第十三章 函数列与函数项级数

级

数

与

多

元

微

积

分

SeriesandCalculousinSeveralVariables授课教师：胡鹏彦授课对象：05本科第十三章函数列与函数项级数§1一致收敛性§2一致收敛函数列与函数项级数的性质§1一致收敛性一函数列及其一致收敛性二函数项级数及其一致收敛性三函数项级数的一致收敛判别法§1一致收敛性定义设(1)函数列(1)也简记作:是一列定义在同一数集E上的函数,称为定义在E上的函数列.一函数列及其一致收敛性fn或fn,

n1,2,.设x0E,若数列(2)收敛,则称函数列(1)在点x0收敛,x0称为函数列(1)的收敛点.§1一致收敛性若数列(2)发散,则称函数列(1)在点x0发散.在数集D上收敛.若函数列(1)在数集DE上每一点都收敛,则称(1)§1一致收敛性对D上每一点x,都有数列

fn(x)的一个极限值与之或对应,由这个对应法则所确定的D上的函数,称为函数列(1)的极限函数.若把此极限函数记作f,则有使函数列

fn收敛的全体收敛点集合称为函数列

fn的收敛域.§1一致收敛性函数列极限的N定义:对每一固定的xD,任给正数,恒存在正数N,使得当nN时,总有注:N的选取依赖于和x.例1设fn(x)xn,n1,2,为定义在,上的函数列,证明它的收敛域是1,1,且有极限函数§1一致收敛性(3)要证明数列

fn(x)的收敛域为D,需要证明D中每一点都是收敛点,而在D外的点处都发散.例2定义在,上的函数列的收敛域为无限区间,,极限函数f(x)0.§1一致收敛性定义设函数列fn与函数f定义在同一数集D上,若对任何正数,总存在某正整数N,使得当nN时,对一切xD,都有则称函数列fn在D上一致收敛于f,记作§1一致收敛性函数列收敛与一致收敛之间的关系:一致收敛必收敛,反之不一定成立.注:N的选取仅依赖于,而与x无关.定理13.1(函数列一致收敛的柯西准则)§1一致收敛性函数列fn在数集D上一致收敛的充要条件是:对任给正数,总存在某正整数N,使得当n,mN时,对一切xD,都有(4)定理13.2函数列fn在区间D上一致收敛于f的充要条件是:(6)例3讨论函数列在0,1上的一致收敛性.§1一致收敛性(8)设un(x)是定义在数集E上的一个函数列,表达式称为定义在E上的函数项级数,简记为或un(x).(10)为函数项级数(9)的部分和函数列.(9)§1一致收敛性二函数项级数及其一致收敛性称设x0E,若数项级数收敛,则称级数(9)在x0收敛,x0称为级数(9)的收敛点.若级数(11)发散,则称级数(9)在点x0发散.(11)§1一致收敛性若级数(9)在E的某子集D上每点都收敛,则称级数(9)在D上收敛.若D为级数(9)全体收敛点的集合,

则称D为级数(9)的收敛域.称或为级数(9)的和函数.§1一致收敛性函数项级数与其对应的部分和函数列具有相同的收敛性.例4定义在(,)上的函数项级数(几何级数)的部分和函数为当|x|1时,§1一致收敛性(12)当|x|1时,几何级数(12)是发散的.定义2设Sn(x)是函数项级数un(x)的部分和函数列.若Sn(x)在数集D上一致收敛于函数S(x),则称函数项级数un(x)在D上一致收敛于函数S(x),或称un(x)在D上一致收敛.§1一致收敛性函数项级数

un(x)在数集

D上一致收敛的充要条件为:对任给正数,总整数

p,都有定理13.3(一致收敛的柯西准则)或§1一致收敛性存在某正整数

N,使得当nN时,对一切

xD和一切正推论§1一致收敛性函数项级数un(x)在数集D上一致收敛的必要条件是函数列un(x)在D上一致收敛于0.定理13.4§1一致收敛性函数项级数un(x)在数集D上一致收敛于S(x)的充要条件是设函数项级数un(x)在D上的和函数为S(x),称为函数项级数un(x)的余项.定理13.5(魏尔斯特拉斯(Weierstrass)判别法)§1一致收敛性三函数项级数的一致收敛性判别法设函级数,若对一切xD有(13)则函数项级数

un(x)在D上一致收敛.定理13.5也称为M判别法或优级数判别法.优级数(majorantseries)数项级数

un(x)定义在数集D上,

Mn为收敛的正项定理13.6(阿贝尔(Abel)判别法)设(i)un(x)在区间I上一致收敛;(ii)对于每一个xI,vn(x)是单调的;(iii)vn(x)在I上一致有界,即对一切xI和正整数n,存在正数

M,使得则函数项级数un(x)vn(x)在I上一致收敛.§1一致收敛性接下来讨论形如函数项级数一致收敛判别法.定理13.7(狄利克雷(Dirichlet)判别法)设(i)un(x)的部分和函数列(ii)对于每一个xI,vn(x)是单调的;在I上一致有界;则函数项级数un(x)vn(x)在I上一致收敛.§1一致收敛性(iii)在I上例6讨论函数项级数在[0,1]上的一致收敛性.例7在

,

上一致收敛.若数列an单调且收敛于0,则函数项级数§1一致收敛性§2一致收敛函数列与函数项级数的性质本节讨论由函数列与函数项级数所确定的函数的连续性,可积性与可微性.要求较好地掌握这些结果,对这些结果的证明有初步的了解,对熟练地应用这些结果解决与之有关的问题,例如:极限函数与和函数的积分与微分的运算等.§2一致收敛函数列与函数项级数的性质定理13.8于f

(x),且对每个

n,,则和均存在且相等.设函数列{fn}在a,x0x0,b上一致收敛(2)§2一致收敛函数列与函数项级数的性质定理13.9(连续性)且每一项都连续,则其极限函数f在I上也连续.数不连续,则此函数列在区间I上不一致收敛.若函数列

fn在区间I上一致收敛,注:若各项为连续函数的函数列在区间I上其极限函§2一致收敛函数列与函数项级数的性质定理13.10(可积性)且每一项都连续,则其极限函数f在[a,b]上可积,且若函数列

fn在[a,b]上一致收敛,(3)§2一致收敛函数列与函数项级数的性质例1讨论由函数构成的函数项级数在[0,1]上的一致收敛性以及其极限函数的积分.定理13.11(可微性)若x0[a,b]为

fn的收敛点,

fn的每一项在[a,b]上有连续的导数,且

fn'在[a,b]上一致收敛,则§2一致收敛函数列与函数项级数的性质若

fn为定义在[a,b]上的函数列,(4)§2一致收敛函数列与函数项级数的性质例2函数列与在[0,1]上都收敛与0,由于所以导函数列{

f

'n(x)}在[0,1]上不一致收敛,但有§2一致收敛函数列与函数项级数的性质注:由定理13.8,9,10,11可知,在一致收敛条件下,对变量x的极限,积分以及求导运算可以与对n的极限交换顺序,但都是充分而非必要条件.定理13.12(连续性)在[a,b]上也连续.上一致收敛,且每一项un(x)都连续,则其和函数§2一致收敛函数列与函数项级数的性质若函数项级数un(x)在区间[a,b](6)定理13.13(逐项求积)§2一致收敛函数列与函数项级数的性质若函数项级数un(x)在区间[a,b]上一致收敛,且每一项un(x)都连续,则其和函数在[a,b]上可积,且(7)定理13.14(逐项求导)每一项都有连续的导函数,x0[a,b]为un(x)的收敛点,定理13.12,13,14说明,在一致收敛条件下,极限,积分以及求导运算可以和求和交换顺序.§2一致收敛函数列与函数项级