第十六章多元函数的极限与连续

级

数

与

多

元

微

积

分

SeriesandCalculousinSeveralVariables授课教师：胡鹏彦授课对象：05本科第十六章多元函数的极限与连续本章主要介绍多元函数的极限与连续性,要求对平面点集,多元函数,极限及连续性的概念有足够的了解,理解平面的完备性定理以及连续函数的性质,掌握两种极限的关系,会求多元函数的极限,会用多元函数连续性的定义讨论一些多元函数的连续性.第十六章多元函数的极限与连续§1平面点集与多元函数§2二元函数的极限§3二元函数的连续性§1平面点集与多元函数一平面点集二2上的完备性定理三二元函数四n元函数§2二元函数的极限一二元函数的极限二累次极限§3二元函数的连续性一二元函数的连续性概念二有界闭域上连续函数的性质§1平面点集与多元函数理解平面点集和多元函数的概念.理解平面完备性定理.§1平面点集与多元函数坐标平面坐标平面上满足某种条件P的点的集合称为平面点集,一平面点集并记作E{(x,y)|(x,y)满足条件P}.点集一般用大写的英文字母表示.平面点集与分别称为以点A(x0,y0)为中心的

圆邻域与

方邻域.§1平面点集与多元函数§1平面点集与多元函数由于点A的任一圆邻域可以包含在点A的某一方邻域之内,反之亦然,因此通常用“点A的

邻域”或“点A的邻域”泛指这两种形状的邻域,并以记号U(A;

)或U(A)来表示.点A的空心邻域是指或并用符号U

º(A;

)或U

º(A)来表示.§1平面点集与多元函数§1平面点集与多元函数点A2与点集E2之间的关系:内点,外点,界点.(i)内点—若存在点A的某邻域U(A),使得U(A)

E,则称点A是点集E的内点;E的全体内点构成的集合称为E的内部,记作int

E.(ii)外点—若存在点A的某邻域U(A),使得U(A)

E,则称点A是点集E的外点.§1平面点集与多元函数(iii)界点—若在点

A的任何邻域内既有属于

E的点,有含有不属于

E的点,则称

A是集合

E的界点,即对任何正数

,恒有U(A;

)

E且U(A;

)C

E,其中C

E2\E是E关于全平面的余集,E的全体界点构成E的边界,记作

E.以上是按“点A在E内或在E外”来区分§1平面点集与多元函数按点A近旁是否有E中无穷多个点来分:聚点,孤立点.(i)聚点—若在点A的任何空心邻域U

º(A)内都含有E中的点,则称A是E的聚点.(ii)孤立点—若点AE,但不是E的聚点,即存在某一正数

,使得U

º(A)

E,则称点A是E的孤立点.聚点可能属于E,也可能不属于E.孤立点一定是界点;内点和非孤立的界点一定是聚点;既不是聚点,又不是孤立点,则必为外点.§1平面点集与多元函数平面点集开集—若平面点集所属的每一点都是E的内点,则称E为开集.闭集—若平面点集E的所有聚点都属于E,则称E为闭集.若点集E没有聚点,这时也称E为闭集.§1平面点集与多元函数开域—若非空开集E具有连通性,即E中任意两点之间都可用一条完全含于E的有限折线相连接,则称E闭域—开域连同其边界所成的点集称为闭域.的点集,统称为区域.为开域(或称连通开集).区域—开域,闭域,或者开域连同其一部分界点所成有界点集—对于平面点集E,若存在某正数r,使得其中O是坐标原点,则称E是有界点集.否则就是无界点集.§1平面点集与多元函数点集E的直径—点集E的直径就是其中

(P1,P2)表示P1与P2两点之间的距离,当P1,P2的坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)时,有E为有界集的充分必要条件是d

(E)是有限值.§1平面点集与多元函数距离的三角形不等式,即对2上任何三点P1,P2和P3,皆有§1平面点集与多元函数定义1设{Pn}2为平面点列,P02为一固定点.若对任给的正数,存在正整数N,使得当nN时,有PnU(P0;),二2上的完备性定理则称点列{Pn}收敛于点P0,记作或等价于也等价于收敛点列定理16.1(柯西准则)§1平面点集与多元函数平面点列{Pn}收敛的充要条件是:任给正数,存在正整数N,使得当nN时,对一切正整数p,都有(6)定理16.2(闭域套定理)§1平面点集与多元函数设{Dn}是2中的闭域套,它满足:(i)(ii)则存在唯一的点P0Dn,n1,2,.定理16.3(聚点定理)§1平面点集与多元函数设E2为有界无限点集,则E在2中至少有一个聚点.推论有界无限点列{Pn}2必存在收敛子列{Pnk}.定理16.4(有限覆盖定理)§1平面点集与多元函数设D2为一有界闭域,{}为一开域族,它覆盖了D,则在{}中必存在有限个开域1,2,,n,它们同样覆盖了D.§1平面点集与多元函数定义2设平面点集D2,若按照某对应法则

f

,D中每一点P(x,y)都有唯一确定的实数z与之对应,则称f

三二元函数为定义在D上的二元函数(或称

f

为D到的一个映射),记作称D为

f

的定义域;称PD所对应的z为

f

在点P的函数值,记作zf

(P)或zf

(x,y);全体函数值的集合称为

f的值域,记作f(D).§1平面点集与多元函数把P的坐标x与y称f

的自变量,而把z称为因变量.在影射意义下,zf

(P)称为P的象,P称为z的原象.当把(x,y)D和它所对应的zf

(x,y)一起组成三维就是二元函数

f

的图象.通常zf

(x,y)的图象是一空间曲面,f

的定义域D便是该曲面在xOy平面上的投影.数组(x,y,z)时,三维欧氏空间3中的点集§1平面点集与多元函数二元函数有时也记为或而当定义域D不被误解的时候,也简单地说“函数zf

(x,y)”或“函数

f”.§2二元函数的极限例2函数例3函数例4函数若二元函数的值域是有界数集，则称该函数为有界函数,若值域是无界数集，则称该函数为无界函数.§1平面点集与多元函数n维向量空间,简称n维空间,记作n.其中每个有所有n个有序实数组(x1,x2,,xn)构成的集合称为四n元函数序实数组(x1,x2,,xn)称为n中的一个点;n个实数x1,x2,,xn是这个点的坐标.§1平面点集与多元函数称f为定义在E上的n元函数(或称f为En到的一设E为n中的点集,若有某个对应法则f,使E中每一点P(x1,x2,,xn)都有唯一的一个实数y与之对应,则个映射),记作(8)§1平面点集与多元函数有时也把n元函数简写成或(9)§2二元函数的极限定义1设f为定义在D2上的二元函数,P0为D的一点聚点,A是一个确定的实数.若对任给正数,总一二元函数的极限存在某正数

,使得当PU

º(P0;

)

D时,都有则称f在D上当P

P0时以A为极限,记作(1)§2二元函数的极限当P和P0分别用坐标(x,y)和(x0,y0)表示时,(1')也写作(1'')在对于PD不致产生误解时,也可简单地写作(1')§2二元函数的极限例1依定义验证例2设证明定理16.5一子集E,只要P0是E的聚点,就有§2二元函数的极限的充要条件是:对于D的任推论1设E1D,P0是E1的聚点.若不存在,则也不存在.§2二元函数的极限推论2设,E1,E2D,P0是它们的聚点,若存在极限但E1

E2,则不存在.推论3存在的充要条件是:对于D极限中任一满足条件Pn

P0,且的点列{Pn}所对应的函数值列{f(Pn)}都收敛.§2二元函数的极限例3例4二元函数存在极限.讨论当(x,y)(0,0)时是否§2二元函数的极限定义2设D为二元函数f的定义域,P0(x0,y0)是D的一点聚点.若对任给正数M,总存在一个

邻域,使得当P(x,y)U

º(P0;

)

D时,都有f(P)M,则称f在D上当P

P0时存在非正常极限,记作或仿此可类似地定义:与§2二元函数的极限例5设证明二元函数极限有与一元函数极限相仿的四则运算法则.§2二元函数的极限定义3设Ex,Ey,x0是Ex的聚点,y0是Ey的聚点,二元函数f在集合D

ExEy上有定义.若对每一个二累次极限y0yEy,存在极限而且进一步存在极限重极限§2二元函数的极限或简记作类似地可以定义先对y后对x的累次极限则称此极限为二元函数f先对x(

x0)后对y(

y0)的累次极限,并记作§2二元函数的极限§2二元函数的极限重极限与累次极限的关系:则它们必相等.定理16.6若f(x,y)在点(x0,y0)存在重极限与累次极限§2二元函数的极限都存在,则三者相等.推论1若累次极限和重极限推论2若累次极限必不存在.存在但不相等,则重极限与§3二元函数的连续性定义设f为定义在点集D2上的二元函数,P0D(它或者是D的聚点,或者是D的孤立点).对于任给的一二元函数的连续性概念正数,总存在相应的正数

,只要PU

(P0;

)

D时,则称f

关于集合D在点

P0连续.在不致误解的情况下,(1)就有也称f在点

P0连续.若

f

在D上任何点都连续,则称

f

为D上的连续函数.§3二元函数的连续性由定义可知若P0是D的孤立点,则P0必定是f关于D的连续点.若P0是D的聚点,则

f关于D在

P0连续等价于如果P0是D的聚点,而(2)式不成立,则称P0是f的不(2)连续点(或称间断点).特别当(2)式左边极限存在但不等于

f

(P0)时,P0是

f

的可去间断点.二元连续函数具有局部有界性,局部保号性以及相应的有理运算的各个法则.§3二元函数的连续性设P0(x0,y0),P(x,y

)D,x

x

x0,y

y

y0,则称为函数f在点P0的全增量.用增量形式描述连续性:当时,

f

在点P0连续.§3二元函数的连续性若在全增量中取x

0或y

0,则相应的函数增量函数的全增量不一定等于相应的两个偏增量之和.称为偏增量,记作§3二元函数的连续性可以证明:当f在其定义域的内点(x0,y0)连续时,

f(x0,y)在y0和f(x0,y0)在x0都连续.但反之不真.§3二元函数的连续性定理16.7(复合函数的连续性)(i)设函数u

(x,y)和u

(x,y)在x