MATLAB编程基础第6讲-数值微积分、多项式

MATLAB编程基础

之数值微积分、多项式第六讲2/3/202313.7MATLAB数值积分与微分3.7.1差分和偏导数1.差分在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只有计算向前差分的函数diff，其调用格式为：DX=diff(X)：计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i)，i=1,2,…,n-1。DX=diff(X,n)：计算X的n阶向前差分。例如，diff(X,2)=diff(diff(X))。DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵A的n阶差分，dim=1时(缺省状态)，按列计算差分；dim=2，按行计算差分。2/3/20232例1差分运算示例命令如下：A=[123456789101112131415161718];%生成1维矩阵A1=reshape(A,6,3)'%转换为3×6维矩阵

A1=123456789101112131415161718B1=diff(A1)%求1维1阶差分

B1=666666666666B2=diff(A1,1,2)%求2维1阶差分B2=111111111111111B3=diff(A1,2)%求1维2阶差分B3=0000002/3/202332.梯度和偏导数二元及多元函数F(x,y，…)的求导FX=gradient(F)[FX,FY]=gradient(F)[…]=gradient(F,h)2/3/20234例2求二元函数的偏导数%生成二元函数v=-2:0.2:2;[x,y]=meshgrid(v);z=x.*exp(-x.^2-y.^2);%绘制曲面，如图3-4所示figure(1)mesh(x,y,z);[px,py]=gradient(z,.2,.2);%求偏导数figure(2)contour(v,v,z)%绘制等高线，如图3-5所示holdonquiver(v,v,px,py)%绘制矢量场图，小箭头表示梯度holdoff

2/3/20235数值积分数值积分基本原理

求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)法、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题就分解为求和问题。2/3/202363.7.2一元函数的数值积分数值积分的实现方法1．变步长辛普生（Simpson）法（精度较高，较常使用）基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为：

[I,n]=quad('fname',a,b,tol,trace)其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。tol用来控制积分精度，缺省时取tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。2/3/20237函数部分functionf=quad1(x)f=1./(x.^3-2*x-5);%编制函数m文件调用命令Q=quad('quad1',0,2)%在同一目录下，计算积分值Q=-0.4605

2/3/20238求定积分。

(1)建立被积函数文件fesin.m。functionf=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6);(2)调用数值积分函数quad求定积分。[S,n]=quad('fesin',0,3*pi)S=0.9008n=772/3/202392.自适应Lobatto法(精度较高，最常使用)q=quadl(fun,a,b)q=quadl(fun,a,b,tol)

%采用内联函数形式，第二个参数为变量例3-25求Q=sin2x+cosx从2*pi到0的定积分f=inline('sin(2*x)+cos(x).^2','x');Q=quadl(f,0,2*pi)%求取积分值Q=3.1416训练任务：请采用编制m函数求该函数积分

2/3/2023103.7.3多重数值积分使用MATLAB提供的dblquad函数就可以直接求出上述二重定积分的数值解。该函数的调用格式为：I=dblquad(f,a,b,c,d,tol,trace)该函数求f(x,y)在[a,b]×[c,d]区域上的二重定积分。参数tol，trace的用法与函数quad完全相同。2/3/202311计算二重定积分(1)建立一个函数文件fxy.m：functionf=fxy(x,y)globalki;ki=ki+1;%ki用于统计被积函数的调用次数f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);(2)调用dblquad函数求解。globalki;ki=0;I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1)kiI=1.57449318974494ki=1038（3）匿名函数方法f=@(x,y)y*sin(x)+x*cos(y);%编写匿名函数，将句柄赋给fS=dblquad(f,pi,2*pi,0,pi)%计算二重积分2/3/2023123.8多项式3.8.1多项式的构造使用行向量表示多项式的系数，行向量中各元素按多项式次数从高到低排列。即多项式P(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的系数向量P为[anan-1…a1a0]。P=poly(A):通过n阶方阵A生成特征多项式p,A为特征多项式的根，满足P(A)=anAn+an-1An-1+…+a1A+a0P=poly(r):通过向量r=[r1r2…rn]方阵A生成多项式,向量元素为多项式的根，即满足(x-r1)(x-r2)…(x-rn)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0S=poly2str(P,’s’):将多项式系数行向量表达形式P转换成变量为s的标准多项式形式S。2/3/202313例3-29求多项式

r=[123];%生成向量rP1=poly(r)%计算根为r的多项式P1=1-611-6S1=poly2str(P1,'x')%转换成变量为x的标准形式S1=x^3-6x^2+11x-6A=magic(3)%创建3阶魔方矩阵

P2=poly(A)%计算方阵的特征多项式P2=1.0000-15.0000-24.0000360.0000S2=poly2str(P2,'s')%转换成变量为s的标准形式S2=s^3-15s^2-24s+3602/3/2023143.8.2多项式的运算1.多项式的根R=roots(P)：求多项式向量P的根p=[1-6-72-27];%多项式向量pr=roots(p)%求多项式的根2/3/2023152.多项式的值y=polyval(p,x)：计算多项式向量为p变量为x时的数值y，x可以是向量也可以是矩阵例3-31计算多项式的值p=[321];%创建一个多项式向量x=[5,7,9];%变量为向量形式yx=polyval(p,x)%计算多项式的值yx=86162262A=pascal(4)%变量为矩阵形式

A=1111123413610141020ya=polyval(p,A)%计算多项式的值ya=6666617345763412132165732112412/3/2023163.多项式的乘法c=conv(u,v)：求向量为u的多项式与向量为v的多项式的乘积c。例3-32求（x2+2x+6）(x3+2)的乘积a=[126];b=[1002];%生成多项式向量c=conv(a,b)%计算乘积

s=poly2str(c,'x')%标准形式表示c=1262412s=x^5+2x^4+6x^3+2x^2+4x+12训练任务:（x4+2x+6）(x3+2x+6)2/3/2023173.conv,convs多项式乘运算例:a(x)=x2+2x+3;b(x)=4x2+5x+6;c=(x2+2x+3)(4x2+5x+6)a=[123];b=[456];c=conv(a,b)or=conv([123],[456])c=4.0013.0028.0027.0018.00p=poly2str(c,'x')p=4x^4+13x^3+28x^2+27x+182/3/2023184.多项式的除法c=deconv(v,u)：v为被除数，u为除数，q返回商，余数为r。例3-33求（2x3+4x2+8x+3）\(x2+2x+3)v=[2483];u=[123];%生成多项式向量c=conv(v,u)%计算多项式乘积

c=282231309[q1,r1]=deconv(c,v)%求商，整除r1为0，商多项式与u相同

q1=123r1=000000[q2,r2]=deconv(v,u)%多项式求商，带余数2/3/2023194.deconv多项式除运算a=[123];c=[4.0013.0028.0027.0018.00]d=deconv(c,a)d=4.005.006.00[d,r]=deconv(c,a)余数c除a后的整数2/3/2023205.多项式微分matlab提供了polyder函数多项式的微分。命令格式：polyder(p):求p的微分polyder(a,b):求多项式a,b乘积的微分[p,q]=polyder(a,b):求多项式a,b商的微分例：a=[12345];poly2str(a,'x')ans=x^4+2x^3+3x^2+4x+5b=polyder(a)b=466