导热的计算与分析

导热的计算与分析第一页，共九十页，2022年，8月28日１、重点内容：

①非稳态导热的基本概念及特点；②集总参数法的基本原理及应用。2、掌握内容：

①确定瞬时温度场的方法；②一维非稳态导热问题。

3、了解内容：

二维和三维非稳态导热第二页，共九十页，2022年，8月28日§3.3.1概述一、非稳态导热过程及其特点导热系统内温度场随时间变化的导热过程为非稳态导热。温度随时间变化，热流也随时间变化。自然界和工程上许多导热过程为非稳态，t=f()如：冶金、热处理与热加工中工件被加热或冷却；锅炉、内燃机等装置起动、停机、变工况；自然环境温度；供暖或停暖过程中墙内与室内空气温度第三页，共九十页，2022年，8月28日1、非稳态导热的分类周期性非稳态导热：物体的温度随时间而作周期性的变化

非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体的温度随时间不断地升高（加热过程）或降低（冷却过程），在经历相当长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温度，最终达到热平衡，物体的温度随时间的推移逐渐趋近于恒定的值。第四页，共九十页，2022年，8月28日300℃的铁块在冷水中的冷却第五页，共九十页，2022年，8月28日2、温度分布（瞬态非稳态导热）：

一初始温度场均匀并为t0的无限大平壁，突然投入到温度为t∞的流体中加热。分析温度、热流量随时间变化

平壁刚投入到流体中时，表面温度tw立即发生变化，而温度随时间的变化率逐渐减小，并趋近于t∞；表面温度tw变化后，温度变化逐渐深入物体内部，但要到τ2时刻，其中心温度tm才开始变化，tm随时间的变化率开始较小，以后增大又减小，最后，tm→t∞第六页，共九十页，2022年，8月28日3、热量变化

物体投入到流体中后，由于开始时表面的传热温差最大，表面热流量立即达到最大值，以后随着tw的增大而减小，最后趋于0，阴影部分面积表示总的吸热量Q。第七页，共九十页，2022年，8月28日4、学习非稳态导热的目的：物体某一部分加热（冷却）到某一确定温度所需的时间τ——(已知温度求时间)物体在非稳态导热过程中的温度分布t，热应力、热变形分析、温度变化率——(已知时间求温度)某一时刻物体表面的热流量及经过一段时间总的吸热量Q——(已知时间求热量)第八页，共九十页，2022年，8月28日5、求解方法：分析解法：分离变量法、积分变换、拉普拉斯变换近似分析法：

集总参数法、积分法数值解法：有限差分法、蒙特卡洛法、有限元法、分子动力学模拟第九页，共九十页，2022年，8月28日3.3.2对流边界条件下的非稳态导热一、无限大平板加热（冷却）过程分析（略讲）厚度2

的无限大平壁，、a为已知常数；=0时温度为t0;突然把两侧介质温度降低为t并保持不变；壁表面与介质之间的表面传热系数为h。两侧冷却情况相同、温度分布对称，中心为原点。第十页，共九十页，2022年，8月28日导热微分方程：初始条件：边界条件：(第三类)由于是轴对称问题，可以取平板一般分析：一维、非稳态、无内热源、常物性导热问题第十一页，共九十页，2022年，8月28日引入过余温度第十二页，共九十页，2022年，8月28日对上述模型采用分离变量法求解，得：傅里叶准则令μn称为特征值，是以下超越方程的根：第十三页，共九十页，2022年，8月28日—

无量纲距离可见，大平壁中离中心平面任一距离x处的无量纲过余温度是Bi，Fo和无量纲距离x/的函数。第十四页，共九十页，2022年，8月28日由于式中含有无穷级数，计算工作量很大计算表明，式中的指数项衰减很快当Fo>0.2时，取无穷级数的首项而舍弃其他项，所得结果的误差小于1％第十五页，共九十页，2022年，8月28日当Fo>0.2时，取无穷级数的首项而舍弃其他项，相当于将无穷级数中的Cn（n≥2）取为零于是在Fo>0.2后，有工程上常采用两种简化的计算方法，由海斯勒(Heisler)提出的诺模图(nomogram)方法和由Campo提出的近似拟合公式关于海斯勒图的使用方法以及拟合公式的具体表达式可参阅文献第十六页，共九十页，2022年，8月28日根据温度分布，可以计算出一段时间内平壁在非稳态过程中所传递的热量对双面对称加热的平壁而言，平壁从流体中吸收的热量完全被平壁用来升高其自身温度显然，从平壁放入流体的时刻起到平壁与流体处于热平衡状态，平壁所吸收热量为吸热量

第十七页，共九十页，2022年，8月28日这是该非稳态导热过程所吸收的总热量

从初始时刻起到某一时刻τ的这段时间内，平壁所吸收的热量为：第十八页，共九十页，2022年，8月28日平壁内温度分布表达式中含有Fo数和Bi数，这说明非稳态导热的物理过程和特征要受到这两个量纲一的量的影响传热学中，通常将表示某一物理现象或物理过程特征的量纲一的量，称为特征数或准则数Fo数和Bi数的意义及对非稳态过程的影响

第十九页，共九十页，2022年，8月28日出现在特征数中的几何尺度称为特征长度，用符号l表示，characteristiclength对两边对称加热的厚为2δ的平壁非稳态导热问题，用平壁的半厚度δ作为其特征长度掌握特征数的定义及其物理意义是传热学学习的重要内容Fo数和Bi数的意义及对非稳态过程的影响

第二十页，共九十页，2022年，8月28日Fo数和Bi数的意义及对非稳态过程的影响

将Fo数的定义式改写为：式中，τ和δ2/a都具有时间的量纲——分子τ表示：边界上发生热扰动时刻算起到计算时刻为止的时间——分母δ2/a表示：热扰动经过一定厚度的固体层传播到面积δ2上所需要的时间第二十一页，共九十页，2022年，8月28日Fo数可以看成是反映非稳态进程的无量纲时间。Fo数越大，边界上的热扰动就能更深入地传播到物体内部，非稳态过程进行得越充分无量纲时间第二十二页，共九十页，2022年，8月28日1）毕渥数的定义：毕渥数属特征数（准则数）。

2）Bi物理意义：

Bi特征数反映了内部导热热阻与外部(表面)对流传热热阻的相对大小。3）特征长度：是指特征数定义式中的几何尺度。第二十三页，共九十页，2022年，8月28日对解的讨论1.Fo准则对温度分布的影响Fo0.2时，进入正规状况阶段，平壁内所有各点过余温度的对数都随时间按线性规律变化，变化曲线的斜率都相等。θm/θ0随Fo增大而减小Fo<0.2时是瞬态温度变化的初始阶段，各点温度变化速率不同初始阶段第二十四页，共九十页，2022年，8月28日2.Bi准则对温度分布的影响Bi表征了给定导热系统内的导热热阻与其和环境之间的换热热阻的对比关系。当Bi时，意味着表面传热系数h，对流换热热阻趋于0。平壁的表面温度几乎从冷却过程一开始，就立刻降到流体温度t。第二十五页，共九十页，2022年，8月28日二、讨论在第三类边界条件下，确定非稳态导热物体中的温度变化特征与边界条件参数的关系。

已知：平板厚2δ、初温t0、表面传热系数h、平板导热系数λ，将其突然置于温度为t∞的流体中冷却。由于单位面积导热热阻与外部对流热阻的相对大小不同，平板中温度场的变化会出现以下三种情形：

第二十六页，共九十页，2022年，8月28日由于表面对流换热热阻1/h几乎可以忽略，因而过程一开始平板的表面温度就被冷却到t∞。并随着时间的推移，整体地下降，逐渐趋近于t∞。（1）第二十七页，共九十页，2022年，8月28日

这时，平板中不同时刻的温度分布介于上述两种极端情况之间。（3）与的数值比较接近

这时，平板内部导热热阻δ/λ几乎可以忽略，因而任一时刻平板中各点的温度接近均匀，并随着时间的推移，整体地下降，逐渐趋近于t∞。（2）第二十八页，共九十页，2022年，8月28日§3.4集总参数法的简化分析

忽略物体内部导热热阻、认为物体温度均匀一致的分析方法。此时，Bi→0，温度分布只与时间有关，即t=f(τ)，与空间位置无关，因此，也称为零维问题。定义：由于物体内温度相差不大，而近似认为这种非稳态导热过程中物体内的温度分布与坐标无关，仅随时间变化，因此物体温度可用任一点的温度表示，而将物体的质量和热容量等视为集中这一点，这种方法——集总参数法。第二十九页，共九十页，2022年，8月28日一、集总参数法分析

h,t∞AQcΔΕρ,c,V,t0一个集总参数系统，其体积为V、表面积为A、密度为、比热为c以及初始温度为t0，突然放入温度为t、换热系数为h的环境中。

热平衡关系为：内热能随时间的变化率ΔΕ＝通过表面与外界交换的热流量Qc

第三十页，共九十页，2022年，8月28日当物体被冷却时（t>t）,由能量守恒可知方程式改写为：，则有初始条件控制方程第三十一页，共九十页，2022年，8月28日

积分过余温度比其中的指数：第三十二页，共九十页，2022年，8月28日

是傅立叶数物体中的温度呈指数分布方程中指数的量纲：第三十三页，共九十页，2022年，8月28日即与的量纲相同，当时，则此时，上式表明：当传热时间等于时，物体的过余温度已经达到了初始过余温度的36.8％。称为时间常数，用表示。第三十四页，共九十页，2022年，8月28日时间常数

称为系统的时间常数，记为r，也称弛豫时间。

如果导热体的热容量（Vc）小、换热条件好（hA大），那么单位时间所传递的热量大、导热体的温度变化快，时间常数(Vc/hA)小热电偶测温时，r越小越能反映被测流体温度的变化第三十五页，共九十页，2022年，8月28日反映了系统处于一定的环境中所表现出来的传热动态特征，与其几何形状、密度及比热有关，还与环境的换热情况相关。可见，同一物质不同的形状其时间常数不同，同一物体在不同的环境下时间常数也是不相同。θ/θ0τ/τr0.386101当物体冷却或加热过程所经历的时间等于其时间常数时，即τ=τr，τ=4τr，工程上认为=4τr时导热体已达到热平衡状态第三十六页，共九十页，2022年，8月28日瞬态热流量：导热体在时间0~

内传给流体的总热量：当物体被加热时(t<t)，计算式相同（为什么？）总热量：第三十七页，共九十页，2022年，8月28日集总参数法的判定依据

如何去判定一个任意的系统是集总参数系统？V/A具有长度的因次，称为集总参数系统的特征尺寸。为判定系统是否为集总参数系统，M为形状修正系数。第三十八页，共九十页，2022年，8月28日

采用此判据时，物体中各点过余温度的差别小于5%对厚为2δ的无限大平板对半径为R的无限长圆柱对半径为R的球是与物体几何形状有关的无量纲常数第三十九页，共九十页，2022年，8月28日例题3-2将一个初始温度为20℃、直径为100mm的钢球投入1000℃的加热炉中加热，表面传热系数为h=50W/(m2·K)。已知钢球的密度为7790kg/m3，比热容为470J/(kg·K)，导热系数为43.3W/(m·K)。试求钢球中心温度达到800℃所需要的时间。解：首先判断能否用集总参数法求解：毕渥数为第四十页，共九十页，2022年，8月28日可以用集总参数法求解。

第四十一页，共九十页，2022年，8月28日§3-4半无限大的物体半无限大系统指的是一个半无限大的空间，也就是一个从其表面可以向其深度方向无限延展的物体系统。很多实际的物体在加热或冷却过程的初期都可以视为是一个半无限大固体的非稳态导热过程。第四十二页，共九十页，2022年，8月28日

有一半无限大物体，初始温度均匀为t0。在τ=0时刻，x=0的侧面突然受到热扰动，表面温度突然变化到tw，并一直保持恒定。第四十三页，共九十页，2022年，8月28日误差函数：令

无量纲坐标引入过余温度问题的解为

误差函数无量纲变量第四十四页，共九十页，2022年，8月28日说明：(1)无量纲温度仅与无量纲坐标

有关。(2)一旦物体表面发生了一个热扰动，无论经历多么短的时间，无论x有多么大，该处总能感受到温度的化。第四十五页，共九十页，2022年，8月28日令若即可认为该处温度没有变化第四十六页，共九十页，2022年，8月28日几何位置若，则在τ时刻x处的温度可以认为尚未变化。对一原为2δ的平板，若即可作为半无限大物体来处理两个重要参数:第四十七页，共九十页，2022年，8月28日②时间条件若，则此时x处的温度可以认为完全不变，因而可以把视为惰性时间。既当时x处的温度可认为等于t0。或者说，当它的局部Fo数时，物体中的非稳态导热可以作半无限大物体来处理。对于有限大的实际物体，半无限大物体的概念只适用于物体的非稳态导热的初始阶段，那在惰性时间以内。第四十八页，共九十页，2022年，8月28日[0,]内累计传热量吸热系数令x=0，即得边界面上的热流通量即任一点的热流通量：③传热量计算第四十九页，共九十页，2022年，8月28日井筒是打开油气藏、采出油气资源的必由通道，无论是在钻井、注入或采出过程中，井筒内流体的温度变化规律始终是石油工程所关注的问题井筒内流体的温度变化源自地层加热或冷却作用

钻井工程中：地层加热作用使钻井液、水泥浆的温度在钻进过程中逐渐升高，特别是对深井、超深井，进而影响到它们的性能，对钻井过程、固井质量产生影响3.5井筒周围地层内的非稳态导热／工程背景第五十页，共九十页，2022年，8月28日注蒸汽开发稠油油藏时，高温高压的湿蒸汽与地层间存在的热损失使蒸汽沿井筒流动时干度逐渐降低而影响到注汽加热的效果采油过程中高温产液在举升因散热使产液温度降低，粘度增加，使稠油机采井的生产状况恶化，能耗增加第五十一页，共九十页，2022年，8月28日采用加热措施（如电加热、电伴热、井筒热流体循环等）开发稠油、高凝油时，都存在因地层与流体间的热量传递使流体温度发生变化而影响生产过程的问题地热开发利用过程中，为计算井口处热流体温度，也需要计算流体在从井底沿井筒向上流动时与地层之间的传热量第五十二页，共九十页，2022年，8月28日上述各问题中：——计算目的：确定井筒内流体温度沿井深的变化——计算关键：井筒内流体与地层之间的传热量——计算困难：具体的工艺不同，井筒结构不同，井筒内流体与地层之间的热量传递过程中涉及到的热量传递方式和环节也不尽相同直接研究井筒内流体与地层间的热量传递过程有困难

第五十三页，共九十页，2022年，8月28日工程上为了便于分析，通常将整个热量传递过程分为：——地层内的热量传递过程（简称“地层内”），热量传递为导热——井筒内的热量传递过程（简称“井筒内”），热量传递方式和环节取决于具体工艺过程第五十四页，共九十页，2022年，8月28日工艺不同，二者的分界面不同——钻井、固井等工艺中，分界面是裸露的井壁——采油、注气、压裂等工艺中，分界面是水泥环外缘不同工艺中热量传递过程的差别体现在井筒内，而地层内的热量传递过程是相同的第五十五页，共九十页，2022年，8月28日本节主要分析地层内的热量传递过程－导热过程分析井筒周围地层内非稳态导热问题的方法很多，如理论分析法、数值分析方法等，应用最多的是半解析法，这里主要介绍这种方法第五十六页，共九十页，2022年，8月28日自地表至油层的井筒（这里只考虑直井）是联系地面与油层的通道当与地层温度不同的流体突然通过井筒时，地层内将会产生热量传递过程地层通常是由致密的岩石组成，因此热量在地层内传递方式为导热

物理模型第五十七页，共九十页，2022年，8月28日井筒周围地层内的导热过程是复杂的，体现在：1）自井筒向外的地层无限大，过程永远也达不到稳定状态2）受地质成因与构造的影响，自地面到油层，地层的非均质性较强，相关物性是变化的3）受地核的加热作用，地层温度向地心方向不断增加4）井筒结构不同，地层和井筒的交界面不同，交界面处的边界条件难以给出

物理模型第五十八页，共九十页，2022年，8月28日在数千米深的地层内全面考虑上述因素直接求解其导热问题是复杂和困难的，结果也不利于工程计算实际计算时通常将井筒和地层分成若干小段，在每小段内可做如下假设：1）地层是均质的，各物性均为常数2）地层的初始温度均匀，以该段中间位置处的原始地层温度作为其初始温度物理模型第五十九页，共九十页，2022年，8月28日3）为了便于和井筒内的计算相耦合，设地层和井筒的交界面处于第二类边界条件下4）忽略周向的导热5）小段内忽略轴向导热6）地层内不存在内热源

物理模型第六十页，共九十页，2022年，8月28日由于井筒是圆柱形的，因此在柱坐标系下建立数学模型更为方便——以地表为坐标原点——井筒中心线为z轴，沿井筒向下为正方向——从井筒向外为径向正方向数学模型与求解第六十一页，共九十页，2022年，8月28日数学模型与求解由物理模型，柱坐标系下的导热微分方程为可以简化：式中，a为地层热热扩散系数，m2/s第六十二页，共九十页，2022年，8月28日数学模型与求解初始条件：t0z为该段中间位置处的原始地层温度，按下式计算：式中，ts为地表处不受环境影响的温度，℃；m为地温梯度，℃/m；z为该段中间位置处的坐标。第六十三页，共九十页，2022年，8月28日数学模型与求解边界条件：在地层和井筒的交界面r=R处：在径向无限远处：式中，λ为地层的导热系数，W/(m·K)；R为交界面处的半径；qlz为该段内由单位长度井筒通过交界面传给地层的热量，W/m；t0z为该段中间位置处的原始地层温度第六十四页，共九十页，2022年，8月28日数学模型与求解井筒周围地层内非稳态导热的完整数学模型：初始条件：边界条件：采用Laplace变换可以解得模型的分析解第六十五页，共九十页，2022年，8月28日数学模型与求解地层内的温度分布为：其中I为式中，J0、J1为零阶、一阶第一类贝塞尔函数，Y0、Y1为零阶、一阶第二类贝塞尔函数，都是数学上常用的特殊函数第六十六页，共九十页，2022年，8月28日数学模型与求解令r=R，可以得到地层和井筒交界面处的温度：

式中，

无论是计算地层内的温度还是交界面处的温度，关键是如何计算其中的积分I第六十七页，共九十页，2022年，8月28日数学模型与求解

采用解析方法难于求出积分I，用数值积分的工作量又很大

为了便于工程计算，人们利用解析解数据对其进行了拟合，得到了简单的关系式第六十八页，共九十页，2022年，8月28日数学模型与求解为了便于拟合，首先对交界面温度表达式进行无量纲化处理

第六十九页，共九十页，2022年，8月28日数学模型与求解为此定义了如下的无量纲温度tD和无量纲时间τD：第七十页，共九十页，2022年，8月28日数学模型与求解

将无量纲温度tD和无量纲时间τD代入到