第二讲正项级数收敛判别法(一)

二、交错级数及其审敛法三、绝对收敛与条件收敛

第一节（2）一、正项级数及其审敛法常数项级数的审敛法

第四章一、正项级数及其审敛法若则称为正项级数

.注意到：1.部分和数列单调递增2.单调有界数列存在极限定理1.

正项级数收敛部分和序列有界.若收敛,∴部分和数列有界,故从而又已知故有界.单调递增,收敛,也收敛.证:“”“”发散1.

有界判别法例1.

证明：正项级数收敛.证明：已知则，有故有界.则收敛.定理2(比较审敛法)设且存在对一切有(1)若强级数则弱级数(2)若弱级数则强级数则有收敛,也收敛;发散,也发散.是两个正项级数,(常数k>0),由有界判别法出发不仅能判断级数敛散性还可以给出新的判别方法。2.

比较判别法及其极限形式都有证:设对一切分别表示弱级数和强级数的部分和,则有因在级数前加、减有限项不改变其敛散性,故不妨(1)若强级数则有因此对一切有由定理1可知,也收敛.收敛,弱级数则有(2)若弱级数因此这说明强级数也发散.发散,说明：1.

比较判别法仅适用于正项级数；2.

不等式条件可以从某一个N后都满足就行；3.常用的参考级数常用的不等式例2.

讨论p

级数(常数p>0)的敛散性.解:1)若因为对一切而调和级数由比较审敛法可知p

级数发散.发散,2)若因为当故考虑强级数的部分和故强级数收敛,由比较审敛法知

p

级数收敛.时,2)若注1：调和级数与p级数是两个常用的比较级数.注

若存在对一切注2：一个级数敛散性同一个广义积分联系起来了.证明级数发散.证:

因为而级数发散根据比较审敛法可知,所给级数发散.例3时，有（通项的极限不是0）例4判别敛散性（A）收敛（B）发散#2014021901例4判别敛散性（A）收敛（B）发散#2014021902例4判别敛散性证：而收敛。故原级数收敛。而收敛。故原级数收敛。例5若收敛，则与收敛。证明：收敛，收敛。都收敛，而与收敛。用比较法关键1：找到不等式2：找到可比的已知敛散性级数为了应用上方便，给出下面比较法的极限形式定理3.

(比较审敛法的极限形式)则有两个级数同时收敛或发散;(2)当

l=

0

(3)当

l=∞

设两正项级数满足(1)当0<l<∞

时,证:

据极限定义,由定理

2

可知同时收敛或同时发散;(3)当l=∞时,即由定理2可知,若发散,(1)当0<l<∞时,(2)当l=

0时,由定理2知收敛,若特别取可得如下结论:对正项级数是两个正项级数,(1)当0≤l<∞

时,则(2)当

0＜l≤∞时，则注1.若，则同敛散。2.设分别为通项的分母，分子关于n的最高次数，则收敛。发散。例6.

判别级数的敛散性.（A）收敛（B）发散#2014021903～例6.

判别级数的敛散性.解:

根据比较审敛法的极限形式知的敛散性.例7.

判别级数（A）收敛（B）发散#2014021904的敛散性.例7.

判别级数解:根据比较审敛法的极限形式知～例8.

判别级数的敛散性.解：讨论：（1）若极限为0，此时只能判断收敛性，（2）若极限为正无穷，此时只能判断发散性，取则对于注意到1：用比较法得事先取定一个合适的已知敛散性的级数；2：一个级数的敛散性应与其本身项有关。常用比值法与根值法判断速度。3.

积分审敛法－－－－广义积分敛散性与无穷级数敛散性联系适用：通项单调减少！定理3.

积分审敛法设通项满足若存在单调减函数，使则级数与广义积分有相同敛散性．例9.

讨论级数的敛散性.解:

设

当时，是正值递减函数，且记发散．收敛；当时，发散；当