第三节正弦交流电

第三节正弦交流电一、交流电的基本概念及参数交流电是指电路中的电动势、电压及电流的大小和方向都随时间变化。若大小和方向随时间按一定规律作周期性变化，这样的交流电叫周期性交流电。周期性交流电中应用最广泛的是按正弦规律变化的交流电。2/2/20231、正弦交流电的数值（1）瞬时值

正弦交流电在变化过程中，任意确定时刻t的数值，称为正弦交流电的瞬时值，如图所示，t1时刻的e1值即为瞬时值。瞬时值用小写符号e、u、i表示。2/2/2023π2πe0t1e1EmT正弦交流电的瞬时值数学表达式：（1-32）2/2/2023（2）最大值

正弦交流电的最大值又称振幅值，也可称为峰值。是指在交流电变化过程中，正弦交流电出现的最大的瞬时值，用符号Em、Im、Um表示。2/2/2023π2πe0t1e1EmT正弦交流电的波形图2/2/2023（3）有效值在工程应用时，正弦交流电的大小用有效值表示。正弦交流电的有效值是根据正弦交流电流与直流电流的热效应相等来定义的。就是说，一个交流电流和一个直流电流，分别通过同一电阻，如果经过相同时间产生同样的热量，则这个直流电流的大小等效为这个交流电的有效值。有效值用大写符号E、U、I表示。2/2/2023正弦交流电的有效值与最大值的数量关系（1-33）（1-34）（1-35）2/2/2023电气设备的名牌上所注明的额定电压、额定电流，以及各种交流电器仪表（如交流电流表、交流电压表等）的测量值都是有效值。220V的交流电压就是有效值，其最大值为311V。2/2/20232、频率和角频率（1）周期

指正弦交流电每循环一次所经历的时间。就是说正弦交流电从0值到最大值，再到0值，接着变化到负的最大值，然后回到0值。此过程所经历的时间称为周期，用符号T表示。单位为秒（s）。2/2/2023（2）频率是指正弦交流电在单位时间（s）内完成循环的次数，用符号f表示，单位为赫兹（Hz）。我国工业用电的标准频率是50Hz，英国、美国、日本等国家为60Hz，故一般把50Hz或60Hz称为工频。周期与频率的关系：（1-36）2/2/2023（3）角频率表示正弦交流电的交流电压和电流变化快慢的物理量。角频率是指单位时间内正弦量循环变化的弧度数（这里是指电弧度），用符号ω表示，单位是弧度/秒（rad/s）。角频率与频率及周期的关系式：2/2/2023（1-37）由上式可知，工频（50Hz）的角频率ω=314（rad/s）；T=1/50=0.02（s）。2/2/20233、正弦交流量的相位、初相位与相位差正弦交流电是随时间变化的量，它的初始值、变化进程以及多个频率正弦量之间的相互关系，用初相位、相位与相位差来表示。（1）相位与瞬时值正弦交流电的表达式为：（1-38）2/2/2023式中，在不同的时刻t，具有不同的值，对应不同的正弦交流电的瞬时值。称为正弦交流电的相位角，简称相位。它的大小表示交流电变化的进程。（1-38）2/2/2023（2）初相位与初值

t=0时的相位角为正弦量的初相位角，称为初相位，用符号表示，单位是弧度或度。在式中，角就是正弦交流电势t=0时的初相角,下图中电流i1的初相位,

i2的初相角2/2/2023+600-7500ii1i2零点在纵轴的左侧时是正值在右侧时是负。2/2/2023初相位的大小决定了正弦量初值的大小，是反映正弦量的初值的重要参数。正弦交流量的最大值（振幅）、角频率和初相角称为正弦量的三要素。所以，只要掌握正弦交流电的最大值（振幅）、角频率和初相位，就可以确切地表达出正弦交流电的特征。2/2/2023（3）相位差、相位超前与滞后在交流电路中，用相位差来表示同频率正弦量的相位关系，以区别两者之间在时间上的先后顺序。若两个同频率的正弦量（1-39）（1-40）则它们之间的相位之差称为相位差，用符号φ表示。即2/2/2023（1-41）上式说明，两个同频率正弦交流量的相位差等于其初相位之差，相位差与初相位有关，与计时点和角频率无关。若φ＞0，表示相对计时起点t=0而言，u先到达零值（或最大值），i后到达零值（或最大值）；两者的相互顺序是u超前i一个φ角，或者i滞后u一个φ角。2/2/2023+600-7500ii1i2在下图中i1超前i2，。2/2/20230ii1i2i1与i2同相若两个同频率的正弦交流量初相位相等，即,叫做同相；初相角相互有1800（π弧度）的相位差，即叫做互为反相。2/2/20230ii1i2i1与i2反相2/2/20234、正弦量的相量表示法通过上述讨论可知，正弦量可以用瞬时值表达式和波形图表示但是用这两种方法对正弦电路分析和计算就十分复杂，一般采用相量分析法。在线性交流电路中，若电源的频率一定，则电路中的电压、电流均是以同一频率变化的正弦量，故分析和计算交流电路时，只需要确定幅值和初相位这两个要素就可以了。2/2/2023根据数学可知，复数是由复数的大小（又称复数的模）和复数的幅角两个量来决定的。如果让复数的大小表示正弦量的幅值（或有效值），复数的幅角表示正弦量的初相角，那么利用这个复数的形式就可以表示正弦量的两个要素了。2/2/2023已知正弦电压，则它所对应的复数式就写成。反之如果已知正弦量的复数式，很容易写出它所对应的正弦量的三角函数式。即φuU=U.φuU=U.2/2/2023为了与一般的复数区别，把表示正弦量的复数称为相量，并用正弦量的有效值（或最大值）符号上加点“·”，如U、I、E。相量只是用来表示正弦量而不等于正弦量。···2/2/2023仿照复数在复数坐标平面上的图形表示方法，可以根据正弦量有效值大小和初相位角，画出相量图形，如右图所示。U·0Um·+1+j

相量图2/2/2023正弦量相量图对应2/2/2023

在分析计算正弦交流电路时，可以将几个同频率正弦量的相量画在同一坐标上，所得图形，称为这个电路的相量图，如右图所示（此图省略了坐标线）。

相量图

由于相量表示法的基础是复数，所以进行相量运算时，应依据复数运算规则。2/2/2023二、单相交流电路用导线把负载（电动机、电热器等）与交流电源连接起来，所组成的电路叫做交流电路。交流电路的负载一般用电阻R、电感L、电容C这三个参数表示。其中：2/2/2023

表示电路中消耗电能的参数。电路中的热损耗，通常归结于电阻。由于交流电存在着集肤效应等影响，在交流电路中的电阻一般比在直流电路中要大，并且频率越高越显著。电阻R：2/2/2023表示电路中具有存储磁场能量特征负载的参数。电感在交流电流的作用下，会因电磁现象而产生感应电动势。因此，对通过电感的电流起到推迟其变化的阻碍作用。电感L：2/2/2023表示电路中具有存储电场能量特征负载的参数。由于交流电压的变化，电容要随着外加电压的变化而反复充电、放电。因此，对通过电容两端电压起到推迟其变化的阻碍作用。电容C：任何两个金属导体，中间隔以绝缘材料，就形成电容器，简称电容。2/2/2023在任何一个交流电路中，R、L、C这三个参数都同时存在，但是在实际电路中，往往可以根据它们效应的强弱，略去其中某一个参数或两个参数。同时，为了计算方便，假定导线上的R、L、C都可忽略不计，把电路中的参数都看成集中参数来分析。2/2/2023

纯电阻电路是略去电感L、电容C的作用而只有电阻负载的交流电路。如电炉的供电线路就可以看作是纯电阻电路。1、纯电阻电路纯电阻电路图+uRi2/2/2023（1）电压和电流纯电阻电路中，电压和电流是同相位的，而且均按正弦规律变化。它们的波形图和相量图如下图：ui0u

i波形图2/2/2023I

U..相量图电流与电压的关系为（1-42）2/2/2023

由上式可知，在电阻电路内，电流的有效值等于电压的有效值除以电阻。（2）有功功率

功率等于电压与电流的乘积。在交流电路中由于电压和电流都是交变量，功率为时间t的函数，称为瞬时功率，用“p”表示。瞬时功率在一个周期内平均值称为平均功率或有功功率，用“P”表示。2/2/2023纯电阻电路的有功功率等于该电路的电压有效值与电流有效值的乘积，单位是W或Kw.

P=UI（1-43）

2/2/2023例题[1-11]

有一电压u=20sinωt（V）、负载电阻R=4Ω的纯电阻电路。求电路电流的瞬时值、有效值及其有功功率。解：瞬时电流电压有效值电流有效值有功功率2/2/2023例题[1-12]试求：（1）220V/200W灯泡的灯丝电阻是多少？（2）220V/100W灯泡的灯丝电阻又是多少？解：因为所以（1）220V/200W灯丝电阻2/2/2023（2）220V/100W灯丝电阻

计算结果说明，在同样的电压下，负载电阻值的大小与其功率成反比。2/2/20232、纯电感电路电机、变压器等电器设备，就是由许多绕组所组成的，具有一定电感。如果绕组的电阻很小，可以忽略不计时，则由此类电器组成的电路，就可看成是一纯电感电路。纯电感电路实际上是不存在的。我们研究这种电路，主要是了解电感在电路中的作用，为以后研究复杂电路打下理论基础。2/2/2023+u纯电感电路图iL波形图uiπ2πu

i02/2/2023

1、频率相同。2、相位相差900,即u领先i900。电压与电流的关系：相量图0.U.I2/2/2023（1）电压有效值和电流有效值电感电路的电压有效值与电流有效值的比值为式中ωL表示电感对交流电电抗作用。简称感抗，以“XL”表示，单位为Ω。即（1-45）（1-44）2/2/2023一个电感线圈的感抗，只在一定频率下才是常量，频率越高则感抗越大，这是因为电流的频率越高，即变动越快，则感应电势就越大的缘故。对于恒定的直流来说，频率为零，感抗亦为零，故恒定直流电路中不考虑电感这个参数。电感有短路直流的作用。2/2/2023（2）功率在纯电感电路中，只有电感与电源间的能量交换，而没有能量消耗，这种电感与电源间的能量交换规律，用无功功率Q表示。无功功率的单位称乏（Var），其值等于电压与电流有效值的乘积。（1-46）2/2/2023无功功率在生产中占有重要的地位。因为很多电气设备，如电磁振动器、工频炉等，都是根据电磁原理工作的。它们都是感性负载，并靠磁场传送和转换能量。没有磁场这些设备就不能工作。可见“无功”不能理解为“无用”，无功功率是具有电感线圈的电气设备（感性负载）正常工作的必要条件。2/2/20233、纯电容电路将电容器接在交流电源上，就组成一电容性电路。如果电路中的电阻很小可以忽略不计时，这个电路叫做纯电容电路，如图所示。i+uC纯电容电路图将电容器接在交流电路中，由于交流电压的周期变化，使电容器出现周期性的充放电。因此，在连接导线上有交变电流出现。2/2/2023波形图iuπ2πu

i02/2/2023在纯电容正弦交流电路中，电压、电流的关系：1、频率相同。2、相位相差900，即i超前u900。电压达到0点时，电流达到最大值。相量图0.U.I2/2/2023（1）电压和电流有效值的关系纯电容电路电压与电流有效值的比是：（1-47）式中，，表示电容对交流电的电抗作用，简称容抗，以“XC”表示，单位为Ω。即2/2/2023一个电容器的容抗，只在一定频率下才是常量，频率越高则容抗越小，这是因为充、放电进行得越快，在同样电压下单位时间内移动的电荷也越多，以致电流越大的缘故。频率等于零，容抗无穷大，故电容有隔离直流的作用，在直流电路中相当于开路。2/2/2023（2）功率纯电容与纯电感一样，仅与电源进行能量交换，而没有能量消耗。电容充电，是它吸收电能并将其转换成电场能储存起来；电容放电，是将其储存的电能返还给电源。因此，电容元件本身并不消耗能量，仅与电源交换能量。2/2/2023用无功功率Q表示能量交换的规模。其表达式为电压和电流有效值的乘积：（1-48）下面的表为纯电阻、纯电感和纯电容交流电路的主要特性比较。2/2/2023电路参数RLC电路图（正方向）iuiuiu电流（设电压为）三角函数式相位差φ=900φ=0（电压与电流同相）（电流滞后电压900）φ=-900（电流超前电压900）波形图0电阻RRf感抗XL=ωL=2πfL0XLf0Xcf容抗XC=1/ωC=1/2πfC纯电阻、纯电感、纯电容交流电路主要特性电压与电流的有效值关系U=RIU=ωLI=XLI=XCI有功功率P无功功率Q阻抗及其频率特性0电阻RuRiωtuRi

ωt0感抗XL=ωL=2πfL0uRiωt容抗XL=1/ωC=1/2πfC2/2/20234、电阻、电感和电容串联的电路交流输电线可以看作是一个电阻和电感串联的交流电路。当电流通过输电线时，在电阻和电感上都有电压损失。如果输电线比较长，输送功率又比较大，输电线电阻和电感以及输送的电流都比较大，可能使输电线上的电压损失超过允许的限度，使得负荷端的电压过低。为了解决这个问题，可以在电路中串联电容器，叫做串联补偿。这种电路就是电阻、电感、电容串联的电路。2/2/2023

电阻、电感和电容串联电路如图所示。当通过电路的电流i=Imsinωt时，根据以上对纯电阻电路、纯电感电路及纯电容电路的分析，可知电阻两端产生的电压降与电流同相，有效值为：UR=IR

在电感两端产生的电压降，超前于电流900，有效值为：UL=I·XL在电容两端产生的电压降，滞后于电流900，有效值为：UC=I·XC2/2/2023CLRi+uURULUCR、L、C串联电路

根据相量关系，电阻压降与电流同相；电感压降超前于电流900；电容压降滞后于电流900；画出R、L、C串联电路的相量图，所以，总电压的相量等于各部分电压降的相量和。2/2/2023XL=XCUL.UC.I.0U=UR..2/2/2023XL＞XCUL.UC.I.0UC.U.UR.UX.=UL.UC.2/2/2023U.XL＜XCUL.UC.I.0UL.UX.=UC.UL.UR.2/2/2023因为UL与UC相位相差1800，所以总电压的有效值为：式中2/2/2023“Z”的绝对值叫做电路的总电抗，单位为Ω。它由电阻“R”和电抗“X”两部分组成。三者之间的关系可以通过阻抗三角形来记忆。如图所示。其中电抗部分的大小由XL与XC之差来决定。即

2/2/2023电路中电流和总电压的相位差角为阻抗三角形由上式可知，R、L、C串联电路总电压U与电流i之间的相位差与电路参数有关，在R、L、C电路中：2/2/2023当XL＞XC时：，电压超前电流，电路呈现电感电路性质；，电压滞后电流，电路呈现电容电路性质；当XL＜XC时：

,电路的电抗部分等于零,故此时阻抗最小（Z=R），电流最大，电流与电压同相位，电路呈纯电阻电路性质。当XL=XC时：2/2/2023R、L、C串联电路计算功率的一般表达式为：有功功率：

上式说明，有功功率的大小与有关，故称为功率因数。并将电流与总电压之间的相位差称为功率角。电压三角形2/2/2023无功功率：在正弦交流电路中，电压有效值与电流有效值的乘积称为视在功率，用符号S表示。视在功率：视在功率单位时伏安（VA）或千伏安（kVA）。其计算公式为：2/2/2023

视在功率是表示电气设备额定容量的参数。一般的交流电气设备都是根据额定电压和额定电流来设计的，所以其视在功率有一确定的值，又叫设备的容量。例如变压器的容量是用额定电压和额定电流的乘积来表示的。

视在功率S是总电压U和电流I的有效值的乘积，也就是电源的总功率它表示交流电源容量的大小。2/2/2023

电路的功率因素可以由电路参数及有功功率与视在功率求得，计算公式为：功率三角形2/2/2023上式表明功率因数是一个负荷（如异步电动机）所需要的有功功率和视在功率的比值。如，电灯、电炉的功率因数，说明它们只消耗有功功率。异步电动机的功率因数比较低，一般在0.7～0.85左右，说明它们需要一定数量的无功功率。功率因数大就表明电路中用电设备的有功功率大，也就是说发电机输出功率的利用率高。2/2/2023因此，对发电厂来说，就必须在输出有功功率的同时也输出无功功率。在输出功率中，有功功率和无功功率个占多少，不是决定于发电机，而是取决于负荷的需要，即取决于负荷的功率因数。如果负荷功率因数过低，就表示在输出功率中，无功功率的比例很大，这对于电力系统的运行是很不利的。2/2/2023例题[1-13]在RC串联电路中，交流电压的有效值为50V，已知电阻R=20Ω，容抗XC=15Ω，求电路中电流和各元件的电压。解：电路总阻抗2/2/2023总电流电阻上的电压电容上的电压2/2/2023例题[1-14]已知电容、电感组成串联电路，电感中的电阻为R=250Ω,L=1.2H，C=10μF,