朱平芳空间计量讲座

空间计量经济学：模型、方法与应用朱平芳张征宇空间计量经济学概述2.空间自相关的检验3.线性空间模型的估计4.空间计量经济学理论的最新发展5.实证例子内容地理学第一定律

世界上万千事物的状态都可以由一个三维的空间坐标系与一个一维的时间坐标系来唯一刻画。时间或空间上距离相近的两个事物的状态是相互关联的，即不能被认为是相互独立的，且两事物越是接近，它们状态的相关性越强。当两点距离为零(实则是同一个体)，它们将完全相关。越是相距遥远的事物相关性越弱，当两事物之间距离为无穷远，可近似地认为两者完全不相关。

概述空间计量经济学

(spatialeconometrics)

作为现代微观计量经济学(micro－econometrics)的一个分支，旨在为处理截面数据或面板数据中的空间效应(spatialeffect，空间相关性(spatialdependence)与空间异质性(spatialheterogeneity)发展专门的建模，估计与统计检验方法。概述概述

在时间序列分析中，时间自回归过程将时刻t的反应变量与过去时刻的变量相联系，表示一时刻所发生的事件受过去时间发生事件结果的影响。

概述空间相关性是指一地所发生的事件，行为与现象，会直接或间接影响到另一地发生的事件行为和现象。因此某一处的观测与其他各地观测之间存在着函数关系。其一般表达为空间相关性的根源(i)观测数据地理位置接近(geographicalproximity)：由于地理位置的接近而导致的空间相关性是空间相关性最初始的定义,与地理学第一定律吻合。这种相关性是环境,地质等学科中的普遍现象。空间相关来源

空间相关来源

(ii)截面上个体间互相竞争(competition)和合作：最典型的例子是在一个伯川德(Bertrand)寡头竞争的市场中,厂商对自己产品定价时将同时对市场上其他厂商的价格作出反应,最后决定的价格将是博弈的均衡点。(iii)模仿行为(copycat)：在一群体中，个体会重复或模仿一个或几个特定个体的行为。例如在班级中中游成绩的学生会以成绩优秀的学生为榜样,竞争性体育比赛中,选手会以领先选手为心中目标,在以上这些情况下,如果不考虑空间相关性,所建立的模型会和真实模型相差甚远。空间相关来源(iv)溢出效应(spillovereffect)：溢出效应是指经济活动和过程中的外部性对未参与经济活动和过程其中的周围个体的影响。散发有毒气体的植物会对周围的植物产生有害的影响,屋主拥有一座漂亮花园也显然对周围邻居有正效应。同样不断加强的贸易往来所带来的经济利益对地区性国家多边联盟的形成具有正的溢出效应。空间相关来源(v)测量误差：A,B,C三处的观测本来是相互独立的，但是研究者由于无法准确识别A,B和B,C相邻的边界，而将整个区域分成两个部分I和II，在图中用两中颜色表示。显然，由于I和II共享B，所以有理由相信，I和II上的观测是空间相关的。空间相关来源

假设随机变量，和互相独立，当时，可以证明不为零。我们把这种空间相关性的来源称为测量性误差。这一来源说明，当我们处理带有空间特性的数据时，无论经济理论是否明确显示空间相关性，我们都应该在设定模型形式时候对空间相关性给予足够重视和相应考虑。测量误差空间统计学VS空间计量经济学

首先，空间统计学的理论是空间计量经济学发展的基础。正如计量经济学其他分支的发展都广泛借助统计学的理论，空间计量经济学也尽可能吸收一切可以利用的现存有关空间统计的理论。

概述空间统计学VS空间计量经济学

其次，统计学的应用范围不仅限于经济学一门学科。生物，环境，地理，农业，物理化学等众多自然科学与社会科学均广泛采用统计学理论。而空间计量经济学中所发展的一切模型和统计方法均为经济学问题而考虑。确实存在这样的实例：某一空间统计学理论最初就是为处理经济学中的空间效应而提出，之后完全可能被应用到除经济学外的其他学科。概述空间统计学VS空间计量经济学

许多空间统计学中的经典理论并不直接适合于经济学问题。在后面将看到，经典空间统计学中对空间权重矩阵的定义具有很大的限制性。而目前计量经济学中广泛采用的权重矩阵早已超越了最初的定义，而具有相当高的灵活性以包含并刻画众多不同性质的经济学中的相关关系。这不能不说是空间计量经济学对空间统计学的补充和扩展。

概述空间统计学VS空间计量经济学

最后，正如Anselin(1988)所认为，空间统计学是以数据为出发点的(data-driven)，而空间计量经济学是以模型为出发点的(model-driven)。这说明，由经济学问题建立合适的刻画相关性的计量模型，并发展相关的估计，假设检验，预测方法才是空间计量经济学的主要任务。概述空间计量经济学概述2.空间自相关的检验3.线性空间模型的估计4.空间计量经济学理论的最新发展5.实证例子内容空间权重矩阵计量经济学经常用线性模型来近似非线性模型，即可将近似写成记矩阵的元素为，它的对角元素都为零。空间自相关

一般我们无法利用容量为的样本去估计个参数。为了确保模型参数可识别，我们需要对的形式加以限制。最常用的限制方式之一就是假设其中称为空间权重矩阵(spatialweightingmatrix)，它刻画的是截面上个体之间空间相关的结构，是一个无量纲的矩阵。称为是空间自回归系数，表示了空间相关性在给定空间结构下的方向和强弱。空间自相关二元相关(0-1相关)

例1.1.1.在地图上的个子区域中，如果和具有相邻的边界(boundary)，则定义，否则。空间自相关以上定义的空间权重矩阵有如下两大缺点:(1)按以上定义，空间权重矩阵总是一个对称阵，这显然是不符合有些情况的，例如现实中存在作用是单向或非对称双向的情形(模仿效应)，(2)0-1元素的设置无法区分各邻居空间作用的强弱。

空间权重矩阵克服以上两个缺点的办法之一是，定义其中可以理解成是和的边界相同部分的长度，是与其他相邻接的个体边界的总长。根据这一定义所得的权重矩阵如下所示：空间权重矩阵以上定义的权重矩阵的合理性在于，如果j和i同时和k相邻，则由于j与k和i与k相邻的边界长度不同，j和k对i的空间作用分别不同，正比于它们与i相接的边界的长度。空间权重矩阵空间滞后算子

定义的空间滞后为。的第i行是，这正是i所有邻居的加权平均,赋予邻居的权为。有时为了更加突出加权平均的含义，我们可以令的每一行之和为1。空间滞后算子行和单位化的好处行和单位化将原来空间矩阵的每一个元素分别除以所在行的元素之和，这使得变得不再具有量纲。由于将变得与具有相同的量纲，空间自回归系数因此具有更加清晰准确的含义，它可以被解释成空间相关的方向与大小，且不同模型之间还可以进行直接的比较。

空间权重矩阵例1:地方财政支出外溢Case,RosenandHines(JournalofPublicEconomics1993)利用空间计量模型检验美国48个州政府在财政支出决策上的策略性博弈并估计了支出的外溢效应强弱。他们考虑了三种可能的权重关系：(i)各州在地理上的相邻关系：容易理解当地政府会将与其边界相邻的州视作竞争对手。如果州i与州j共享边界，定义，其中表示所有与分区有共同边界的分区个数。实例

除地理因素之外，各州政府将会将在经济和人口特征上水平接近的州也视作竞争对手。(ii)地区发展水平相似接近而导致的空间相关性，即表示对于给定的i，当j取遍所属分区内除i外的总和。(iii)由黑人人口比例接近引起的空间相关性，即表示对于给定的i，当j取遍所属分区内除i外所有的总和。Caseetal.1993空间权重矩阵虽然在模型中被看成是常数矩阵，但是运用空间模型进行实证研究时，它的选择却具有较大的主观随意性，这是因为空间相关机制依赖于模型背后的经济学理论，而对于一个实际问题，不同研究者看问题的角度和采用的理论未必相同。减少空间权重选择主观性的一个途径是，采用以下嵌套的空间权重：

Caseetal.1993在上世纪70年代末Paelinck&Klaassen提出“空间计量经济学”一词之初，人们研究它的目的仅仅是为地理经济，区域科学，城市经济学等与空间、地理概念密切相关的经济学分支提供实证分析工具。这体现在，当时的模型均从地理相邻(geographicalproximity)角度出发来定义截面上个体之间的相关性。近年来，空间计量经济学理论经历了一个快速发展的阶段，其应用范围已由传统的地理经济及区域科学领域拓展到了劳动经济学，公共财政、金融学领域等其他经济学分支。从模型构建的变化过程来看，之所以目前空间计量经济学应用领域能够在传统基础上不断拓展，原因之一在于现代空间模型中对“空间自相关”的理解已超越了狭义的地理空间范畴，能够根据实际问题采取灵活的形式，以更有效地说明问题与解释问题。这些从更为广义的视角来定义并考察截面上个体相关的计量模型被称为广义空间计量模型。

空间权重矩阵的扩展空间自相关检验时间序列中，我们可以用来检验序列中可能存在的自相关。由于时间序列的一阶自回归可以写成

的形式，其中正是次对角线为1，其余元素零的T阶矩阵，这使得我们可以将进一步写成

空间自相关检验其中。假定现在已得截面上的一组观测，和他们之间可能存在的空间相关结构，记录在中，则检验这组样本分量间空间相关的MoranI统计量的一般形式为:

其中。可以看出，MoranI统计量只是对应的时间序列中对一阶自回归检验在空间情形的自然推广。空间自相关检验一般地，我们可以检验以下线性回归模型中的扰动项是否存在空间相关性，

此时的MoranI统计量将是

其中MoranI统计量二次型中心极限定理考虑形如下列的随机变量二次型和形式：假设1.是任意n维对称矩阵，满足行和与列和一致有界。是任意n维列向量且各元素一致有界。准备定理假设2.各分量是独立具有零均值和有限方差的随机变量，且存在某一超过四阶的原点矩存在并一致有界，即满足，其中是一个与n无关的正常数。

写出的均值表达式和方差表达式如下：

准备定理中心极限定理(Kelejian&Prucha2001)：若假设1-2成立，且存在某个与n无关的正常数，使得成立，那么，其中表示依分布收敛。以上中心极限定理不要求同方差，因此可以运用到异方差的情形。准备定理MoranI统计量的零分布在一定的正则性假定下，当空间自相关不存在时，。证明：利用，可得

MoranI统计量MoranI统计量的等价形式注意到的另一等价表示

称为DW检验。它们之间的关系大致是Geary’sC统计量：MoranI统计量可以证明，总是取正值，取值范围一般介于0-4之间。当Geary’sC的值接近2时，表示不存在空间自相关，观测值或扰动项在空间上呈现随机分布；当Geary’sC的值接近0时，表示存在正的空间自相关，相似的观测值或扰动项在空间上呈现集聚；当Geary’sC的值接近4时，表示存在负的空间自相关，相异的观测值或扰动项在空间上呈现集聚；MoranI统计量空间计量经济学概述2.空间自相关的检验3.

线性空间模型的估计4.空间计量经济学理论的最新发展5.实证例子内容SAR过程与SMA过程

p-阶空间自回归过程(SAR(p))分别是1至p阶空间权重矩阵。q-阶空间移动平均过程(SMA(q))

空间随机过程SAR过程和SMA过程的最大区别在于，由SAR过程决定的空间效应传递机制是全局(global)的，而由SMA过程决定的传递机制是局部(local)的。将SAR(1)过程展开：这在形式上非常象SMA()过程。在SAR过程中，i处受到的冲击会通过的一阶，二阶，甚至任意阶滞后算子传递到其他任意一处。但是在SMA过程中，处受到的冲击会只通过前有限空间滞后算子传递。空间随机过程误差成分过程(SEC)空间误差成分过程(spatialerrorcomponent)，类似于面板数据中的随机效应模型设定，任一处的冲击分解成两部分(之和)，其中一部分()不具备空间效应，即不会对邻域造成影响。另一部分()则具备空间溢出效应,对邻居产生空间作用。空间随机过程空间回归模型空间自回归误差模型：空间移动平均误差模型：空间滞后模型：线性空间回归模型p阶空间滞后模型：

将SEM与SLM组合在一起，得到最一般的p阶空间滞后，q阶空间自回归误差模型线性空间回归模型的最小二乘估计线性空间回归模型

的OLSE为或其中。将对采用中心极限定理，但是的矩估计是一个维工具变量矩阵，通常由空间权重矩阵与组成，满足总体矩条件令，线性空间回归模型通常由中任意列秩大于或等于k+1，互相线性独立的有限列构成。在一定的正则性条件下，可以证明由广义的Cauchy-Schwartz不等式可知，在所有可选的工具变量矩阵中，最佳的选择应是

如果实际中的

，我们将无法找到合适的工具变量来实施以上方法。线性空间回归模型的矩估计当没有可供利用的外生解释变量来构造线性矩条件时，Kelejian&Prucha(1999)提出广义矩估计可基于以下三个二次型矩条件进行：

其中。线性空间回归模型我们可以用以上三个总体矩条件对应的样本矩条件来估计和这两个未知参数。线性空间回归模型利用广义矩估计的框架，我们可以通过求解下列最小化问题来得到参数的一致估计

最优广义矩估计量可以通过设置得到。线性空间回归模型的系统矩估计无论是否有外生解释变量构成工具变量的来源，Lee(2007)提出以下的系统广义矩估计方法。

其中，是维的工具变量矩阵。在真值处，。线性空间回归模型最优广义矩估计量要求

按照标准的广义矩估计理论，此时广义矩估计量具有渐近方差，其中线性空间回归模型其中

线性空间回归模型我们还可以讨论如何选择最佳的，使得

是半正定矩阵。Lee(2007)证明，最佳的矩条件选择应为且

其中由于最优矩条件中还包含未知参数，在实际估计中应采用二步法。线性空间回归模型空间计量经济学概述2.空间自相关的检验3.线性空间模型的估计4.空间计量经济学理论的最新发展5.实证例子内容空间动态面板模型

经济学中许多问题的研究需要同时考虑被解释变量在时间上的动态效应与在空间上的溢出效应。例如，研究发现某一地区的某种成瘾性(addictive)消费品在某一时刻的需求量明显依赖该地区前一时刻该种消费品的需求量，当期附近地区对该种消费品的需求与过去时刻附近地区对该种消费品的需求量；再如某一地区当期房产价格的平均水平应由当地前期房产价格的平均水平，该地附近当期房产平均价格水平和前期房产价格平均水平共同决定。一般的空间动态面板模型可以写成空间计量经济学的最新发展

分别称为空间滞后，时间滞后与时空联合滞后系数。Lee&Yu(2007a)探究了模型的极大似然估计量的大样本性质。张征宇和朱平芳(2009a)从广义矩估计的角度提出了进一步提高极大似然估计量渐近效率的方法。张征宇和朱平芳(2009b)运用空间动态面板模型分析了地方环境支出的外溢效应。空间动态面板模型非稳定空间动态面板模型

稳定时空序列要求矩阵的所有特征值都在单位圆内。当的特征值的绝对值部分等于1或者全部等于1时，所得的空间动态面板模型分别被称为是部分非稳定的与完全非稳定的。Yuetal.(2007)讨论了模型的极大似然估计量在部分非稳定情形下的大样本性质。Yu&Lee(2010)讨论了模型的极大似然估计量在完全非稳定情形下的大样本性质。空间计量经济学的最新发展空间序列的近单位根现象

在中，可被唯一决定的充要条件是矩阵可逆。当经过行和单位化后，可逆的充分条件是。当