第4章统计物理学基础

研究与温度有关的热现象的科学。热力学从宏观的角度研究热现象，建立宏观量(温度、压强、体积)之间的关系。研究宏观物体之间热功转换的关系和条件。统计物理学运用统计方法，阐明宏观量(温度、压强等)的微观本质，讨论气体分子的速度、速率、能量满足的统计分布规律。第二篇热物理学4-1统计物理的基本概念一、物质的微观模型热力学系统（热力学研究的对象）：大量微观粒子（分子、原子等）组成的宏观体系。外界：热力学系统以外的物体。O斥力引力(1)分子(或原子)非常小.109m~1010m(2)热力学系统所包含的微观粒子数非常巨大.NA~1023(3)分子之间存在相互作用力分子力。(4)分子或原子都以不同的速率不停地运动。微观粒子体系的基本特征宏观量(状态参量):描写热力学系统宏观状态的参量。如压强p、体积V、温度T等。微观量:描述系统内个别微观粒子特征和运动状态的物理量。如分子的质量、直径、速度、动量、能量等。微观量与宏观量有一定的内在联系。二、系统状态的描写在这过程中，各点密度、温度等均不相同，这就是非平衡态。但随着时间的推移，各处的密度、压强等都达到了均匀，无外界影响，状态保持不变，就是平衡态。设一容器，用隔板将其隔开，当隔板右移时，分子向右边扩散平衡态:在无外界的影响下，系统的宏观性质不随时间改变的稳定状态。假想把箱子分成两相同体积的部分，达到平衡时，两侧粒子有的穿越界线，但两侧粒子数相同。例如：粒子数说明：平衡态是一种理想状态处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因为碰撞，每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间改变。平衡态是一种热动平衡状态方程理想气体物态方程(状态方程)当系统处于平衡态时，三个状态参量存在一定的函数关系：m—气体质量M—气体摩尔质量8.31J/molR-普适气体常量在温度保持不变的过程中，理想气体的压强与体积之间的关系为双曲线。Celsiusscale:TC(C)=T(K)273.15

Kelvinscale:T(K)=TC(C)

+273.15K95TF(F)

=

TC(C)

+32TemperatureisoneofthesevenSIbasequantities:

Fahrenheitscale

例1.

氧气瓶的压强降到106Pa就要重新充气，以免混入其他气体而需洗瓶。今有一瓶氧气，容积为32L，压强为1.3107Pa，若每天用105Pa的氧气400L，问此瓶氧气可供多少天使用？设使用时温度不变。解:根据题意，可确定研究对象为原来气体、用去气体和剩余气体，设这三部分气体的状态参量分别为使用时的温度为T设可供x天使用原有每天用量剩余分别对它们列出状态方程，有p2=105PaV2=400Lp3=106PaV3=V1=32Lp1=1.3107Pa三、分子热运动的无序性和统计规律性什么是统计规律性(statisticalregularity)大量偶然性从整体上所体现出来的必然性。例.扔硬币从入口投入小球与钉碰撞落入狭槽为清楚起见,从正面来观察。(偶然)隔板铁钉统计规律和方法

伽尔顿板

大量偶然事件整体所遵循的规律统计规律。再投入小球：经一定段时间后,大量小球落入狭槽。分布情况:中间多，两边少。重复几次，结果相似。单个小球运动是随机的,大量小球运动分布是确定的。小球数按空间位置分布曲线统计规律和方法四、统计的基本概念(selftaught自学)1.概率如果N次试验中出现A事件的次数为NA,当N时，比值NA/N称为出现A事件的概率。概率的性质:(1)概率取值域为统计规律特点:(1)只对大量偶然的事件才有意义.(2)它是不同于个体规律的整体规律(量变到质变).(3)大数量现象在一定宏观条件下的稳定性。(2)各种可能发生的事件的概率总和等于1.几率归一化条件(3)二互斥事件的概率等于分事件概率之和(4)二相容事件的概率等于分事件概率之积统计平均值设N个分子组成的系统，处于某一状态。如果在这N个分子中，有N1个分子的物理量W取值为W1，N2个分子的取值为W2，…，则物理量W的算术平均值：

一般与N的依赖关系随N增大而减弱。当N增大到

与N无关时，就把

称为物理量W在该状态上的统计平均值。WWWN一般与N的依赖关系随N增大而减弱。当N增大到

与N无关时，就把

称为物理量W在该状态上的统计平均值。WWW在一定宏观条件下，对系统某一物理量的某一次测量值并不一定等于它的统计平均值只有当分子数N很大时，涨落相对统计平均值很小，才能用统计平均值代表宏观测量值。直角坐标系中，分子在三个坐标轴上的速度分量平方的统计平均值：围绕统计平均值的涨落因，则有:如果系统处于平衡态，分子向各个方向运动的概率相等：4-2

理想气体的压强温度和内能一、理想气体的微观模型和统计假设1.理想气体微观模型分子本身的大小比起它们之间的平均距离可忽略不计。1)2)除碰撞外，分子之间的作用可忽略不计。3)分子间的碰撞是完全弹性的。4)分子所受重力忽略不计。理想气体的分子模型是弹性的自由运动的质点。2.统计假设①分子数密度处处相等；②分子沿各个方向运动的几率均等。即分子速度在各个方向上的分量的各种平均值相等。二．理想气体的压强公式一定质量的处于平衡态的某种理想气体。(V,N,m)平衡态下器壁各处压强相同，选A1面,求其所受压强。i分子动量增量i分子对器壁的冲量i分子相继与A1面碰撞的时间间隔单位时间内i分子对A1面的碰撞次数单位时间内i分子对A1面的冲量i分子对A1面的平均冲力所有分子对A1面的平均作用力压强i分子对A1面的平均冲力——分子的平均平动动能平衡态下该公式表明平衡态下理想气体的压强(宏观量)与分子的平均平动动能(微观量的统计平均值)的关系压强正比于单位体积内的分子数及分子的平均平动动能.该关系式给出了宏观量(p)与微观量(分子速率)的统计平均值之间的关系.即揭示了宏观量的微观本质.可以通过增加容器内单位体积里的分子数(Youdothiswhenyouaddairtoatire)或增加分子的平均平动动能使得容器内的压强增加.Thepressureinthetirecanalsobeincreasedbyincreasingtheaveragetranslationalkineticenergyofmoleculesinthetire.讨论三、分子的平均平动动能与温度的关系温度是气体分子平均平动动能大小的量度玻耳兹曼常数气体分子的方均根速率(root-mean-squarespeed)大量分子速率的平方平均值的平方根气体分子的方均根速率vrms与气体的热力学温度的平方根成正比，与气体的摩尔质量的平方根成反比。例2.(1)在一个具有活塞的容器中盛有一定的气体。如果压缩气体并对它加热，使它的温度从27oC升到177oC，体积减少一半，求气体压强变化多少？(2)这时气体分子的平均平动动能变化多少？解：计算温度300K的氮气分子的平均平动动能及方均根速率.(氮分子质量m=4.651026kg)解:思考：由以上计算可知，室温下氮气分子的方均根速率为517m/s，但声音在该气体中的传播速率却为350m/s.为什么?课堂练习1.自由度:确定一个物体的空间位置所需要的以刚性分子为例:四、能量按自由度均分定理HeOOO2HHHHCCH4独立坐标数目或物体可能具有的独立运动模式数目.单原子分子双原子分子多原子分子自由度i=3平动自由度自由度i=5平动自由度3转动自由度2自由度i=6平动自由度3转动自由度3二、能量均分定理气体分子沿x,y,z三个方向运动的平均平动动能完全相等，可以认为分子的平均平动动能均匀分配在每个平动自由度上。平衡态下，不论何种运动，相应于每一个可能自由度的平均动能都是能量按自由度均分定理如果某种气体的分子有t个平动自由度,r个转动自由度,s个振动自由度.则分子具有：平均平动动能平均转动动能平均振动动能注意：对应分子的一个振动自由度，除有一份平均动能外，还有一份平均势能。结论：分子的平均总能量

对刚性分子：不考虑振动，则分子的平均动能为单原子分子i=3双原子分子i=5多原子分子i=6五、理想气体的内能分子间相互作用可以忽略不计分子间相互作用的势能=0理想气体的内能=所有分子的热运动动能之总和1mol理想气体的内能一定质量理想气体的内能温度改变T，内能改变量为摩尔数例3.就质量而言，空气是由76%的N2，23%的O2和1%的Ar三种气体组成，它们的分子量分别为28、32、40。空气的摩尔质量为28.910-3kg，试计算1mol空气在标准状态下的内能。解：在1摩尔空气中N2质量摩尔数O2质量摩尔数Ar质量摩尔数1mol空气在标准状态下的内能练习十一统计物理学基础（一）Homework4-3麦克斯韦分子速率分布率平衡态下，理想气体的每个分子运动速度各不相同，而且通过碰撞不断发生变化，对任何一个分子来说，在任何时刻它的速度的大小受到许多偶然因素的影响，因而是不能预知的。但从整体上统计地说，气体分子的速度分布是有规律的，这个规律叫麦克斯韦速度分布律。若不考虑分子速度的方向，则叫麦克斯韦速率分布律。问题：平衡态下，气体分子如何按速率分布？解决方案：按照经典理论，气体分子的速率可以连续地取0到无限大的任何数值.因此，研究分子按速率分布时需将分子按速率区间分组，例如将速率以10m/s的间隔划分为010,1020,2030m/s,,的区间，然后找出各区间的分子数一、速率分布函数N分子总数.dN速率处于v到vdv区间的分子数.f(v)的物理意义:速率在v附近的单位速率区间的分子数占总分子数的百分比概率密度.或:f(v)dv为一个分子的速率处于v到vdv的概率.速率在v到v+dv区间的分子数占总分子数的百分比.速率分布函数定义1859年,麦克斯韦根据概率论推导出了在平衡态下，理想气体分子速率分布函数

f(v)dv(=dN/N):

速率处于

v

到v+dv区间的分子数占总分子数的百分比.或:一个分子f(v)vdv面积=f(v)dv速率处于v到vdv区间的概率.速率在v1

到v2的分子数占总分子数的百分比:速率分布曲线下的总面积v1v2二、麦克斯韦速率分布律及三种统计速率归一化条件分子速率的三个统计值平均速率代入麦克斯韦速率分布函数，并积分得方均根速率vrms代入f(v),最概然速率

vp

f(v)的极大值对应的速率令df(v)/dv=0得273K1273K2273Kvf(v)Of(v)vvrmsvpO分布曲线随温度或摩尔质量的变化而变化如T2>T1或M2>M1:曲线下的面积始终为1.总结例4.氦气:T=300K,N=106,分子质量m=6.651027kg.(a)原子的最概然速率?解:(b)估算分布在速率区间vp

vp

40m/s的分子数解:由麦克斯韦速率分布函数，分布在速率区间

v

v

v的分子数为

3104

即，106个氦气分子中大约有3%的氦气分子处于速率区间1120m/s到1160m/s内(c)令v=10vp,计算分布在速率区间v

v

40m/s的分子数.解:代入v=10vp

=1.12104m/s,得N=41039.表明几乎没有分子具有如此大的速率处于v1到v2的分子平均速率?f(v)vv1v2讨论分布在速率v附近v~v+dv速率区间内的分子数占总分子数的比率。分布在速率v附近v~v+dv速率区间内的分子数。单位体积内分子速率分布在速率v附近v~v+dv速率区间内的分子数。讨论分布在有限速率区间v1~v2内的分子数占总分子数的比率。分布在有限速率区间v1~v2内的分子数。分布在0～∞速率区间内的分子数占总分子数的比率。（归一化条件）v2的平均值。讨论解课堂练习(1)由归一化条件得O(2)有N个粒子，其速率分布函数为(1)作速率分布曲线并求常数a(2)求速率大于v0和速率小于v0的粒子数4-4玻耳兹曼分布律若气体分子处于恒定的外力场（如重力场）中气体分子在空间位置不再呈均匀分布气体分子分布规律如何一、玻耳兹曼分布律经典粒子按能量的分布函数麦克斯韦—玻耳兹曼分布经典粒子按势能分布近代理论中，粒子数按能级分布重力场中粒子按高度的分布规律例5.

氢原子基态能级E113.6eV，第一激发态能级E23.4eV，求出在室温T=270C时原子处于第一激发态与基态的数目比。解：在室温下，氢原子几乎都处于基态。氮气分子在27oC时的平均速率为476m.s-1.矛盾气体分子热运动平均速率高，但气体扩散过程进行得相当慢。克劳修斯指出：气体分子的速度虽然很大，但前进中要与其他分子作频繁的碰撞，每碰一次，分子运动方向就发生改变，所走的路程非常曲折。气体分子平均速率4-7气体分子的平均自由程扩散速率平均速率分子自由程:气体分子两次相邻碰撞之间自由通过的路程。分子碰撞频率:在单位时间内一个分子与其他分子碰撞的次数。大量分子的分子自由程与每秒碰撞次数服从统计分布规律。可以求出平均自由程和平均碰撞次数。假定每个分子都是有效直径为d的弹性小球。只有某一个分子A以平均速率运动，其余分子都静止。平均碰撞次数dddvA运动方向上，以d为半径的圆柱体内的分子都将与分子A碰撞球心在圆柱体内的分子一秒钟内:分子A经过路程为相应圆柱体体积为圆柱体内分子数一秒钟内A与其它分子发生碰撞的平均次数dddvA一切分子都在运动一秒钟内分子A经过路程为一秒钟内A与其它分子发生碰撞的平均次数平均自由程与分子的有效直径的平方和分