第二章控制系统的数学描述方法

第二章控制系统的数学

描述方法本章主要内容与重点控制系统的时域数学模型控制系统的微分方程非线性微分方程的线性化拉氏变换及其应用传递函数动态结构图一般反馈控制系统相似原理

本章主要内容本章重点

本章介绍了建立控制系统数学模型和简化的相关知识。包括线性定常系统微分方程的建立、非线性系统的线性化方法、传递函数概念与应用、方框图及其等效变换、梅逊公式的应用等。

通过本章学习，应着重了解控制系统数学模型的基本知识，熟练掌握建立线性定常系统微分方程的建立、传递函数的概念和应用知识、控制系统方框图的构成和等效变换方法、典型闭环控制系统的传递函数的基本概念和梅逊公式的应用。2-1

控制系统的时域数学模型

在讨论控制系统的分析和设计时，首先要采用适当的描述方法来描述它。常用的方法是数学描述，即数学模型。1、何为控制系统的数学模型?控制系统的数学模型是描述系统内部物理量（或变量）之间的数学表达式。

数学模型具有简捷、方便、通用等许多优点，因而得到了广泛的应用。2、静态（数学）模型和动态（数学)模型

在静态条件下（即变量各阶导数为零），描述变量之间关系的代数方程(组)叫静态（数学）模型。描述变量各阶导数之间关系的微分方程(组)叫动态（数学）模型。3、控制系统运动的描述控制系统的运动，就是对系统施加控制（即输入控制信号）,从而得到系统输出量（即受控量）随时间的变化规律（即输出响应信号）。由于一般物理系统可以表现为描述其因果关系的微分方程。因此，控制系统运动的数学描述，就是在给定输入信号和初始条件下，求解微分方程而得到的微分方程的解。4、建立数学模型的方法解析法－依据描述系统运动规律的运动定律来得到微分方程的方法。实验法－基于系统输入输出的实验数据来建立数学模型的方法。5、数学模型的形式时域模型：微分方程、差分方程和状态方程。复域模型：传递函数、结构图频域模型：频率特性6、本章涉及的数学模型用解析法描述的SISO线性定常系统的微分方程、传递函数和动态结构图。2－2控制系统的微分方程1、控制系统运动规律的微分方程或者

就是采用线性常系数微分方程来描述的控制系统的运动规律（即系统为线性定常系统）。2、线性定常系统的特征（1）线性可加性如果x1(t)y1(t)x2(t)y2(t)则a·x1(t)+b·x2(t)a·y1(t)+b·y2(t)(2)参数定常性系统参数或元件均为常数(对应于上式中各参数ai,bj均为常数)。3、建模出发点根据物理系统的运动规律列写微分方程。理想元件的微分方程描述2－2－1电学系统建模约束1、元件约束电阻R、电容C和电感L，它们的V-I关系必须遵循广义欧姆定律。2、网络约束电网络的基本约束为基尔霍夫的两个定律。（1）基尔霍夫电压定律（2）基尔霍夫电流定律(关联参考方向)例2-1(P13)写出以ui为输入，u0为输出的微分方程。解：由回路电压定律有即将代入上式,有令时间常数则有可简写为

例2-2(P14)写出以ui为输入，u0为输出的微分方程。对于回路L1，有解：对于回路L2，有元件约束为化简，可得设时间常数可简写为2-1-2力学系统

基本约束----牛顿定律

1、机械平移运动

例2-3（P15）列出以Fi为输入，x为输出的运动方程。由加速度定律解：和力为k-弹性系数；f-阻尼系数；m-物体质量其中弹性阻力粘滞阻力代入方程有整理得

2、机械旋转运动

例2-4(P15)列出系统运动方程。解：由角加速度方程

其中，J--转动惯量，ω--旋转角速度，ΣM--和力矩，得其中，Mf--作用力矩；fω--阻力力矩，其大小与转速成正比，负号表示方向与作用力矩方向相反。

整理后，得如果以转角θ为输出变量，因为将它代入方程，得

2-1-3复合系统例2-5（P16)已知直流电动机，定子与转子的电磁关系如图2-6所示，机电系统原理如图2-7所示，试写出其运动方程。解：这是一个复合系统。依次写出各平衡方程如下。1.电网络平衡方程2.电动势平衡方程3.机械平衡方程4.转矩平衡方程

联立上述四个方程，略去ML，并消去中间变量Ia、Ea、Ma，得到输入为电枢电压Ua,输出为转轴角速度的二阶微分方程

当La很小时，将其略去，得到一阶微分方程

控制系统微分方程的列写步骤：

（1）根据组成系统各子系统的工作原理及其在控制系统中的作用，确立各自的输入量与输出量。

（2）列出各子系统满足的输入－输出关系的微分方程组（输入、输出变量总数比方程个数大1）。

（3）消去中间变量，得到系统输出量与输入量之间关系的微分方程（即系统的数学模型）。一般情况下，应将微分方程写成标准形式，即与输入量有关的项写在方程的右端，与输出量有关的项写在方程的左端，方程两端变量的导数项均按求导阶次的降幂排列。线性、定常、集总参数控制系统的微分方程线性元件的微分方程电气元件组成的系统（电路系统）列写系统运动方程前，要先确定输入变量、输出变量LCR机电系统微分方程：电枢电压控制直流电动机SM负载电枢回路电压平衡方程电磁转矩方程电动机轴上转矩平衡方程若以角速度为输出量、电枢电压为输入量，消去中间变量，直流电动机的微分方程为当电枢回路的电感可以忽略不计若电枢回路电阻和电动机的转动惯量都很小，可忽略不计，则上式可进一步简化弹簧-质量-阻尼器（S-M-D）机械位移系统求质量m在外力F的作用下，质量m的位移x的运动。设系统已处于平衡状态，相对于初始状态的位移、速度、加速度m齿轮系的运动方程J1J2基本关系式齿轮1和齿轮2的运动方程（1）以齿轮1的角速度为输出，外部为输入（2）以齿轮2的角速度

为输出，外部为输入控制系统微分方程的建立基本步骤：（1）由系统原理图画出系统方框图或直接确定系统中各个基本部件（元件）（2）列写各方框图的输入输出之间的微分方程，要注意前后连接的两个元件中，后级元件对前级元件的负载效应（3）消去中间变量速度控制系统的微分方程-k2SM负载-k1TG系统输出系统输入参考量控制系统的主要部件（元件）：给定电位器、运放1、运放2、功率放大器、直流电动机、减速器、测速发电机运放1运放2功放直流电动机减速器（齿轮系）测速发电机消去中间变量*比较R-L-C电路运动方程与M-S-D机械系统运动方程相似系统：揭示了不同物理现象之间的相似关系线性系统的性质：具有可叠加性、均匀性（齐次性）线性定常微分方程求解方法直接求解法：通解+特解自由解+强迫解（零输入响应+零状态响应）变换域求解法：Laplace变换方法2-3非线性微分方程的线性化

1、从严格意义上讲，绝大多数控制系统的数学模型都不是线性模型（即系统并非是线性系统），不能用（2－1）式或（2－2）式表示。事实上，任何一个元件总是存在一定程度的非线性。即使假设具有线性的特性，也是局限在一定的范围内。

例：图2-8(P18)为铁磁材料的饱和特性。当激磁电流I较小时，磁场密度B随着I线性增加。但当I较大时，B的增长率越来越小，呈现明显的饱和非线性。2、两类非线性系统（1）具有连续变化的非线性系统动态：y(n)=f(t;y,y(1),…,y(n),x,x(1),…,x(m))静态：y=f(x)要求f连续，可导。(2)本质非线性系统f2(t;y;…y(n-1);x,…,x(m))条件2

动态：f1(t;y;…y(n-1);x,…,x(m))条件1y(n)=

静态：f1(x)条件1y=f2(x)条件2

只有第(1)类非线性系统可以进行线性化3、非线性系统线性化步骤

实际的物理元件都存在一定的非线性，例如弹簧系数是位移的函数电阻、电容、电感与工作环境、工作电流有关电动本身的摩擦、死区(1)确定输入-输出关系中的函数关系y(x)或其中非线性项的函数关系。(2)在工作点x0邻域将y(x)展开成泰勒级数小偏差线性化法

设连续变化的非线性函数平衡状态A为工作点在平衡状态点运用台劳级数展开为略去二阶以上的高次项，得到(3)当△x=x-x0很小时，△y=y(x)-y(x0)很小，有增量表达式其中，

(4)将增量以普通变量表示，得到线性化方程

例2-6(P18)三相全桥整流调速装置如图2-9所示，输入量为控制角。输出量为整流电压UD，试建立其线性化模型。(为静态关系的线性化)解由功率电子技术可知，整流电为静态关系的线性化特性曲线如图2-10所示，为非线性关系。UD与之间的关系为设工作点为增量式为其中从而有例2-7(P19)已知单摆系统的运动如图2—11所示。(1)写出运动方程，(2)求取线性化方程。(为动态关系的线性化)解

单摆系统的运动如图2-11所示。其运动方程为

方程中的零次导数项为非线性项，即

在邻域其泰勒级数展开式为忽略二阶以上的高次项，其线性关系为线性化系数k=1。进而，有代入原方程，得到线性化方程为

其线性化关系如图2-12（P20)所示。

需要注意的是，在不同的工作点邻域，可以得到不同的线性化方程。例如，在邻域，有线性关系，相应的线性化系数k=-1，从而线性化方程为4、注意事项（1）第(2)类非线性系统不可线性化。（2）多变量情况处理类似。（3）工作点不同，所得线性化方程的线性化系数不同，即线性化方程不同。（4）非线性系统的线性化方程只在工作点附近才成立。具有两个自变量的非线性函数的线性化

对于具有两个自变量的非线性函数可以在工作点（x10,x20)邻域展开成泰勒级数

写出增量式为当和很小时，略去二阶以上的高次项，并以K1、K2表示，得到其中于是，线性化方程为2-4拉氏变换及其应用2-4-1拉氏变换的定义

对于时域函数f(t)，只要满足相应的收敛条件，其拉氏变换(Laplace变换)的常规定义为

其中，f(t)---变换原函数；F(s)---变换象函数：复变函数；s---复变量：s=σ+jω。拉氏变换有其逆运算，称为拉氏反变换，表示为其中，积分围线c为由s=σ-j∞到s=σ+j∞的闭曲线。

鉴于工程上常常需要处理在t=0处不连续的函数甚至具有更复杂性质的函数，控制理论中常常把拉氏变换的定义修改成

对于在t=0处连续，即满足f(0+)=f(0-)的函数来说，这样定义与常规定义并无区别。而采用修改后的定义可以使微分方程的求解过程大大地简化。2-4-2常用信号的拉氏变换

控制系统分析中常常需要采用一些典型的时域输入信号，我们来求它们的拉氏变换。1、单位脉冲信号且

理想单位脉冲信号的数学表达式为拉氏变换为今后，我们将采用修改后的拉氏变换定义。

说明：

单位脉冲函数可以通过极限方法得到。设单个方波脉冲如图所示。

脉冲的宽度为a，高度为1/a，面积为1。当保持面积不变，宽度a--->0,高度1/a--->∞，则单个方波脉冲演变成理想的单位脉冲。f(t)1/aa0t(t)t0

2、单位阶跃信号f(t)10t显然,有拉氏变换为简写为单位阶跃信号的数学表达式为

3、单位斜坡信号简写为0f(t)t单位斜坡信号的数学表达式为利用分部积分公式(见P22),可求得拉氏变换为

4、指数信号tf(t)10

指数信号的数学表达式为拉氏变换为

5、正弦、余弦信号

正弦、余弦信号的拉氏变换可以利用指数信号的拉氏变换求得。由复指数函数的拉氏变换，有因为由尤拉公式分别取上式的实部和虚部，可得正弦信号的拉氏变换为有余弦信号的拉氏变换为2-4-3拉氏变换的一些基本定理

1、线性定理则

若

2、延迟定理则信号f(t)与它在时间轴上的平移信号f(t-T)的关系示意图ttf(t)f(t-)00

若

该定理说明，在时间域的平移变换在复数域有对应的衰减变换。

例2-8(P24)求如图所示周期锯齿波信号的拉氏变换。解：f(t)t0T该信号为周期信号。若已知信号第一周期的拉氏变换为F1(s)，则应用延迟定理，有锯齿波信号第一周期的拉氏变换为所以，周期锯齿波信号的拉氏变换为

3、衰减定理则若

该定理说明，时间信号f(t)在时间域的指数衰减，其拉氏变换在复数域有对应的坐标平移。解：因为所以

例2-9（P25）试求时间函数的拉氏变换。

4、微分定理且f(t)的各阶导数存在，则f(t)各阶导数的拉氏变换为……

若

则……当所有的初值均为零时，即

5、积分定理

积分定理与微分定理互为逆定理。则

若

6、初值定理即时域函数的初值，可以由变换域求得。且f(0+)存在，则

若

7、终值定理且f(∞)存在，则若即时域函数的终值，也可以由变换域求得。

8、卷积定理时域函数的卷积分为

则若

为何要将时域函数f(t)转换成复变函数F(s)？－－时域中超越函数在变换域中是有理函数（见表2-1（P23））。－－可以简化计算，如卷积分转变成相乘运算。

两个优点：常用拉氏变换的基本定理见表2-2(P28)。2-4-4拉氏反变换

将复变函数F(s)变换为原时域函数f(t)的运算是拉氏变换的逆运算，称为拉氏反变换，公式为

这是复变函数的积分，计算复杂，极少采用。常用方法----部分分式法。理由：工程中常见的时域信号f(t)的拉氏变换F(s)都是s的有理函数。因此，可以将F(s)分解成一系有理分式Fi(s)之和，再利用拉氏变换表求出所有的fi(t)=L-1[Fi(s)]，即可合成时域函数f(t)(根据拉氏变换的线性变换定理)。过程：其中，B(s)----分子多项式；A(s)----分母多项式；a0,a1,…an-1;b0,b1,…bm----常系数，n≥m。设拉氏变换F(s)为s的有理分式，即

求出分母多项式对应A(s)=0的根si(i=1,2,…n）（称之为极点）。于是，有从而可得拉氏反变换为计算情况：

（1）A(s)＝0全部为单根为复变函数F(s)对于极点s=si的留数。拉氏反变换为其中

F(s)可分解成

例2-10(P29)已知：求拉氏反变换。解：F(s)可分解成其中于是

(2)A(s)=0有重根其中，与单根s1相对应的系数C1求法同前;与重根s2相对应的各项系数计算公式如下……

以只有一个单根为例，即s1为单根，s2为(n-1)重根，则F(s)可分解为因为所以，拉氏反变换为

例2-11(P30)已知：求拉氏反变换。解：F(s)可分解为解得于是，有从而

(3)A(s)=0有共轭复数根

当存在共轭复数根时，可以将共轭复数根当作单根(互不相同)来看待。但分解计算时，涉及到复数运算，太繁琐，可以利用如下变换对来简化计算。

例2-12(P31)已知：求拉氏反变换。解：F(s)可分解为而于是，有2-4-5拉氏变换法求解微分方程

列出控制系统的微分方程之后，就可以求解该微分方程，利用微分方程的解来分析系统的运动规律。微分方程可以采用数学分析的方法来求解，也可以采用拉氏变换法来求解。采用拉氏变换法求解微分方程是带初值进行运算的，许多情况下应用更为方便。拉氏变换法求解微分方程步骤如下：

（1）方程两边作拉氏变换。（2）将给定的初始条件与输入信号代入方程。

（3）写出输出量的拉氏变换。

（4）作拉氏反变换求出系统输出的时间解。

例2-13(P31)RC滤波电路如图所示，输入电压ui(t)=5V，试求：当电容初始电压uc(0)分别为0V和1V时的时间解uc(t)。解：RC电路的微分方程为R=10kui=5VucC=10方程两边作拉氏变换由拉氏变换的线性定理，有由拉氏变换的微分定理，得将R=10k,C=10,Ui(s)=5/s代入，整理得于是，输出的拉氏变换为

（1）uc(0)=0V时

（2）uc(0)=1V时uc(t)5V1V00.1t两种初值时系统的时间响应解：方程两边作拉氏变换，得

例2-14(P32)已知微分方程输入信号,初始条件为,求y(t)。代入初值，得作拉氏反变换，得2-5传递函数

1、传递函数是在变换域中描述系统的一种数学模型。它是以参数来表示系统结构的，故又称为系统的参数模型。

2、传递函数是基于拉氏变换得到的，可以简化计算。2-5-1传递函数的定义且有，n>=m。令所有的初始条件全为零，即

设描述线性定常系统的微分方程为对方程两边作拉氏变换，得从而，输出信号的拉氏变换Y(s)与输入信号的拉氏变换U(s)比为于是，输出信号的拉氏变换Y(s)为

控制系统传递函数的定义：

在零初始条件下，输出信号的拉氏变换与输入信号的拉氏变换之比，表示为

在该定义下，系统的输出可以表示为变换域中传递函数与控制输入的乘积，即2-5-2传递函数的性质

1、传递函数只适用于线性定常系统

2、传递函数是在零初始条件下定义的

(2-96)式表示系统内部无能量储存条件下的系统描述。如果不是这样，则会产生系统在非零初始条件下的叠加项，即

例2-15(P34)RLC网络如图所示：

（2）当时,写出输出响应。解：（1）系统的微分方程为RLCuiuc

（1）求传递函数。令所有初值为零，对方程两边作拉氏变换，有得到系统的传递函数为

（2)当时，将微分方程两边带初值作拉氏变换，有整理得即输出响应的拉氏变换为式中为非零初始条件下的叠加项。例试求：电枢控制直流电动机的传递函数根据线性叠加原理，分别研究到和到的传递函数传递函数的性质（1）因果系统的传递函数是s的有理真分式函数，具有复变函数的性质。（2）传递函数取决于系统或元件的结构和参数，与输入信号的形式无关。G(s)（3）传递函数与微分方程可相互转换。（4）传递函数的Laplace反变换是系统的脉冲响应

3、传递函数可以有量纲

物理单位由输入、输出的物理量的量纲确定。例如：

力学系统---[米]/[牛](作用力产生位移的刚度系数);电学系统---[安]/[伏](复数导纳，电压引起电流响应)。

4、传递函数表示的关系

传递函数只反映系统端口之间的关系，不明显表示系统内部部件的信息。

（1）同一个物理系统，由于描述不同端口之间的关系，其传递函数可能不同。

（2）不同的物理系统，其传递函数可能相同。解：由例2-15已得及

例2-16(P35)对于如图所示RLC网络，试求和，并比较它们有何不同。RLCuiuc由系统的微分方程在初始条件为零的情况下，合并上面两个方程，可得

两个传递函数的分母多项式是相同的，而分子多项式是不同的。

5、传递函数是描述线性定常系统的参数模型其中，K---系统的传递增益(或传递系数）；s=zj,j=1,2,…,m---分子多项式对应方程的根，称之为系统的零点；s=pi,i=1,2,…,n---分母多项式对应方程的根，称之为系统的极点。

可以将有理分式表示的传递函数表示为

6、传递函数的信息关系

(1)确定了输入信号U(s)与输出信号Y(s)之间的传递关系信息。

(2)确定了系统的固有特性信息(由分母多项式描述)。

(3)确定了系统与外界联系方式信息(由分子多项式表示)。

例2-17(P36)给定两个动力学系统如图所示，分别写出传递函数，并比较两个系统的不同之处。解：系统1的微分方程为传递函数为系统2的微分方程为传递函数为

两个系统的传递函数的分母多项式是相同的，因此，两个系统的固有特性是相同的。而分子多项式是不同的，因此，两个系统与外界联系的作用特性是不同的。从输入信号的物理意义上看，系统1的作用函数是直接作用于质量m的作用力F(t)；而系统2的作用函数是位移量x(t)，位移量x(t)经过阻尼器f1和弹簧k的作用，间接产生作用力作用于质量m。显然，两个系统与外界的作用是不同的。2-5-3传递函数的零点与极点z1z2称为传递系数或根轨迹系数传递函数写成因子连乘积的形式称为传递系数或增益或放大系数传递函数的极点就是微分方程的特征根，极点决定了系统自由运动的模态，而且在强迫运动中也会包含这些自由运动的模态。2-5-4传递函数极点和零点对输出的影响自由运动的模态输入函数零状态响应前两项具有与输入函数相同的模态后两项由极点决定的自由运动模态，其系数与输入函数有关传递函数的零点影响各模态在响应中所占的比重，例如输入信号，零状态响应分别为各个模态在两个系统输出响应中所占的比重不同，取决于零点相对于极点的距离。例如：z1z22-5-5控制系统的传递函数

1、复数阻抗

对于电学系统，其基本线性元件有三种：电阻R、电容C和电感L。在时域中，它们的V-I关系满足广义的欧姆定律。在变换域中，它们的V-I关系也有相同的形式。我们把这种在变换域中的V-I关系称为复数阻抗。它们也符合传递函数的定义。

电网络的传递函数可以方便地利用线性元件的复数阻抗来求得。uLiLL电感uciCC电容uRRiR电阻

例2-18（P37）RLC网络如图所示，试采用复数阻抗法求取该网络的传递函数。解：由复数阻抗法写出分压公式为代入各复数阻抗，得从而，求得传递函数为uiuoCRLuiuoRxZi-+Zf反相运算有源网络解：反相输入的运算放大器的运算关系如图所示，即

例2-19（P38）有源网络（比例积分PI）如图所示，求传递函数G(s)。R3+uiR1R2uoRxZiZfC-PI运算有源网络其中，Zi(s)----输入复数阻抗；Zf(s)----反馈复数阻抗；负号----表示输入与输出相位相反。

PI运算有源网络的各复数阻抗如下：输入复数阻抗为反馈复数阻抗为于是，传递函数为

2、典型环节

控制系统通常由若干个基本部件组合而成，这些基本部件称为典型环节。

(1)比例环节

具有比例运算关系的元部件称为比例环节。uiKuo方块图为

运算关系为

传递函数为

例2-20(P38)变阻器式角位移检测器如图所示，求传递函数。解：变阻器最大角位移为，变阻器所加电压为V+，故其灵敏度为

两变阻器角差为所以，检测器输出电压为传递函数为

例2-21(P39)直流测速发电机如图所示，求传递函数。Es解：直流测速发电机是一种转角检测装置，其输出端电压正比于转轴的旋转角速度，灵敏度，所以，输出电压为这是一个比例环节，其传递函数为

(2)积分环节其中，T----积分环节的时间常数,表示积分的快慢程度。uiuo方块图为

传递函数为运算关系为

符合积分运算关系的环节称为积分环节。

例2-22(P39)液位系统如图所示，求传递函数。解：入管流量为出管流量为流量差为容器底面积为液面高度为容积为流入的容积为流量差对时间的积分两式相等所以，液面高度为这是一个积分环节，其传递函数为

(3)微分环节

符合微分运算关系的环节称为积分环节。suiu0方块图为

传递函数为运算关系为其中，τ----微分环节的时间常数，表示微分速率的大小。

例2-23(P40)前例2-21中的测速发电机，其输出电压为因为故，有所以，若考虑电压与转角的关系，测速发电机就成为微分环节，有

(4)一阶惯性环节

一阶惯性环节的微分方程是一阶的,且输出响应需要一定的时间才能达到稳态值，故称为一阶惯性环节。uoui

方块图为

传递函数为

运算关系为其中，T----惯性环节的时间常数。

(5)二阶振荡环节

振荡环节是由二阶微分方程描述的系统。uiuo

方块图为

传递函数为

运算关系为其中，T和ζ是系统的特征参数。

(6)延迟环节

具有纯时间延迟传递关系的环节称为延迟环节。uiuo

方块图为

传递函数为

传输关系为

由拉氏变换的延迟定理，有

延迟环节的实例。

3、系统传递函数的求取过程

(1)将控制系统分成前述的基本环节，分别写出各基本环节的传递函数。

(2)按照信号流通的约束关系，将各基本环节的传递函数按照相应的关系组合，得到系统结构图。

(3)消去中间变量，得到系统的传递函数。

例2-24(P42)直流电动机调速系统原理如图所示，试根据信号传输关系写出系统的传递函数。解：端口关系：

控制量----给定转速r所对应的电压Ur（输入量）；

被控量----电动机旋转的角速度（输出量）。第一步写出各基本环节的传递函数。

（1）给定单元（电位器）

（2）测速单元（测速发电机TC）

（3）比较单元(Ur与串联反极性相联接UTC）

（4）放大单元

（5）执行单元（直流伺服电动机SD）

（6）减速器

（7）变阻器

（8）可控硅调功器

（9）受控对象-----直流电动机

第二步将基本环节的传递函数组合成系统结构图。ML(s)KrK1KsKaKL/KMKTC+--rUr(s)e(s)U1(s)SD(s)(s)US(s)Ua(s)(s)UTC(s)+算子方程组：

第三步消去中间变量，得到系统传递函数。

消去各中间变量:Ur(s),UTC(s),e(s),U1(s),θSD(s),φ(s),US(s),Ua(s)，根据叠加原理，令负载ML为零就可以得到以给定角速度ωr为输入量，以电动机的旋转角速度ω为输出量的传递函数为同理，令给定角速度ωr为零，可以得到负载扰动ML作用下的传递函数为2-6动态结构图

1、(动态)结构图的定义和组成

(动态)结构图是一种网络拓扑约束下的有向线图，亦称为方块图。由三部分组成：控制系统的结构图：描述系统各元部件之间的信号传递关系的一种图形化表示，特别对于复杂控制系统的信号传递过程给出了一种直观的描述。

（1）以传递函数来描述信号输入输出关系的传输方块。

（3）信号的分支点（分离点）与相加点（综合点）。

（2）标有信号流通方向的信号输入输出通路。系统结构图的组成与绘制系统结构图一般有四个基本单元组成：（1）信号线；（2）引出点（或测量点）；（3）比较点（或信号综合点）表示对信号进行叠加；（4）方框（或环节）表示对信号进行变换，方框中写入元部件或系统的传递函数。

2、(动态)结构图的特性

（1）结构图是线图方式的数学模型，可以用来描述控制系统的系统结构关系。

（2）结构图上可以表示出系统的一些中间变量或者系统的内部信息。

（3）结构图与代数方程等价。

例2-25(P45)作出如图所示系统的结构图。R1R2UiC1C2UoUx解：设电容C1的电压为Ux（中间变量），采用复数阻抗法顺序写出各算子代数方程和方块图如下2-6-1结构图的建立(2)1/R1UR1I(1)UiUR1Ux+-(3)II2I1-+(4)1/C1sI1Ux1/R2UR2I2(6)1/C2sI2Uo(7)(5)

UxUR2Uo+Ui(s)1/R1-+1/C1s1/R21/C2sUo(s)++

将各基本环节按照信号流通的方向连结起来就可以得到系统的方块图。2-6-2结构图的化简

2、化简原则

（2）化简前后，回路传递函数的乘积不变。

1、化简目的

求得系统的传递函数。

（1）化简前后，前向通路传递函数的乘积不变。任何复杂的系统结构图，各方框之间的基本连接方式只有串联、并联和反馈连接三种。方框结构图的简化是通过移动引出点、比较点，交换比较点，进行方框运算后，将串联、并联和反馈连接的方框合并。

3、等效变换法则

（1）环节串联G1(s)G2(s)X(s)Y(s)G1(s)G2(s)X(s)Y(s)

（2）环节并联G1(s)G2(s)++G1(s)+G2(s)X(s)X(s)Y(s)Y(s)

（3）反馈回路化简E(s)G(s)H(s)+X(s)Y(s)B(s)X(s)Y(s)

设中间变量B(s),E(s)如图，有

因为所以整理，得即有前向通道传递函数：输入端对应比较器输出E(s)到输出端输出Y(s)所有传递函数的乘积，记为G(s)

反馈通道传递函数：输出Y(s)到输入端比较器的反馈信号B(s)之间的所有传递函数之乘积，记为H(s)开环传递函数：反馈引入点断开时，输入端对应比较器输出E(s)到输入端对应的比较器的反馈信号B(s)之间所有传递函数的乘积，记为GO(s),GO(s)=G(s)H(s)

（4）相加点（求和点）移动

前移

X1(s)G(s)X1(s)X2(s)+Y(s)X2(s)1/G(s)+G(s)Y(s)++X1(s)Y(s)+X2(s)Y(s)X1(s)G(s)X2(s)G(s)G(s)+++

后移互易X1(s)X2(s)++X3(s)Y(s)++Y(s)X1(s)X3(s)X2(s)+++X1(s)X2(s)X3(s)Y(s)+++++

（5）分支点移动

前移后移

注意事项－相加点与分支点没有简单互易法则。Y1(s)G1(s)G2(s)Y2(s)X(s)Y1(s)G1(s)G1(s)G2(s)Y2(s)X(s)G(s)G(s)1/G(s)Y1(s)Y2(s)Y1(s)Y2(s)X(s)X(s)

例设系统的结构图如图所示，试利用等效变换的方法简化结构图，并计算系统的传递函数C(s)／R(s)。解：简化过程：（1）G3(s)和G4(s)之间的引出点后移，由G3(s)、G4(s)和H3(s)组成的内反馈回路计算等效传递函数：（2）将G2(s)、G34(s)和H2(s)*1/G4(s)组成的内反馈回路简化，计算等效传递函数（3）将G1(s)、G23(s)和H1(s)组成的主反馈回路简化，计算系统的传递函数

例2-26(P48)采用结构图等价变换法化简如图所示的结构图。解：第一步：向左移出相加点，向右移出分支点。

第二步：化简两个内部回路，并合并反馈支路中的串联方块。R1C2sUi(s)-+Uo(s)

第三步：令作反馈回路化简，得Uo(s)Ui(s)所以，系统传递函数为2-6-3梅逊公式根据结构图等效化简原则，将结构图化成最简方块，可以求得系统的传递函数。但是化简步骤仍然而要一步一步地进行。而采用梅逊公式化简结构图，求取系统的传递函数，只需要作少量的计算，就可以将传递函数一次写出。梅逊公式的来源是按克莱姆（Gramer）规则求解线性联立方程组时，将解的分子多项式与分母多项式与信号流图（即拓朴图）巧妙联系的结果。MASON增益公式从输入节点到输出节点的传递函数（或总增益）从输入节点到输出节点的前向通路总数从输入节点到输出节点的第i条前向通路总增益流图特征式所有单独回路增益的乘积之和两、两不接触回路增益的乘积之和三、三不接触回路增益的乘积之和第i条前向通路余子式

第i条前向通路的余子式的计算公式为：在特征式中，将与第i条前向通路相接触的回路各项全部去除后剩下的余子式。

例2-27已知两级RC网络的结构图如图所示，试用梅逊公式法求取传递函数。

解(1)写出所有独立回路，共3个判别回路的接触情况：因为L1，L2之间没有公共支路，所以有一个两两互不接触回路。没有三三互不接触回路。

(2)写出悔逊公式特征式(3)写出前向通路从输入到输出只有一条前向通路，所以i＝l，只有(4)写出各项余子式因为只有一条前向通路殊性，所以只计算。因为与所有回路L1，L2，L3都有公共支路，所以与所有回路都相接触。从特征式中将所有的回路各项去除后得到=1（5）传递函数为例2．18三级RC滤波网络如图所示，试用梅逊法求取网络的传递函数。

解三级RC网络的结构图如上图所示(1)

一条前向通路（2）5个独立回路

LⅠ=LⅡ=LⅢ=LⅣ=LⅤ=

(3)

两两互不接触回路共6项：LⅠLⅡ，LⅠLⅢ，LⅡLⅢ，LⅠLⅤ，LⅢLⅣ，L