方程

→解整式方程→验根→确定原方程的根.

3.分式方程的增根:去分母后整式方程的根,使分式方程分母为0的根不是

的根,叫做原分式方程的增根.

【注意】分式方程的增根与无解并非同一个概念,分式方程无解,可能是解为增根,也可能是去分母后的整式方程无解;分式方程的增根是去分母后的整式方程的根,并且使分式方程的分母为0的根.字母整式方程原分式方程知识点2:分式方程的应用(云南考情:2014年云南第20题6分,2014年曲靖第21题9分)列分式方程解应用题的关键是分析题意、从多角度思考问题、找准

,设出未知数

、最后还要注意求出的未知数的值,不但要是所列分式方程的

,而且还要符合

.等量关系列出方程根实际意义分式方程的解法【分析】首先要确定最简公分母,然后根据等式的基本性质去分母再解整式方程,最后验根.【方法归纳】分式方程

整式方程

验根;去分母时防漏乘.分式方程的解【方法归纳】分式方程的解应代入最简公分母,使最简公分母不为0.分式方程的应用(2013·扬州)为了改善生态环境,防止水土流失,某村计划在荒坡上种480棵树,由于青年志愿者的支援,每天比原计划多种,结果提前4天完成任务,原计划每天种多少棵树?【分析】等量关系:原计划时间-实际时间=4(天).,

【方法归纳】解分式方程步骤:审题确定等量关系→设未知数→列方程→解方程→验根,判断根是否合理→确定根并作答.第三节一元二次方程知识点1:一元二次方程的概念及解法1.一元二次方程:只含有

个未知数,并且未知数的最高次数是

的整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是

.

2.一元二次方程的解法:解一元二次方程的基本思想是

,将一元二次方程转化为

方程来解.主要有:①直接开平方法;②

法;③

法;④

法.(云南考情:2014年云南第5题3分)

3.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是:x=

.

21ax2+bx+c=0(a≠0)降次配方公式一元一次因式分解知识点2:一元二次方程根的判别式关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为Δ=b2-4ac.(1)Δ>0⇔方程有

;

(2)Δ=0⇔方程有

;

(3)Δ<0⇔方程

.

知识点3:一元二次方程根与系数的关系(云南考情:2014年曲靖第12题3分,2014年昆明第2题3分)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1,x2,则x1+x2=

,x1x2=

.

两个不相等的实根两个相等的实根没有实数根知识点4:一元二次方程的应用(云南考情:2014年昆明第6题3分)一元二次方程的解法解方程(x-1)(2x-1)=3(x-1).【分析】方程两边都含有因式x-1,如果在方程两边同时约去x-1,就会导致方程失去一个根x=1.本题可先移项,利用因式分解法求解.【解】方程化为(x-1)(2x-1)-3(x-1)=0,即(x-1)(2x-1-3)=0,所以x-1=0或2x-4=0,所以方程的解为x1=1,x2=2.【方法归纳】解一元二次方程时,不能随便在方程两边约去含未知数的代数式,否则,可能导致方程失去一个根.一元二次方程的应用新华商场销售某种冰箱,每台进货价为2500元,市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销售价每降50元,平均每天就能多售出4台,商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元,每台冰箱的定价应为多少元?【分析】每件利润×每天的销售量=每天的利润.【方法归纳】解决这类问题的关键是在充分理解题意的基础上,寻求问题中的等量关系,从而建立方程,本题采用灵活的间接设未知数的方法.第四节一元一次不等式(组)知识点1:一元一次不等式1.不等式的基本性质:不等式的性质1:若a>b,则a±c

b±c.不等式的性质2:若a>b,c>0,则ac

bc或

不等式的性质3:若a>b,c<0,则ac

bc或

2.解一元一次不等式的一般步骤:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.>>><<知识点2:一元一次不等式组1.一元一次不等式组的解集:一元一次不等式组中各个不等式的解集的

部分.

2.几种常见的不等式组的解集(a<b,且a、b为常数):(云南考情:2014年云南第3题3分,2014年曲靖第10题2分)公共不等式组(其中a<b)图示解集口诀同大取大同小取小大小,小大中间找

小小,大大找不到x≥bx≤aa≤x≤b空集【注意】已知一元一次不等式(组)的解集,确定其中字母的取值范围的方法是:①逆用不等式(组)的解集确定;②分类讨论确定;③从反面求解确定;④借助于数轴确定.知识点3:一元一次不等式(组)的应用(云南考情:2014年昆明第21题(2)问中求自变量取值范围)1.列不等式(组)解应用题的关键是找题中的不等关系,将“不等关系”转化为“不等式(组)”.2.要着重抓住题中的关键词,如“大于”、“小于”、“不少于”、“不多于”、“至少”、“最多”等;还应注意题中字母所表示的量的实际意义,不合题意的答案应舍去,如人数是正整数,时间不得为负数等.不等式的性质若a<b,则下列各式中一定成立的是(

)【分析】根据不等式性质1,A选项显然正确;根据不等式性质2,B选项是错误的;根据不等式性质3,C选项是错误的;D选项中的字母c所代表的数正负不明确,故不能确定不等号方向.【解】A一元一次不等式组的解法【分析】解一元一次不等式组时,一般是先分别求出每个不等式的解集,再借助数轴找出它们的公共部分,这样就可以确定出不等式组的解集.【解】解不等式①,得x≥-1.解不等式②,得x<3.∴原不等式组的解集为-1≤x<3.解集在数轴上表示如下:【方法归纳】解一元一次不等式组,先解出不等式组中的各个不等式,再根据“同大取大,同小取小,大小小大中间找,大大小小找不到”准确写出不等式组的解集.不等式组的应用学校6名教师和234名学生集体外出活动,准备租用45座大客车或30座小客车,若租用1辆大车2辆小车共需租车费1000元;若租用2辆大车1辆小车共需租车费1100元.(1)求大、小车每辆的租车费各是多少元?(2)若每辆车上至少要有一名教师,且总租车费用不超过2300元,求最省钱的租车方案.【分析】(1)由两个等量关系求出两种租车费.(2)由人数和总车费列出不等式组,可求出两种车辆数.【解】(1)设大、小车每辆的租车费各是x、y元,答:大、小车每辆的租车费各是400元、300元.于是有两种租车方案,方案1:大车4辆,小车2辆,总租车费用2200元,方案2:大车5辆,小车1辆,总租车费用2300元,可见最省钱的是方案1.【方法归纳】建立不等式组,求出不等式组的整数解从而确定方案,是解决方案问题常用方法.重难点突破二方程(组)与不等式(组)的应用列二元一次方程(组)解应用题某县政府打算用25000元为某乡福利院购买每台价格为2000元的彩电和每台价格为1800元的冰箱,并计划恰好全部用完此款.(1)问原计划所购买的彩电和冰箱各多少台?(2)由于国家出台“家电下乡”惠农政策,该县政府购买的彩电和冰箱可获得13%的财政补贴,若在不增加县政府实际负担的情况下,能否多购买两台冰箱?说说你的想法.【分析】(1)列二元一次方程求正整数解.(2)补贴的钱与需要拿出的钱作比较.答:原计划买彩电8台和冰箱5台.(2)该批家电可获财政补贴为25000×13%=3250(元).由于多买的冰箱也可获得13%的财政补贴,实际负担为总价的87%.3250÷(1-13%)≈3735.6>2×1800.∴可多买两台冰箱.答:能多购买两台冰箱.我的想法:可以拿财政补贴款3250元,再借350元,先购回两台冰箱,再从总价3600元冰箱的财政补贴468元中拿出350元用于还借款,这样不会增加实际负担.【方法归纳】本题探求二元一次方程的特殊解(正整数解).应用题中的分类思想人数m0<m≤100100<m≤200m>200收费标准(元/人)908575甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动,已知甲校报名参加的学生人数多于100人,乙校报名参加的学生人数少于100人.经核算,若两校分别组团共需花费20800元,若两校联合组团只需花费18000元.(1)两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人吗?为什么?(2)两所学校报名参加旅游的学生各有多少人?【分析】(1)人数可能大于200人,可能小于200人.(2)分甲校人数大于100人小于200人,或大于200人两种情况.【解】(1)超过.理由如下:设两校人数之和为a,若两校报名参加旅游的学生人数之和不超过200人,则a=18000÷85≈211.76.∵a不是整数,∴两校报名人数之和超过200人.又∵报名人数之和超过200人时,有a=18000÷75=240,a为整数.∴两校报名参加旅游的学生人数之和超过200人.(2)设甲校报名参加旅游的学生有x人,乙校报名参加旅游的学生有y人,则:①当100<x≤200时,有∴甲校报名参加旅游的学生有160人,乙校报名参加旅游的学生有80人.【方法归纳】这道应用题,由于题目所给条件比较隐蔽,符合题意的情况有多种,解这类应用题时要考虑周全,把各种情况下的解全求出来,这样不至于失解,否则会造成解答不完整,犯以偏概全的错误.方程与不等式的综合应用某学校将周三“阳光体育”项目定为跳绳活动,为此学校准备购置长、短两种跳绳若干.已知长跳绳的单价比短跳绳单价的两倍多4元,且购买2条长跳绳与购买5条短跳绳的费用相同.(1)两种跳绳的单价各是多少元?(2)若学校准备用不超过2000元的现金购买200条长、短跳绳,且短跳绳的条数不超过长跳绳的6倍,问学校有几种购买方案可供选择?【分析】(1)找两个等量关系,列二元一次方程组求解.(2)用“不超过”建立两个不等量关系,求不等式组的整数解.【解】(1)设长跳绳的单价是x元,短跳绳的单价为y元.【方法归纳】方案问题通常是由不等式组的正整数解确定方案的个数.第三章函数第一节函数及其图象知识点1:平面直角坐标系及点的坐标1.在平面内两条

且具有公共原点的数轴组成了平面直角坐标系.在平面直角坐标系中,一对有序实数P(x,y),即为点P的坐标.

2.平面直角坐标系内点的特征(2014年曲靖第13题3分)点P(x,y)(1)在第一象限,x

0,y

0;在第二象限,x

0,y

0;在第三象限,x

0,y

0;在第四象限,x

0,y

0.

(2)在x轴上,

=0;在y轴上,

=0.

(3)在第一、三象限角平分线上,则

;在第二、四象限角平分线上,则

.

(4)对称点的坐标特征:点P(a,b)关于x轴对称的点的坐标为

;点P(a,b)关于y轴对称的点的坐标为

;点P(a,b)关于原点对称的点的坐标为

.

互相垂直>><<<<><yxx=yx=-y(a,-b)(-a,b)(-a,-b)知识点2:函数的概念及其表示方法1.函数:在某一变化的过程中有两个变量x和y,如果对于x的每一个值,y都有

的值与它对应,那么称y是x的函数,其中x是

,y是因变量.

2.函数的表示方法有:

、

、

.

知识点3:函数自变量的取值范围唯一确定自变量解析式法列表法图象法函数表达式的形式自变量的取值范围整式分式

的实数

表达式含有二次根式

的实数

【注意】(1)函数自变量的取值范围必须使实际问题有意义.(2)如果函数表达式兼上述两种以上的结构特点时,则先按上述方法分别求出它们的取值范围,再求取值范围的公共部分.全体实数使分母不为0被开方数≥0知识点4:函数图象画函数图象的一般步骤:列表、

、

.

描点连线知识点5:分析问题判断函数图象1.判断函数图象判断符合实际问题的函数图象时,需遵循以下几点:①找起点:结合题干中所给自变量及因变量的取值范围,对应到图象中找相对应点;②找特殊点:即指交点或转折点,说明图象在此点处将发生变化;③判断图象趋势:判断出函数的增减性;④看是否与坐标轴相交:即此时一个量为0.以几何图形(动点)为背景判断函数图象的题目,一般的解题思路为设时间为t(或线段长为x),找因变量与t(或x)之间存在的函数关系,用含t(或x)的式子表示,再找相应的函数图象,要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.2.分析函数图象判断结论正误分清图象的横纵坐标代表的量及函数中自变量的取值范围,同时也要注意:①分段函数要分段讨论;②转折点:判断函数图象的倾斜方向或增减性发生变化的关键点;③平行线:函数值随自变量的增大而保持不变.再结合题干推导出实际问题的运动过程,从而判断结论的正误.自变量的取值范围【分析】函数自变量的取值范围即使分式和根式同时有意义,所以x+3>0,解得x>-3.【解】x>-3分析实际问题中函数图象小亮同学骑车上学,路上要经过平路、下坡、上坡和平路(如图),若小亮上坡、平路、下坡的速度分别为v1、v2、v3,且v1<v2<v3,则小亮同学骑车上学时离家路程s与所用时间t的函数关系图象可能是(

)【分析】由题意知小亮行驶过程中,速度发生4次变化,慢→很快→很慢→与开始一样慢,路程s随时间t一直在递增,有4段变化趋势.【解】C第二节一次函数的图象、性质与应用知识点1:一次函数和正比例函数概念形如

的函数是一次函数.当

时,一次函数y=kx+b就是正比例函数.

知识点2:一次函数的图象和性质(云南考情:2014年曲靖第10题3分,2014年云南第11题3分,2014年曲靖第19题8分)y=kx+b(k、b是常数且k≠0)b=01.一次函数y=kx+b(k,b是常数,k≠0)的图象是过点

、(-,0)的一条直线;正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是过点(0,0)、

的一条直线.

2.一次函数y=kx+b的性质:(1)当k

0时,y随x的增大而增大;

(2)当k<0时,y随x的增大而

.

(0,b)(1,k)>减小3.一次函数y=kx+b的图象经过的象限:(1)当k>0时

(2)当k<0时知识点3:函数解析式的确定:待定系数法(云南考情:2014年云南第23(1)题4分)步骤如下:(1)设出函数解析式的一般形式;(2)把已知条件代入解析式,得到关于待定系数的方程(组);(3)解方程或方程组,求出待定系数;(4)将求得的待定系数的值代回所设解析式.知识点4:一次函数与方程、不等式的关系一次函数与一元一次不等式、二元一次方程组有着必然的联系:(1)一次函数y=kx+b与x轴交点的横坐标⇔一元一次方程kx+b=0的解;一次函数y=kx+b中y>0(或y<0)对应的x的取值范围⇔不等式kx+b>0(kx+b<0)的解集.(2)在同一坐标平面内有两个一次函数y1与y2的图象,若y1的图象在y2图象的上方(或下方),则y1>y2(或y1<y2);若它们交于一点,则交点坐标就是两个解析式所组成的方程组的解.知识点5:二元一次方程与一次函数的关系1.任意一个二元一次方程都可化成y=kx+b的形式,即每个二元一次方程都对应一个

函数,也对应一条直线;

2.直线y=kx+b的每一点横、纵坐标均为这个二元一次方程

的解.

3.二元一次方程组与一次函数的关系(1)二元一次方程组中的每个方程可看作一个一次函数解析式;(2)求二元一次方程组的解可以看作求两个一次函数

的坐标.

【注意】一次函数y=kx+b与直线y=kx+b的联系与区别,它们的图象形状都是直线,但前者k≠0,b为任意实数,后者k、b都可以为任意实数.一次y-kx=b交点知识点6:一次函数的应用(云南考情:2014年昆明第21题8分)步骤:(1)分析问题①借助图表等手段分析题目中的数量关系,从而确定函数关系式;②根据函数图象获取信息,分析数量关系.(2)确定模型:根据所获取的信息,建立一次函数模型.(3)解决问题:根据题中数量关系或函数模型解决问题.一次函数图象与性质已知正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大,则一次函数y=kx-k的图象可能是(

)【分析】∵正比例函数y=kx的函数值y随x的增大而增大,∴k>0,∴-k<0,∴一次函数y=kx-k的图象经过第一、三、四象限.【解】C【方法归纳】根据正比例函数的性质判断出k的取值范围是解题的关键.一次函数与几何知识的综合运用【方法归纳】求点的坐标就是求点到坐标轴的距离,转化为在几何图形中求线段长.【解】3<x<6【方法归纳】一次函数与方程和不等式之间的关系都离不开“交点坐标”,一是:图象与两坐标轴的交点坐标;二是:两个图象的交点坐标.一次函数的实际应用(2013·包头)某产品生产车间有工人10名.已知每名工人每天可生产甲种产品12个或乙种产品10个,且每生产1个甲种产品可获得利润100元,每生产一个乙种产品可获得利润180元.在这10名工人中,车间每天安排x名工人生产甲种产品,其余工人生产乙种产品.(1)请写出此车间每天获取的利润y(元)与x(人)之间的函数关系式;(2)若要使此车间每天获取的利润为14400元,要派多少名工人去生产甲种产品?(3)若要使此车间每天获取的利润不低于15600元,你认为至少要派多少名工人去生产乙种产品才合适?【分析】(1)根据每个工人每天生产的产品个数以及每个产品的利润,表示出总利润即可;(2)若每天获取的利润为14400元,则y=14400,求出x即可;(3)根据每天获取的利润不低于15600元,即y≥15600,求出x即可.【解】(1)根据题意得出y=12x×100+10(10-x)×180=-600x+18000.(2)当y=14400时,有14400=-600x+18000,解得x=6.故要派6名工人去生产甲种产品.(3)根据题意可得y≥15600,即-600x+18000≥15600,解得x≤4,则10-x≥6,故至少要派6名工人去生产乙种产品才合适.【方法归纳】此题主要考查了一次函数的应用以及一元一次不等式的应用等知识,根据已知得出y与x之间的函数关系式是解题关键.第三节反比例函数的图象与性质知识点1:反比例函数的定义(云南考情:2014年曲靖第13题3分)形如y=(

,k为常数),其中k是

,x是自变量,y是x的反比例函数.图象的形状是

,且关于

对称.

知识点2:反比例函数的图象与性质(云南考情:2014年昆明第8题3分)函数图象所在象限性质k>0k<0k≠0常数双曲线原点减小增大知识点3:反比例函数的应用(云南考情:2014年云南第17题6分)1.反比例函数中系数的几何意义.设P(x,y)是反比例函数y=图象上任一点,过点P作x轴(或y轴)的垂线,垂足为A,则△OPA的面积=OA·PA=

=

.2.用待定系数法确定反比例函数.3.要善于运用数形结合思想解答与反比例函数有关的实际问题.|xy||k|反比例函数的图象与性质【分析】(1)由反比例函数性质易求.(2)反比例函数图象性质:k>0时在每一象限y随x增大而减小,很显然(x1,y1),(x2,y2)两点在第三象限.则0>y1>y2,(x3,y3)在第一象限,则y3>0,因此y3>y1>y2.【解】(1)m<

(2)A【方法归纳】当点在双曲线上不同象限时,用点的坐标的符号分析出大小.反比例函数系数的几何意义【分析】(1)由点M坐标易求k值.(2)关键是求出四边形BMON的面积,再由面积公式求出OP长,然后运用分类思想求点P坐标.【方法归纳】此题运用数形结合和分类思想.反比例函数的应用据媒体报道,近期“手足口病”可能进入发病高峰期,某校根据《学校卫生工作条例》,为预防“手足口病”,对教室进行“薰药消毒”.已知药物在燃烧释放过程中,室内空气中每立方米含药量y(毫克)与燃烧时间x(分钟)之间的关系如图所示(即图中线段OA和双曲线在A点及其右侧的部分),根据图象信息解答下列问题.(1)写出从药物释放开始,y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围;(2)据测定,当空气中每立方米的含药量低于2毫克时,对人体无毒害作用,那么从消毒开始,至少在多长时间内,师生不能进入教室?【分析】(1)分两段求,先求反比例函数解析式,再求正比例函数解析式.(2)直接算出在反比例函数中当y=2时x的值即可.重难点突破三一次函数与反比例函数的综合运用由函数图象求不等式解集2013·红河)如图,正比例函数y1=x的图象与反比例函数y2=(k≠0)的图象相交于A、B两点,点A的纵坐标为2.(1)求反比例函数的解析式;(2)求出点B的坐标,并根据函数图象,写出当y1>y2时,自变量x的取值范围.【分析】(1)由点A在正比例函数y1=x图象上求点A的坐标,再代入y2=中求得k.(2)由图象性质得点B坐标,当y1>y2时,从两交点处看自变量x的取值范围,考虑全面.【解】(1)设A点的坐标为(m,2),代入y1=x得:m=2,所以点A的坐标为(2,2).∴k=2×2=4.∴反比例函数的解析式为:y2=.(2)当y1=y2时,x=.解得x=±2.∴点B的坐标为(-2,-2).或者由反比例函数、正比例函数图象的对称性得点B的坐标为(-2,-2).由图象可知,当y1>y2时,自变量x的取值范围是:-2<x<0或x>2.【方法归纳】本题考查了待定系数法及正比例函数与反比例函数图象的性质,在写取值范围时,分x>0与x<0,再结合图象考虑全面.由函数图象的性质求交点坐标及几何图形面积(2013·德阳)已知一次函数y1=x+m的图象与反比例函数y2=的图象交于A、B两点.已知当x>1时,y1>y2;当0<x<1时,y1<y2.(1)求一次函数的解析式;(2)已知双曲线在第一象限内有一点C到y轴的距离为3,求△ABC的面积.【分析】(1)由图象性质可知点A的横坐标.再由反比例函数求点A的坐标.(2)将△ABC的面积分成两个三角形的面积和.【解】(1)由题意得点A的横坐标为1,代入反比例函数解析式得点A的坐标为(1,6),又∵点A在一次函数图象上,∴一次函数的解析式为y1=x+5.(2)∵点C的横坐标为3,∴y=2,∴点C的坐标为(3,2).过点C作CD∥x轴交直线AB于点D,则点D的坐标为(-3,2),∴CD=6.点A到CD的距离为4,∴S△ACD=×6×4=12.又联立得点B的坐标为(-6,-1),∴点B到CD的距离为3,∴S△BCD=×6×3=9.∴S△ABC=S△ACD+S△BCD=12+9=21.【方法归纳】(1)由两函数大小的自变量的范围可知交点坐标;(2)用“割补法”求面积.【方法归纳】直线与双曲线相交时,AB、AC的长通常用点B、点C的横坐标表示,从而转化为根与系数的关系.第四节二次函数的图象与性质知识点1:二次函数的概念如果y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,

),那么y叫做x的二次函数.知识点2:二次函数的图象和性质(云南考情:2014年云南第12题3分)1.二次函数的图象是一条

.

2.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)通过配方可得

(a,b,c为常数,a≠0),其顶点坐标为

,对称轴为直线x=

.

a≠0抛物线3.当a>0时,抛物线开口向上,并向上无限延伸;在对称轴的左侧(即x<-)时,y随x的增大而

;在对称轴的右侧(即x>-)时,y随x的增大而

;当x=-时,函数有最小值y=

减小增大4.当a<0时,抛物线开口向下,并向下无限延伸;在对称轴的左侧(即x<-)时,y随x的增大而

;在对称轴的右侧(即x>-)时,y随x的增大而

;当x=-时,函数有最大值y=

.

增大减小【注意】二次函数中如果自变量的取值范围为全体实数,那么最大值或最小值就是顶点纵坐标.如果自变量取值有范围,那么二次函数的最大值或最小值由它的图象及性质确定.知识点3:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的位置与a、b、c的关系1.a>0,开口

;a<0,开口

.|a|越大抛物线开口越小.

2.b=0,对称轴为

.a与b同号,对称轴在y轴左侧;a与b异号,对称轴在y轴右侧.

3.c=0,图象经过原点;c<0,与

相交;c>0,与y轴的正半轴相交.

4.b2-4ac=0,顶点在x轴上;b2-4ac>0,与x轴有

的交点;b2-4ac<0,与x轴没有交点.

向上向下y轴y轴负半轴两个不同知识点4:二次函数的解析式(云南考情:2014年昆明第23(1)题4分,2014年曲靖第24(1)题4分)1.一般式:y=ax2+bx+c(a≠0),已知图象上三点或三对x、y的值,通常选择一般式.2.顶点式:y=a(x-h)2+k,已知图象的顶点或对称轴,通常选择顶点式.3.交点式:y=a(x-x1)(x-x2),已知图象与x轴的交点的横坐标x1、x2,通常选择交点式.知识点5:二次函数与一元二次方程的关系1.b2-4ac>0时,抛物线y=ax2+bx+c与x轴有

个交点,方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根.

2.当b2-4ac=0时,抛物线y=ax2+bx+c与x轴有

个交点,方程ax2+bx+c=0有两个相等的实根.

3.当b2-4ac<0时,抛物线y=ax2+bx+c与x轴

交点,方程ax2+bx+c=0无实数根.注意】当抛物线与x轴相交于A、B两个不同点时,则在x轴上两交点间的距离为AB=

21没有移动方向平移前的解析式平移后的解析式简记向左y=a(x-h)2+ky=a(x-h+m)2+k左加向右y=a(x-h)2+ky=a(x-h-m)2+k右减向上y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2+k+m上加向下y=a(x-h)2+ky=a(x-h)2+k-m下减【注意】二次函数图象的平移实质是顶点坐标的平移,因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式.知识点7:抛物线常见的几种变换1.绕顶点旋转180°.变换后与变换前a的符号相反,顶点坐标不变.2.将抛物线沿x轴翻折.变换后与变换前的a符号相反,顶点关于x轴对称.3.将抛物线沿y轴翻折,变换后与变换前的a相同,顶点关于y轴对称.二次函数的图象及性质已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,有下列5个结论:①abc>0②b<a+c③4a+2b+c>0④2c<3b⑤a+b>m(am+b)(m为不等于1的实数).其中正确的结论是

.

二次函数的增减性(2013·镇江)如图,抛物线y=ax2+bx(a>0)经过原点O和点A(2,0).(1)写出抛物线的对称轴与x轴的交点坐标;(2)点(x1,y1)、(x2,y2)在抛物线上,若x1<x2<1,比较y1,y2的大小;(3)点B(-1,2)在该抛物线上,点C与点B关于抛物线的对称轴对称,求直线AC的解析式.【解】(1)根据图示,由抛物线的对称性可知,抛物线的对称轴与x轴的交点坐标为(1,0).(2)抛物线的对称轴是直线x=1.根据图示可知,当x<1时,y随x的增大而减小,∴当x1<x2<1时,y1>y2.(3)∵对称轴是x=1,点B(-1,2)在该抛物线上,点C与点B关于抛物线的对称轴对称.∴点C的坐标是(3,2).设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0),则【方法归纳】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式和二次函数图象上点的坐标特征.解答该题时,需要熟悉二次函数图象的对称性.第五节二次函数的运用第1课时几何运用二次函数图象与三角形(云南考情:2014年曲靖第24(2)题4分;2014年云南第23(2)题4分;2014年昆明第23(2)(3)题8分)参考以上定理和结论,解答下列问题:设二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的两个交点为A(x1,0),B(x2,0),抛物线的顶点为C,显然△ABC为等腰三角形.(1)当△ABC为等腰直角三角形时,求b2-4ac的值;(2)当△ABC为等边三角形时,求b2-4ac的值.【解】(1)当△ABC为等腰直角三角形时,如图,过C作CD⊥AB,则AB=2CD.二次函数图象与平行四边形(云南考情:2014年曲靖第24(3)题8分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线上有A(-1,0)、B(3,0)、C(0,-1)三点.(1)求该抛物线的表达式;(2)点Q在y轴上,点P在抛物线上,要使以Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形,求所有满足条件点P的坐标.【分析】(1)可设一般式,也可设交点式.(2)平行四边形分类:AB为边或AB为对角线.【方法归纳】二次函数的解析式有三种常见形式,根据题意选择一个最简便的形式求解;对于平行四边形要考虑到多种情形,线段AB可为一边,可为对角线.二次函数图象与全等三角形、相似三角形的综合【分析】(