初等函数的连续性_第1页
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文档简介

§3

初等函数的连续性在学习了连续函数的定义及其一系一、指数函数的连续性二、初等函数的连续性上总是连续的.要结论：初等函数在其有定义的区间列基本性质后，现在可以证明一个重返回一、指数函数的连续性在第一章中,我们已经定义了指数函数并指出它在R内是严格单调的.所以,若能证明指首先证明指数函数的一个重要性质.定义域内也是连续函数.数函数是连续函数,那么它的反函数对数函数在其证当是有理数时,这是我们熟知的一个结果.对于任意存在有理数定理4.10

设为任意实数,则有先设由定义，使因为是任意的,所以反之,存在有理数再取有理数于是有仍因是任意的,又得这就证明了只要令就有定理4.11

指数函数在R上是连证我们仍旧先假设首先证明指数函数在处连续,即这是因为对于任意的正数取所以在x=0处连续.续的.对于一般的点由定理4.10得到

所以在R上连续.对于只要设由就可得到相应的结论.注也是连续的.例1

设证明推论1对数函数在定义域上是连续的.续,从而在点x0也连续,于是证得证设在点x0连推论2

幂函数在定义域注例1的结论可改写为解因为令例2

求由此求得当故二、初等函数的连续性我们已经知道以下函数在定义域内是连续的(i)常值函数;

(vi)对数函数.(v)指数函数;(iv)幂函数;(iii)反三角函数;(ii)三角函数;以上六种函数称为基本初等函数.因为连续函数由上面的分析,我们得到如下结论：定义3

由基本初等函数经过有限次四则运算与复上是连续的.合之后产生的新函数在其定义区间（如果存在）的基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复的四则运算与复合运算是保连续的，所以由上面合运算所产生的函数称为初等函数.例3

求极限定理4.12

初等函数在其有定义的区间上是连续的.注上述结论中所指的“定义区间”,今后(第十六解因为是初等函数,所以在

处连续,从而章)在一般意义下可以改为“定义域”.例4

据理说明不是初等函数.解因为是的定义区间上的

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