第六章弯曲应力

上一讲回顾（11）刚性接头：受力时不变形的接头。既传力，又传力偶。刚架：用刚性接头连接的弹性杆系结构刚架的内力及其符号：轴力、扭矩和剪力的符号具有坐标不变性。弯矩图的符号坐标相关。弯矩图位置具有坐标不变性。刚架内力图的画法：将刚架拆为分段的梁（杆），分别绘图后再组合。曲杆内力图的画法：

一般由内力方程绘图。1Page§6-2弯曲正应力第六章弯曲应力§6-1

引言§6-3弯曲切应力§6-4梁的强度条件§6-5梁的合理强度设计§6-6弯拉(压)组合与截面核心2Page梁的弯曲正应力梁的弯曲切应力梁的强度分析与设计弯拉(压)组合问题本章主要研究：3PageFBCA伽利略：关于力学和局部运动的两门新科学的对话和数学证明，1638.一、历史回顾§6-1引言4Page建立了“实验观测——假设——分析与推导”的现代科学研究方法无中性轴概念——受当时实验观测的局限静力不平衡——19世纪初才由L.Poinsot以静力学公理明确阐明刚体上力系的简化与平衡伽利略开创性研究的评述2.局限性1.开创性FBCA5Page错误原因：下图公式中S应由代替。已意识到中性轴的概念，离正确结论仅一步之差。错误结论：中性轴位置无关紧要。马略特（1680）的研究F设，以B点为矩心中图：

下图：

D为矩心，FBFD6Page

相关梁应力研究历史：1620，荷兰I.Beeckman：梁一侧纤维伸长，一侧缩短1678，Hooke:梁凸面纤维伸长，凹面缩短1702，P.Varignon:纤维拉力沿截面曲线变化（同样忽略压缩变形）1654-1705，Bernoull:中性轴位置无关紧要1713，Parent.A:指出应静力平衡，学说长期埋没

……1813，Navier:中性轴位置无关紧要1826，Navier:正确应用静力平衡方程，中性轴过形心7Page三、梁横截面上的弯曲应力弯曲正应力弯曲切应力四、对称弯曲对称截面梁具有对称截面，且在纵向对称面承受横向外力（或外力的合力）时的受力与变形形式。二、组合变形杆件的一般变形通常可分解为拉压、扭转与弯曲变形的两种或三种基本变形的组合。8Page五、纯弯曲与横力弯曲六、对称纯弯曲

梁或梁段各横截面剪力为零、弯矩为常数的受力状态称为纯弯曲；既有剪力又有弯矩则称为横力弯曲。七、问题静不定性质连续体的静不定问题八、分析方法从简单到复杂，即从对称纯弯曲、到一般横力弯曲、再到组合变形进行研究。连续体的静不定问题，综合几何、物理和静力学三方面进行研究9Page一、实验观测与假设（动画）纵向线：成圆弧线,上方纵向线缩短，下方伸长横向线：保持直线，与横线正交顶与底部纵、横线变形比：符合单向受力泊松效应单向受力假设平面假设：变形后横截面保持平面，仍与纵线正交2.内部变形假设§6-2弯曲正应力1.外部变形观测10Page3.重要推论纵向纤维缩短纵向纤维伸长

梁内存在一长度不变的过渡层－中性层

中性轴⊥截面纵向对称轴

变形过程中横各截面绕中性轴相对转动11Page1.几何方面考察线段ab的变形：变形前：变形后：二、弯曲正应力一般公式yz中性轴dqra’b’dx中性层aby12Page2.物理方面由胡克定律和单向受力假设：y

—坐标原点位于中性轴，r

—中性层的曲率半径中性轴位置？r的大小?3.静力学方面MsdA定义中性轴过形心确定r13Page三、最大弯曲正应力定义（抗弯截面系数）正应力沿截面如何分布？14Page截面典型截面的惯性矩与抗弯截面系数15Page例

2-1

已知：钢带厚d=2mm,宽b=6mm,D=1400mm,E=200GPa。计算：带内的smax与M解：1.

问题分析应力～变形关系：内力～变形或内力～应力关系：已知r=(D+d)/2,E,截面尺寸，可应用下述关系求应力与内力或16Page2.应力计算3.弯矩计算或17Page梁的弯曲正应力小结中性轴过截面形心

中性轴位置：

正应力公式：中性层曲率：，对称弯曲

,纯弯与非纯弯

应用条件：18Page附录A截面几何性质截面的几何性质与构件的力学性能有何关联？如何描述截面的几何性质？截面的几何性质：与截面形状与尺寸有关的量19Page拉压：扭转：弯曲：A,IP,WP,Iz,Wz——表征截面几何性质的量我们已经学习了哪些截面的几何性质？20PageA-1静矩与形心一、静矩zyoyzdA积分分别称为对坐标轴x和y的静矩或一次矩。静矩的量纲：21Page二.形心回顾理论力学的质心计算公式：zyoyzdA●Czcyc均质等厚薄板质心位于中面形心静矩：或如果截面对某轴的静矩为零，则该轴为形心轴。

形心轴：通过截面形心的坐标轴。22Page三、组合截面的静矩与形心zyoA1A2A3zyoA1A2负面积法23Page例：

确定下图所示截面的形心位置60105050解：将截面分为两部分，利用组合截面的公式：yzA1A2O24PageA-2极惯性矩·惯性矩·惯性积zyOyzdAr一、截面对o点的极惯性矩或二次极矩二、截面对z轴或y轴的惯性矩或二次轴矩三、一个恒等式25PagezyoyzdAr五、截面对z轴或y轴的惯性半径四、截面对z轴与y轴的惯性积六、惯性矩与惯性积的组合截面公式zyoA1A2A326PageA-3惯性矩与惯性积的平行移轴定理一、惯性矩的平行移轴定理Cy0z0－形心直角坐标系Oyz－任意直角坐标系二者平行同理:27PageCy0z0－形心直角坐标系Oyz－任意直角坐标系二者平行二、惯性积的平行移轴定理28Page例：求下图所示截面对z方向形心轴的惯性矩yz100100101020201、求全截面形心轴位置2、求对个部分自身形心轴的惯性矩A4A1A2A3z0解：方法一，如图将截面划分四块3、求对全截面形心轴惯性矩方法二：负面积法。自行完成29Page思考：下列计算是否正确？其中C是截面形心。解：不正确。

因为

Z1

不是形心轴Ca30Pagea：始边-y轴，为正A-4转轴公式与主惯性矩一、转轴公式从公式，你发现了那些规律？31Page二、主轴与主惯性矩令主形心轴主形心轴结论：在以o点为原点的所有坐标系中，一定存在一直角坐标系，截面对其坐标轴的惯性积为零。主轴:满足惯性积为零的坐标轴

主惯性矩:对主轴的惯性矩

主形心轴与主形心惯性矩32Page例:

l=1m,b=30m,t=5mm,=-0.001,=0.0005,E=200GPa,求1、梁内的绝对值最大正应力；

2、梁底部纵向总伸长量；3、高度h的大小；

4、载荷q之值。C33Page解：1、求绝对值最大正应力可由应变与弯矩的正比关系确定最大应变，再由应变求应力。先画剪力弯矩图。3l/8分析：但均未知由知正应力、正应变最大值发生在H截面。34Page3l/8（2）绝对值最大正应变（3）绝对值最大正应力35Page2、计算底部纵向总伸长（1）弯矩方程（2）底部应变由于e

与M成正比，可设分析：由需应变方程，但只知一点应变，怎么办？应变方程与弯矩方程的函数关系相同：36Page（4）底部纵向总伸长量（3）底部纵向应变方程37PageC3、计算高度h截面对形心轴的静矩为零分析：已知b,t,

未知h1,h2，需由两个条件决定。第一个条件第二个条件38PageC由截面对形心轴的静矩为零代入：b=30mm,t=5mm（舍去）解得：39Page4、计算载荷q40Page作业Ⅱ版：6-1，6-3，6-8，A-8cⅢ版：6-1，6-3，6-8，A-9c41Page上一讲回顾（12）梁变形与受力假设：平面假设，单向受力假设。正应力公式：最大正应力：静矩：惯性矩与惯性积：平行移轴定理与转轴公式42Page§6-3弯曲切应力引言：问题的提出19世纪，铁路开始发展，人们很不理解，枕木为什么沿纵向中截面开裂？梁的应力43Page

D.JJourawski(1821－1891)，俄国桥梁与铁路工程师提出破坏原因：中性层切应力最大Jourawski理论的广泛工程应用（矛盾解法的意义）梁中切应力近似理论：Todhunter与Pearson极其苛刻评语，Timoshenko评价Saint－Venant梁中切应力精确理论仅用于很少几种实际情况FFq44Page工程薄壁结构的大量使用是弯曲切应力研究的推动力45Page弯曲切应力分析假设:t

(y)

//

截面侧边，并沿截面宽度均匀分布思考:

能否假设t

(y)沿截面高度均匀分布?一、矩形截面梁(h>b)的弯曲切应力46Page由图示微体平衡：Sz(w)－面积

w

对中性轴

z

的静矩ll47Pagel截面静矩与惯性矩l最大切应力发生在中性轴lAFSmax23=t48Page

截面翘曲与非纯弯推广平截面假设不再严格成立矛盾解法切应力利用纯弯正应力公式推导纯弯正应力公式依据平截面假设切应力非均匀分布引起截面翘曲但当l

»h时，纯弯正应力公式用于横力弯曲仍然相当精确49Page弯曲切应力沿宽度分布(有限元解1）高度/宽度＝10/1～1/1（白颜色最大应力区间）50Page弯曲切应力沿宽度分布(有限元解2）高度/宽度＝1/1～1/10（白颜色最大应力区间）51Page垂直于剪力方向的弯曲切应力高度/宽度＝10/1～1/1（白颜色最大应力区间）52Page当

l>>h时，smax>>tmax横截面上各点假设：t//侧边，或t//剪力

t沿截面宽度方向均匀分布Ð

h/b值对解的影响：F

h/b越大，解越精确。(h/b>2时，足够精确)

弯曲正应力与弯曲切应力比较53Page二、对称薄壁梁的弯曲切应力(1).切应力方向与分布假定(2)、计算的大小沿截面中心线1.问题分析沿截面厚度均匀依据：切应力互等定理同样依据切应力互等定理，将横向截面上的切应力计算转化为纵向截面上的切应力计算。54Page二、对称薄壁梁的弯曲切应力2.的计算55Page利用剪流概念，可以形象地确定的方向3、剪流——截面中心线单位长度上的剪力56Page问题：定性分析下述截面在B点的切应力，画截面剪流的方向57Page剪流概念的应用：形象地确定的方向。中国最大内陆河新疆塔里木河小论文题：试由有限元等方法评价剪流比拟的精度。58Page例：画下述薄壁截面剪流，确定剪流方向问题：A处剪流的方向向上还是向下？59Page工字形截面梁的弯曲切应力翼缘60Page解：61Page§6-4梁的强度条件工字形钢梁，运动载荷，有几个可能的危险截面？几个可能的危险点？62Page1.弯曲正应力梁应力公式回顾2.矩形截面梁的弯曲切应力3.对称薄壁截面梁的弯曲切应力63Page梁的强度条件

弯曲正应力强度条件：弯曲切应力强度条件：

s,t

联合作用强度条件（详见第9章强度理论）smax：最大弯曲正应力；[s]：材料单向应力许用应力tmax：最大弯曲切应力；[t]：材料纯剪切许用应力讨论题：1.强度条件通常解决哪几类问题？强度校核、截面形状尺寸设计、确定许用载荷2.如何确定梁的危险截面与危险点？64Page例4-1简易吊车梁，F=20kN，l=6m，[s]=100MPa，[t]=60MPa，选择工字钢型号关于危险截面的讨论关于[s]与[t]两个强度条件的讨论梁的强度条件应用问题讨论(1)65Page讨论：如何确定可能危险截面画剪力弯矩图或列剪力弯矩方程分别确定剪力弯矩最大截面结论：关于正应力的危险截面是梁中截面关于切应力的危险截面是梁端截面注意：正应力与切应力危险截面不一定重合。66Page讨论：如何确定可能危险点分析思路：画截面应力分布图。可能正应力危险点：a,d；可能切应力危险点：c。可能正应力和切应力联合作用危险点：b,b’（第九章讨论）67Page解：1.内力分析(确定危险截面）2.危险截面应力分析(确定危险点）可能正应力危险点：a或d可能切应力危险点：c正应力的危险截面是梁中截面切应力的危险截面是梁端截面68Page3.设计（选择）

截面通常按正应力强度条件设计截面，由切应力强度条件校核思考：可否按t设计截面，由s校核，为什么？查教材P367,附录F型钢表：选№22a,Wz=3.09×10-4m43.校核梁的剪切强度№22a满足要求69Page

矩形截面梁的可能危险点可能危险点：a,d点，单向应力；c点，纯剪切思考：为什么工字形截面须考虑s,t都较大的b点？70Page小结：梁强度条件的选用F

细长非薄壁梁：F

短粗梁、薄壁梁与

M小

FS大的梁：M

有时需考虑s,t联合作用的强度条件梁强度问题的分析步骤：1、内力分析——确定危险截面2、应力分析——确定危险点3、根据强度条件进行强度校核等。71Page例4-2：已知校核梁的强度。有几个可能的危险截面？几个可能的危险点？梁的强度条件应用问题讨论(2)72Page讨论：危险截面是否一定是弯矩绝对值最大截面？C截面：弯矩绝对值最大。a点拉应力，b点压应力都可能达危险值。B截面：弯矩绝对值不是最大，但b点拉应力可能达危险值。画剪力弯矩图73Page解：计算截面形心与惯性矩为校核梁的强度，需计算B截面a点的拉应力与b点压应力，C截面b点拉应力74PageC截面：B截面：·强度足够75Page讨论：将截面b端换成朝上是否合理？76Page（1）矩形截面（2）圆形截面讨论：对于矩形与圆形截面，分析有何不同？梁的空间两向对称弯曲问题讨论例4-3：已知，校核图示悬臂梁的强度。77Page在H点，两外力引起的最大拉应力叠加，在H’点，两外力引起的绝对值最大的压应力叠加，故为危险点。解：对于矩形和圆形截面，危险截面均为A（1)矩形截面，危险点分析：78Page解：（2）圆形截面危险截面亦为A思考：下述解答是否正确？

判断关键：两向最大应力是否能叠加？79Page圆形截面问题分析：

力F1最大拉应力发生在截面顶端，F2最大拉应力发生在截面右侧，不能叠加，故不正确！80Page问题研究：最大应力不能叠加，怎么办？O圆的关于任意直径的对称性，弯矩可以合成最大应力发生在圆截面的右上一点81Page作业(2,3版编号相同）6-13,6-16,6-17,6-1882Page上一讲回顾（13）矩形截面梁的弯曲切应力:梁的强度条件：薄壁截面梁的弯曲切应力:剪流83Page§6-5梁的合理强度设计中国古代建筑的斗拱结构（沈阳故宫）问题1：从中国古建筑的斗拱结构，你悟出了哪些力学原理？84Page问题2：在成都132厂11K车间里，技术员和工人正面临着一个问题，如何用现有的起吊重量只有5T的吊车吊起10T的重物？经过大家的认真思考和努力，改进了装置，结果就吊起了10T的重物。请同学们想想他们是如何解决问题的。85Page问题3：汽车与火车钢板弹簧设计中的力学问题。86Page引言：梁合理强度设计的理论依据与设计思路合理强度设计基本思路增大Wz、Iz与降低M87Page让材料远离中性轴：工字梁、T形梁、槽形梁、箱形梁等一、梁的合理截面形状增大W、Iz措施：为防止切应力破坏，腹板也不能太薄88Page通过截面设计充分利用材料力学性质：如脆性材料拉压强度不相等的性质截面等强设计脆性材料梁89Page答:位置1合理。应用例：从拉压强度考虑,图示铸铁工字梁截面,跨中腹板钻一个孔,哪一个是合理位置?问题分析：因为铸铁抗压不抗拉，合理的位置是使最大拉应力减小，最大压应力可增加。90Page由Iz与Wz的区别看强度与刚度设计的不同去掉阴影部分可提高强度，不能提高刚度91Page二、变截面梁与等强度梁（与载荷分布匹配的合理截面形状）－弯曲等强条件等强度梁－各截面具有同样强度的梁－剪切等强条件92Page讨论钢板弹簧设计中的力学问题。变宽度等强梁不方便工程应用，切成条后沿高度叠放钢板弹簧受力的力学模型：93Page三、梁的合理受力（降低弯矩M）

a=?[F]最大.Q

合理安排约束94PageQ

合理安排加载方式—尽量分散载荷95Page在成都132厂11K车间里，技术员和工人正面临着一个问题，如何用现有的起吊重量只有5T的吊车吊起10T的重物？经过大家的认真思考和努力，改进了装置，结果就吊起了10T的重物。请同学们想想他们是如何解决问题的。96Page例2：中国古建筑的斗拱结构分析97Page中国古建筑的斗拱结构分析98PageQ

加配重趣味小问题：两人带了一块长度超过沟宽的板，但一人在沟中点时的弯矩稍微超过板强度，这两人能想出办法过沟吗？办法：一人作配重99Page

配重降低最大弯矩作用分析laaFPPMFl/4+MFl/4-PaPaPa+--laFaMPaPa-100Page§6-6弯拉(压)组合与截面核心下图：载荷在端截面内时，柱内是否可能拉应力破坏？右图：杆另一侧对称开一缺口，杆内最大应力是增加还是减小？101Page一、弯拉(压)组合的应力弯拉组合偏心拉压(外力平行且偏离轴线)（横向载荷＋轴向载荷）工程实例：102Page弯拉（压）组合分析危险点处－单向应力内力－FN，M103Page偏心拉压实验方案设计：已知矩形杆横截面积A=bh，材料弹性模量E，试由电测法测量轴向载荷F和偏心距d。请设计布片方案、桥路、写出与读数应变关系式。ddFF12●●●●●●ABCDR2R1R4R3设计思路讨论：1、2两点应力由拉伸与弯曲正应力构成应变仪读数应变实验方案：①上下表面1、2布片②测量F，应变片分别接AB、CD段③测量d，应变片分别接AB、BC段104PageddFF12●●●●●●ABCDR2R1R4R3e1e2etet解：1）测量轴力F布片方案与桥路如图，是温度补偿片。105Page●●●●●●ABCDR2R1R4R3e1e2解：2）测量偏心距dddFF12h106Page解：单侧开口情形双侧开口情形例：矩形杆宽h，厚b，轴向载荷F，一侧深xh缺口，求杆内最大应力随x变化，与双侧开口情况比较。(0<x<0.5)107Page双侧开口较小当时，一定条件下，双侧开同样缺口能降低最大应力单双侧开口最大应力比较108Page例：钢绳横截面积A，弹性模量E，许用应力[σ]，滑轮直径D，求许用拉力F。(1)