第十三章几何基础与几何模型

第十三章几何基础与几何模型123欧几里得的《几何原本》希尔伯特的《几何基础》，近代公理法的基本思想双曲几何学和椭圆几何学课本中的结构456射影几何学的公理系和模型爱尔兰根纲领，变换群与几何学射影几何学在中学几何中的应用举例课本中的结构01欧几里得《几何原本》希尔伯特的公理体系非欧几何克莱因的变换群思想射影几何学在中学几何中的应用举例欧几里得的《几何原本》011、与《几何原本》有关的五个人物2、《几何原本》的内容简介3、欣赏《几何原本》中的两个命题的证明4、《几何原本》留给后人的工作01欧几里德（Euclid，公元前330

年-公元前260

年）是古希腊最负盛名、最有影响的数学家之一.与《几何原本》有关的五个人物01徐光启（1562-1633）松江人明代末期一位杰出的科学家、天文学家、农业科学家。编有《崇祯历法》、《农政全书》。另外,他还是一位翻译家，1606年与人合译《几何原本》（前6卷）与《几何原本》有关的五个人物01利玛窦(1552-1610)意大利人，耶稣会传教士。1583年入居肇庆（位于广东省）开始传教与《几何原本》有关的五个人物01李善兰(1811-1882)浙江海宁人清代数学家、翻译家。15岁通览古希腊数学名著《几何原本》(前六卷)。1852年至1856年与人合译《几何原本》后九卷（《续几何原本》）。另还译有《代数学》、《代微积拾级》、《谈天》等。与《几何原本》有关的五个人物01伟烈亚力（1815一1887），英国汉学家。1847年从伦敦出发同年抵达上海。1852年与李善兰合译《几何原本》后九卷。另与李善兰合译《代数学》与《代微积拾级》与《几何原本》有关的五个人物《几何原本》的内容简介01《几何原本》共有13卷：第一卷给出23个定义五条公设九条公理第二卷线段的运算第三、四卷圆的性质和圆的内接、外切多边形第五、六卷比例理论与相似多边形的性质《几何原本》的内容简介01《几何原本》共有13卷：第七、八、九卷算术第十卷不可公度量的分类与运算第十一至十三卷立体几何01《几何原本》的内容简介在《几何原本》的第一卷中，给出了5个公设：公设1：从每个点到另一个点必定可以引直线公设2：每条直线可以无限延长公设3：以任意点为中心，任意线段为半径可以作圆公设4：所有的直角相等公设5：（在同一个平面内）两条直线被第三条直线

所截，若在某一侧的内角和小于二直角，那

么这两条直线在这一侧适当延长后必相交01《几何原本》的内容简介在《几何原本》的第一卷中，给出了9条公理：公理1：等于同量的量相等公理2：等量加等量，其和相等公理3：等量减等量，其差相等公理4：不等量加等量，其和不等公理5：等量的两倍仍相等公理6：等量的一半仍相等01在《几何原本》的第一卷中，给出了9条公理：公理7：能重合的量相等公理8：整体大于部分公理9：两条直线不能包含一部分《几何原本》的内容简介01欣赏《几何原本》中的两个命题的证明命题29：（平行线性质定理）一直线截平行直线所得的内错角相等，同位角相等同侧内角之和等于二直角。EABDCFGH提示：可以用“邻补角互补”，

“对顶角相等”

“第五公设"01欣赏《几何原本》中的两个命题的证明命题47：（毕达哥拉斯定理）在直角三角形中，对着直角的边上的正方形等于两直角边上的两个正方形之和。01欣赏《几何原本》中的两个命题的证明01《几何原本》留给后人的工作2.对第五公设不断的挑战1.对其他公理，公设的怀疑近代公理法的基本思想01

先提出几个不予定义的基本概念和若干不加证明的公理，这些基本概念的性质就是由这些公理来描述和保证。从这些基本概念和公理出发，通过形式逻辑的推理，就导出一系列的结论，同时又可以定义新的概念，并得到新的结论。这些就构成了一个学科的全部内容。希尔伯特与《几何基础》01希尔伯特（1862-1943）出生于德国的东普鲁士，与菲利克斯·克莱因是同事、好友。在不变量理论，几何公理化，希尔伯特空间这些领域都有其建树。1899年出版《几何原理》。01希尔伯特与《几何基础》三个基本对象五个基本关系五组公理（共20条）点直线平面两个结合关系一个顺序关系两个合同关系点在直线上点在平面上一个点在另两点之间线段与线段合同角与角合同结合公理（8条）顺序公理（4条）合同公理（5条）连续公理（2条）平行公理（1条）欧式平行公理对于任何直线a和不在a上的任何点A，在由a和A确定的平面上，至多有一条直线通过A且与a不相交01希尔伯特与《几何基础》无矛盾性独立性完备性01双曲几何学结合公理（8条）顺序公理（4条）合同公理（5条）连续公理（2条）平行公理（1条）五组公理（共20条）双曲平行公理对于任何直线a和不在a上的任何点A，在由a和A确定的平面上，至少有一条直线通过A且与a不相交双曲几何学高斯（Gauss，1777～1855年）德国数学家，天文学家，物理学家。罗巴切夫斯基(1792—1856)俄国数学家亚诺什·鲍耶(1802—1860)匈牙利数学家01椭圆几何学结合公理（8条）顺序公理（4条）合同公理（5条）连续公理（2条）平行公理（1条）五组公理（共20条）椭圆平行公理对于任何直线a和不在a上的任何点A，在由a和A确定的平面上，不存在一条直线通过A且与a不相交椭圆几何学黎曼（Riemann，1826～1866），德国数学家、物理学家。在复变函数论、傅立叶级数、几何学基础、素数分布等方面都有重要贡献。01欧式几何与非欧几何的比较01克莱因与爱尔兰根纲领菲利克斯·克莱因（1849—1925）德国数学家。23岁被爱尔兰根大学聘为教授，发表了《近世几何学的研究的比较评论》的职演，说强调了变换群在几何学中的主导地位，这次演说的内容被后人称为《爱尔兰根纲领》。克莱因与爱尔兰根纲领正交变换仿射变换射影变换平移旋转长度角度平行性结合性垂直,正方形,三角