第二章机器人静力分析与动力学

2.3机器人动力学方程

机器人动力学的研究有多种方法。如：牛顿-欧拉方程（Newton-Euler)法、拉格朗日方程（Langrange)、高斯法（Gauss)、凯恩法(Kane)及罗伯逊-魏登堡法(Roberon-Wittenburg)等。主要介绍常用的牛顿-欧拉方程和拉格朗日方程。

第6次2.3.1欧拉方程即牛顿-欧拉方程：研究构件质心的运动使用牛顿方程，研究相对于构件质心的转动使用欧拉方程。欧拉方程表征了力、力矩、惯性张量和加速度之间的关系。质量为m、质心在C点的刚体，作用在其质心的力F的大小与质心加速度aC的关系为

F

=maC

式中：F

、aC

为三维矢量。上式称为牛顿方程。欲使刚体得到角速度为ω、角加速度为ε的转动，则作用在刚体上力矩M的大小为

M=CIε+ω×CIω

式中：M、ε、ω均为三维矢量；CI为刚体相对于原点通过质心C并与刚体固结的刚体坐标系的惯性张量。上式即为欧拉方程。

在三维空间运动的任一刚体，其惯性张量CI可用质量惯性矩IXX、IYY、IZZ和惯性积IXY、IYZ、IZX为元素的3×3阶矩阵或4×4阶齐次坐标矩阵来表示。通常将描述惯性张量的参考坐标系固定在刚体上，以方便刚体运动的分析。这种坐标系称为刚体坐标系(简称体坐标系)。2.3.2拉格朗日方程主要应用拉格朗日方程建立起机器人的动力学方程。可直接表示为系统控制输入的函数，若采用齐次坐标，递推的拉格朗日方程也可建立比较方便而有效的动力学方程。对于任何机械系统，拉格朗日函数L定义为系统总动能Ek与总势能Ep之差，即

L=Ek–Ep由拉格朗日函数L所描述的系统动力学状态的拉格朗日方程为式中：L为拉格朗日函数；n为连杆数目；qi为系统选定的广义坐标，单位为m或rad；为广义速度，单位为m/s或rad/s；Fi为作用在第i个坐标上的广义力或力矩，单位为N或N·m。考虑式(2.24)中不显含，上式可写成应用时应注意：

1)系统的势能Ep仅是广义坐标qi的函数，而动能Ek是qi、及时间t的函数，因此拉格朗日函数可以写成

L=L

(qi，，t)。

2)若是线位移，则是线速度，对应的广义力Fi就是力；若qi是角位移，则是角速度，对应的广义力Fi是力矩。2.3.3平面关节机器人动力学分析机器人是一个非线性的复杂动力学系统。动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间，因此，简化解的过程，最大限度地减少工业机器人动力学在线计算的时间是一个受到关注的研究课题。机器人动力学问题有两类：

1)给出已知的轨迹点上的、及，即机器人关节位置、速度和加速度，求相应的关节力矩向量τ。

2)给出关节力矩向量τ，求机器人所产生的运动、及。，机器人动力学方程的推导过程机器人是结构复杂的连杆系统，一般采用齐次变换的方法，用拉格朗日方程建立其系统动力学方程，对其位姿和运动状态进行描述。机器人动力学方程的具体推导过程如下：

1)

选取坐标系，选定完全而且独立的广义关节变量qi，i=1,2,…,n。

2)

选定相应关节上的广义力Fi。当qi是位移变量时，Fi为力；当qi是角度变量时，Fi为力矩。

3)求出机器人各构件的动能和势能，构造拉格朗日函数。

4)

代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程。，[例]图示的二自由度机器人，机器人动力学方程的推导过程。

1）选定广义关节变量及广义力选取笛卡儿坐标系。连杆1和连杆2的关节变量分别是转角θ1和θ2，关节1和关节2相应的力矩是τ1和τ2。连杆1和连杆2的质量分别是m1和m2，杆长分别为l1和l2，质心分别在k1和k2处，离关节中心的距离分别为p1和p2。杆1质心k1的位置坐标为杆1质心k1速度的平方为杆2质心k2的位置坐标为杆2质心k2速度的平方为2）系统动能i=1，23）系统势能i=1，2

Ep1=m1gp1(1–

c1)

Ep2=m2gl1(1–

c1)+m2gp2(1–

c12)4）拉格朗日函数5）系统动力学方程根据拉格朗日方程式计算各关节上的力矩，得到系统动力学方程。①计算关节1上的力矩τ1

②

计算关节2上的力矩τ2

τ1

、

τ2分别表示了关节驱动力矩与关节位移、速度、加速度之间的关系，即力和运动之间的关系称为机器人的动力学方程。说明：从上面推导可以看出，很简单的二自由度平面关节型机器人的动力学方程已经很复杂，包含了很多因素，这些因素都在影响机器人的动力学特性。对于比较复杂的多自由度机器人，其动力学方程更庞杂，推导过程更为复杂，不利于机器人的实时控制。

故进行动力学分析时，通常进行下列简化：

1)当杆件长度不太长，重量很轻时，重力矩项可以省略。

2)当关节速度不太大，机器人不是高速机器人时，含有、及的项可以省略。

3)当关节加速度不太大，即关节电动机的升、降速比较平稳时，含有、的项有时可以省略。。

关节空间和操作空间动力学

1）关节空间和操作空间

n个自由度操作臂的末端位姿X由n个关节变量所决定，这n个关节变量也叫做关节矢量q，所有关节矢量q构成了关节空间。末端执行器的作业是在直角坐标空间中进行的，即操作臂末端位姿X是在直角坐标空间中描述的，因此把这个空间叫做操作空间。运动学方程X=X(q)就是关节空间向操作空间的映射；而运动学逆解则是由映射求其在关节空间中的原象。在关节空间和操作空间动力学方程有不同的表示形式，并且两者之间存在着一定的对应关系。

；；关节空间和操作空间动力学2）关节空间的动力学方程将例子中运动方程写成矩阵形式

式中：

上式就是操作臂在关节空间的动力学方程的一般结构形式。对于n个关节的操作臂，D(q)是n×n的正定对称矩阵，是q的函数，称为操作臂的惯性矩阵；是n×1的离心力和科氏力矢量；G(q)是n×1的重力矢量，与操作臂的形位q有关。

3）操作空间动力学方程与关节空间动力学方程相对应，在操作空间中可以用直角坐标变量即末端操作器位姿的矢量X表示机器人动力学方程。因此，操作力F与末端加速度之间的关系可表示为

式中：、、分别为操作空间惯性矩阵、离心力和科氏力矢量、重力矢量，它们都是在操作空间中表示的；F是广义操作力矢量。

、关节空间动力学方程和操作空间动力学方程之间的对应关系可以通过广义操作力F与广义关节力τ之间的关系和操作空间与关节空间之间的速度、加速度的关系式求出。、2.4机械手动态特性

动态特性指：工作精度、重复能力、稳定性、空间分辨率1）稳定性稳定性指系统、装置或工具运动过程中，无振荡问题。对机械系统主要有系统的自激振动；对电子系统，主要指其自激振荡；对机器人系统，除上述两者外，还有其机电耦合振荡。如机械手的抖动。2）空间分辨率空间分辨率是描述机器人工具末端运动所达到的最小运动增量。3）精度用下列三个因素的集合来描述精度1）各控制部件的分辨率；2）各机械部件的偏差；3）最近