第三章 金融工程的基本分析方法

第三章金融工程的基本分析方法2023/2/2第一节无套利均衡分析法一、金融工程的基本方法论金融学在研究方法上完全从经济学中独立出来是以20世纪50年代后期F.Modigliani和M.Miller在研究企业资本结构和企业价值的关系时提出的“无套利(No-Arbitrage)”分析方法为标志的，这才是现代金融学的真正的方法论革命！金融研究的一个核心内容是对金融市场中的某项头寸进行估值和定价。分析的基本方法是将这项头寸与市场中其他金融资产的头寸组合起来，构筑起一个在市场均衡时不能产生不承受风险的利润的组合头寸，由此测算出该项头寸在市场均衡时的价值即均衡价格。2023/2/2金融市场均衡时无套利机会就是无套利均衡分析的依据。套利机会消除后所确定的均衡价格与市场参与者的风险偏好无关。这就抓住就金融市场均衡的最为本质的特征。无套利均衡比供需均衡所产生的市场推动力要强得多，重建市场均衡的速度也要快得多。金融市场的这种本质特性决定了对它采用的研究方法应当有别于其他的市场。这是无套利均衡分析方法的根本涵义。2023/2/2金融工程的一项核心技术是组合分解技术。采用组合分解技术，可以利用基本工具作为零部件来组装成具有特定流动性和收益／风险特性的金融产品；也可以通过“剥离”，把原先捆绑在一起的金融／财务风险进行分解，更可以在分解之后加以重新组合，从而为收益／风险在市场的流动转移和重新配置提供强有力的手段。组合分解技术本质上就是用一组金融工具来“复制”另一个（或另一组）金融工具的技术，也就是无套利均衡分析的具体化。2023/2/2总之：由于代表着现代金融学最新发展的金融工程本身就是金融学的工程化，现代金融学本身的方法论即无套利均衡分析也就是金融工程的基本方法论。信息技术和工程方法对金融工程研究的支持，从最基本的方法论角度出发，应该说都是围绕无套利均衡分析展开的。因此，不懂得无套利均衡分析就是不懂得现代金融学的基本方法论，当然，也就不懂得金融工程的基本方法论。2023/2/2

金融衍生工具的价格应该处在一个和标的资产价格相对确定的位置,否则就偏离了合理的价格.如果市场价格对合理价格的偏离超过了相应的成本,则市场投资者就可以通过标的资产和金融衍生工具之间的买卖进行套利,买入相对定价过低的资产,卖出相对定价过高的证券。市场价格必然由于套利行为做出调整，相对价格过低的资产价格会因买入者较多而回升，而相对价格过高的证券价格则会因为卖出者较多而下降，因而回到合理的价位即均衡价格，套利者即因此获利。在市场价格回到均衡状态之后，就不再存在套利机会，从而形成无套利条件下的合理证券价格。这就是无套利定价原理。无套利定价原理2023/2/2

例3.1

假设有两家公司Ａ、Ｂ，其资产性质相同但资本结构（负债／权益）不一样。每年创造的利税前收益（EBIT）都是1000万元人民币。设Ａ的资本全由股本权益构成，共100万股。根据未来收入现金流的风险特征，金融市场对Ａ的股票的预期收益率是，则Ａ的企业价值为此时公司Ａ股票的每股价格应当是100元／股。二、无套利定价法的应用2023/2/2设Ｂ的资本中有4000万元负债，年利率为8%即并且假设此债务是无限期的。则Ｂ负债的市场价值就是4000万元，每年支付利息320万元。假设在无税条件下，企业的收益必须先付利息再分红利，则股东每年可以分到的收益为EBIT-320万元，若假定Ｂ的股份数是60万份，此时可断定股价为100元／股。否则，就有套利的机会。如果是90元，则可采用如下策略套利：2023/2/2头寸情况即时现金流未来每年的现金流1%A股票的空头＋10000股X100元／股-1%XEBIT1%B股票的多头－6000股X90元／股1%X(EBIT-320)1%B债券的多头－1%Ｘ4000万1%X320净现金流６万元06万元来自于B公司的股票价值被低估，未达到均衡价格。反之则反理。2023/2/2因B的股价是100元，则B的权益市值为100X60=6000万元。从而B的企业价值也为10000万元。与A的企业价值相等。即

ＭＭ第一命题：在ＭＭ条件下，企业价值与其资本结构（企业负债和权益的比例结构）无关

采用无套利分析技术，实际上是用一组证券复制某项或某一组证券，其要点是使复制证券的现金流特征与被复制证券的现金流特征完全相同。2023/2/2注意：如果对于市场上现有的一项或一组金融工具，能够用现有的另一组金融工具来“复制”（产生相同的现金流），如果复制者和被复制者二者的市场价格不等（必须把所有发生的成本计算在内），就会出现套利的机会。（这是采用金融工程技术发掘市场套利机会的基本做法）2023/2/2

例3.2

假设3种零息票债券的面值都为100元，它们当前的市场价格分别为：（1）1年后到期的零息票债券的当前价格为98元；（2）2年后到期的零息票债券的当前价格为96元；（3）3年后到期的零息票债券的当前价格为93元；并假设不考虑交易成本和违约情况。试问：（1）如果有一个债券A的息票率为10%，1年支付1次利息，期限为3年。债券A当前的市场价格应该为多少？（2）如果债券A当前的市场价格为120元，是否有套利机会？如果有，如何套利？2023/2/2第二节状态价格定价法一、状态定价法原理状态价格是指在特定的状态发生时回报为1否则回报为0的资产在当前的价格。如果未来时刻有N种状态，而这N种状态的价格我们都知道，那么我们只要知道某种资产在未来各种状态下的回报状况以及市场无风险利率水平，我们就可以对该资产进行定价。这就是状态定价技术。2023/2/2设有一份风险债券Ａ，现在的市场价格是，一年后市场价格会出现两种可能的情况（如图所示）：其中二、静态定价法2023/2/2如果是债券Ａ的收益率，记，则现定义一类与状态相对应的假想的证券，称之为基本证券。基本证券１在１年后如果市场出现上升状态，其市场价值为１元，如果市场处于下跌状态，则价值为零。基本证券２则反之，１年后市场处于下跌状态时价值为１元，处于上升状态时为零。设现基本证券１的市场价格为，基本证券２的市场价格为。2023/2/2现在可用基本证券来复制上述的有风险证券Ａ。购买份基本证券１和份基本证券２构成的证券组合在１年后不管发生何种状况，都会产生和证券Ａ完全同样的现金流，故为Ａ的复制品。由无套利原理知，二者现在的市场价格应该相等：即（１）2023/2/2如果再同时购买１份基本证券１和１份基本证券２构成证券组合，则一年后无论出现何种状况，该组合的市场价值都将是１元。这是一项无风险投资，其收益率应该是，于是有（２）2023/2/2由（１）、（２）得：2023/2/2例3.3设债券Ａ，元如图所示10010798则可算出10398.5从而债券Ｂ现在的价格应该是2023/2/2定理：对于一年后出现两种状态的市场，它的两个基本证券是唯一确定的，或者说，两个基本证券唯一地确定了这个市场。而刻画在这个市场里的证券价格变化的参数和

必满足以下方程组：反之，凡满足以上方程组的和所描绘的一定是在这个市场里的证券价格的变化。两组不同的则刻画了两个不同的市场。2023/2/2设用份债券Ａ和现在市场价值为的无风险证券来构筑复制债券Ｂ的证券组合。则该组合现在的市值是１年后，无论出现何种市场状态，该组合的市值都应该和债券Ｂ一样，即下面用债券Ａ和无风险证券来复制债券Ｂ，检查以上所述的用基本证券对债券Ｂ的定价是否正确：2023/2/2则解得由此算出债券Ｂ现在的市场价值为若设，可以算出2023/2/2三、动态定价法假定风险债券Ａ的价格运动规律如下图所示，期初第1期末第2期末10798114.49104.8696.04期初第1期末第2期末2023/2/2107114.49104.86解得，因此有同法可得2023/2/210010798解得这就是动态无套利均衡分析方法。2023/2/2关键点是所谓的自融资策略，如：这种动态无套利均衡分析方法是由期末倒推至起初的，这符合金融学中对价值的测算原理（金融学是面向未来的，由将来决定现在）2023/2/2例3.4

假设从现在开始1年后到期的零息票债券的价格为98元，从1年后开始，在2年后到期的零息票债券的价格恰好也为98元。并且假设不考虑交易成本和违约情况。试问：（1）从现在开始2年后到期的零息票债券的价格为多少？（2）如果从现在开始2年后到期的零息票债券的价格为97元，是否有套利机会？如果有，如何套利？2023/2/2这里用A和无风险证券就可以完全动态地复制出债券B。原因在于我们假设每过一个时期，市场只出现两种可能的状态（二叉树）。对于可能出现更多的状态，就需要更多的互相独立的证券才可能动态地复制其他的证券。这就是市场的动态完全性问题。四、市场的完全性对于市场可能出现的各种情况，是否具备足够数目的“独立的”金融工具来进行完全的套期保值，从而转移风险。如果具备足够多的此类金融工具，则市场是完全的，否则是不完全的。2023/2/2第三节风险中性定价法一、风险中性假设如果对一个问题的分析过程与投资者的风险偏好无关，则可以将这个问题放到一个假设的风险中性的世界里进行分析，所得的结果在真实的世界里也应该成立。无套利均衡分析的过程和结果与市场参与者的风险偏好无关2023/2/2二、金融经济学基本定理金融经济学第一基本定理

风险中性概率存在的充分必要条件是不存在无风险套利机会。金融经济学第二基本定理

风险中性概率是唯一的，其充分必要条件是市场是完全的。金融经济学第三基本定理

在一定的条件下，动态地修改现有证券的组合可以复制创造出新的证券，从而有效地填补市场以增加完全性。2023/2/2三、风险中性定价原理在对金融衍生工具进行定价时，所有投资者都是风险中性的。在所有投资者都是风险中性的条件下，所有证券的预期收益率都可以等于无风险利率r，这是因为风险中性的投资者并不需要额外的收益来吸引他们承担风险。同样，在风险中性的条件下，所有现金流量都可以通过无风险利率进行贴现求得现值。这就是风险中性定价原理。2023/2/2例3.5假设一种不支付红利的股票目前的市价为10元，我们知道在3个月后，该股票价格要么是11元，要么是9元。现在我们要找出一份3个月期协议价格为10.5元的该股票欧式看涨期权的价值。2023/2/2无套利定价法求解构建一个由一单位看涨期权空头和单位的标的股票多头组成的组合。为了使该组合价值处于无风险状态，必有2023/2/2在没有套利机会的情况下，无风险组合只能获得无风险收益率。设现在的无风险收益率为10％，则该组合的价值应为而目前股价为10元，因此即看涨期权的价值应为2023/2/2第四节积木分析法积木分析法也叫模块分析法，指将各种金融工具进行分解和组合，以解决金融问题。“积木”是一种比喻的说法，就像儿童拿着不同的积木用不同的摆法创造出神奇的“建筑物”一样，金融工程师运用他的“金融积木箱”中的积木－－各种金融工具（主要是衍生金融工具），来解决金融的现实问题。积木分析法主要以图形来分析收益/风险关系以及金融工具之间的组合/分解关系。2023/2/20KST+-损益多头头寸0KST+-损益空头头寸2023/2/2SX＋ＣX０损益－Ｃ多头看涨期权

SX＋ＣX０损益＋Ｃ空头看涨期权

2023/2/2SＫ－ＣＫ０损益＋Ｐ空头看跌期权

SＫ－ＣＫ０损益－Ｐ多头看跌期权

2023/2/2合成多头看涨期权

SＫ－ＣＫ0损益－Ｐ现货多头

多头看跌期权

SＫ＋ＰＫ0损益－Ｐ多头看涨期权

2023/2/2合成多头

SＫ＋ＣＫ0损益－Ｃ＋ＣＫ－ＣSＫ0损益2023/2/2

在利率互换交易中，如果称收取浮动利率利息、支付固定利率利息的一方为买方，另一方就为卖方。我们可以用图3.1所示的现金流来描述买方和卖方的未来收益／支出。

012nt…卖方012nt…买方图3.1利率互换的现金流下面先利用积木分析法为标准利率互换定价2023/2/2

利率互换的定价就是要定出与浮动利率互换的固定利率的大小，即所谓“浮动利率的固定利率价格”。所以利率互换协议的买方是用固定利率购买浮动利率。利率互换报价资料常见于英国《金融时报》上，其期限最长可达30年，且买进价低于卖出价。2023/2/2

为了对利率互换定价，先考虑带息票债券（如中长期国库券）的定价。带息票债券是固定利率债券，定期凭息票领取固定数额的利息，到期偿还以面值par计算的本金。现金流如图3.2所示图3.2带息票债券的现金流012nt…p02023/2/2如果对于这种债券市场根据它的风险状况所要求的折现率（资金成本）为r，则有净现值关系：如果息票利率i和资金成本r相等，即，该债券就是平价债券，有2023/2/2

假如：我们用浮动利率筹措一笔数额等于一项平价债券的面值par的资金，筹措的资金就用来投资于这项平价债券。假定筹资和投资的付息期是严格匹配的，这两件事的现金流如图3.3的左侧。2023/2/2012nt…012nt…投资现金流筹资现金流012nt…图3.32023/2/2所以，一个利率互换的空头（即卖方头寸）就等价于用浮动利率筹资的头寸和投资于一项平价债券的头寸的组合，而互换的定价就变成定出平价债券的息票利率。这是金融工程组合分解技术的典型运用。当然，这里平价债券的风险必须与对应的浮动利率的风险相匹配。对于最普通的利率互换来说，浮动利率应该是市场无风险利率。未来无风险利率的预期值就是远期利率。于是，采用作为浮动利率未来预期值的远期利率作为平价债券的折现率（即平价债券的预期收益率），使平价债券的净现值为零来定出其收益率。注意：折现率将是随时间变化的。2023/2/2由无套利原理知，应有ＮＰＶ＝０，由此解得：这种定价方法称为零息票定价技术。若以记相应于浮动利率的远期利率。则易换算出“零息票利率集”用这一零息票利率集作为折现率，对平价债券折现，有2023/2/2再来看货币互换的定价

012nt…图3.4012nt…首先，注意到图3.3左上方的筹资现金流可以分解为下图3.4所示的两个图的组合：2023/2/2根据无套利原理，这两个现金流组合到一起时的净现值为零。所以支付浮动利率的现金流（图3.4左）和图3.5是等价的。从而在设计时，我们可以用这个简单的现金流图来代替原来比较复杂的现金流图。（这种代替仅仅是为了计算和估值的目的，在利率互换中从不