第八章无穷级数习题课

第八章无穷级数习题课常数项级数

一、定义及性质

2．敛散性定义

3．性质

必要性:

线性运算性质:

则级数收敛，否则级数发散。

设级数为常数

则

设，如果存在，

级数收敛

1．常数项级数

4．常数项级数类型

正项级数交错级数任意项级数常数项级数

二、判别常数项级数收敛的解题方法

若成立，则需作进一步的判别。

判别常数项级数

的敛散性，应先考察是否有

成立。若不成立，则可判定级数发散；此时可将常数项级数分为两大类，即正项级数与任意项级数。

对于正项级数，可优先考虑应用比值法或根值法。若此二方法失效，则可利用比较法（或定义）作进一步判别；

若不收敛，但级数是交错级数，可考虑应用莱布尼兹判别法，若能判别级数收敛，则原级数条件收敛；

对于一般的任意项级数，则可考虑利用利用级数收敛定义、性质等判别。

解题方法流程图如下图所示。对于任意项级数，一般应先考虑正项级数是否收敛。若收敛，则可判定原级数收敛，且为绝对收敛；

解题方法流程图

Yes判断的敛散性比值法根值法比较法

找正项收敛级数找正项发散级数用其它方法证明No

莱布尼兹判别法

YesNoNoNoYesNoYesNoYes为正项级数为任意项级数发散收敛收敛发散条件收敛绝对收敛为交错级数收敛且

三、典型例题

，由定义

所以原级数收敛，且和为1。【例1】判别级数的收敛性，并求级数的和。分析：此级数为正项级数，由于因此可利用定义求。解：由于由级数收敛的必要条件，原级数发散。【例2】判别级数的收敛性。分析：此级数为正项级数，因为分别求分子、分母的极限不为0，由级数收敛的必要条件，原级数发散。解：因为而故由比较审敛法的极限形式，原级数收敛。

【例3】判别级数的收敛性。分析：此级数为正项级数，根据的形式，可用比较审敛法，也可采用比值审敛法。解法1：此级数为正项级数，而级数为等比级数收敛，

解法2：由比值审敛法故由比值审敛法知原级数收敛。,由于

故转到应用比较判别法。由于

【例4】判别级数的收敛性。而不存在，所以不存在。

分析：此级数为正项级数，设

而级数收敛，从而级数收敛；或将拆成两个级数，分别判定级数的收敛性。同理极限也不存在，即不能应用比值和根值判别法，,由于

解法1：设而由比值法

易知级数收敛,故由级数的比较判别法知，级数收敛。解法2：因为所以，分别考虑和的敛散性。对于由比值法

知收敛，所以，绝对收敛；同理得收敛，可知原级数收敛。

收敛，故由比较审敛法，原级数收敛。【例5】判别级数的收敛性。分析：此级数为正项级数,由的形式，利用比值法和根值法均不合适，由于,可采用比较法。

解：此级数为正项级数，令注：应用比较法判断一个正项级数的敛散性，最关键问题是熟练掌握一批已知正项级数的敛散性（如几何级数，

级数等），然后根据的特点，进行有针对性的放缩。【例6】判别级数的收敛性。分析：此级数为正项级数，，由于中含有，可用比值审敛法。

解：令

所以，原级数发散。

由比值审敛法，当时，原级数收敛；

当时，原级数发散。

当时，比值审敛法失效，注意到注：在级数一般项中，若含有形如的因子时，

适于使用比值审敛法。

故由根值审敛法，原级数收敛。【例7】判断级数的敛散性.

分析：此级数为正项级数

,由于中解：此级数为正项级数，

注：在级数一般项

中,若含有次方时,适于使用根值审敛法。含有次方，可用根值审敛法。【例8】判断级数收敛？如果收敛，是条件收敛还是绝对收敛？

分析：本题中，为交错级数，可采用莱布尼兹定理判别法。解：此级数为交错级数，因为

,而发散,原级数非绝对收敛.

因为

为交错级数,由莱布尼玆定理由比较审敛法知发散所以此交错级数收敛，故原级数是条件收敛。所以在上单增，即单减，故当时，单减，令即原级数非绝对收敛。

【例9】*判别级数的敛散性。分析：本题中，为交错级数，可采用莱布尼兹定理判别法。

解：先考虑级数的敛散性。

由于当时，

而级数发散，故级数发散，

即原级数为交错级数，故应用莱布尼兹判别法判别。

从而原级数条件收敛。

注：在运用莱布尼玆定理判别时，可引入函数，利用函数的导数，判别单调性。因为,其中所以在内单调递减，得于是由莱布尼兹判别法可得级数收敛，

令证明：设级数

和的部分和分别为和则【例10】若

,级数收敛,证明级数收敛.没有具体表达式，只能将

看成任意项级数,所以，考虑级数收敛定义。分析：因为题设给出了级数收敛,但即

由于级数收敛,

所以存在,所以要根据级数收敛的定义知收敛.证明存在，只需要证明

存在即可.根据题中的条件，所以，因此第八章无穷级数习题课函数项级数一、幂级数

1．幂级数的基本概念(1)

幂级数的定义：(2)收敛半径：

(3)幂级数的和函数：

或收敛区间：

存在正数

当幂级数收敛，当幂级数发散，称为幂级数的收敛半径。

收敛域：收敛点的全体

2．幂级数和函数的性质

（1）连续性：

（2）可导性：

（3）可积性：

3．幂级数的收敛半径、收敛区间（收敛域）的求法求幂级数的收敛域，通常有三种基本类型，即型、

型和缺幂型，还有一种特殊的非幂函数型。

对于型，通过求，得半径，

然后讨论处的敛散性，从而得收敛域；对于缺幂型，可采用比值法，先求出收敛半径，再讨论处的敛散性，从而得收敛域。解题方法流程图如下。对于型，令,化为型,可得收敛域；解题方法流程图

求幂级数收敛域

判别幂级数类型收敛域收敛域

令

讨论处的敛散性，，其它讨论处的敛散性

当时收敛当时发散

用比值法令

1234．幂级数和函数的求法求幂级数的和函数，最常用的方法是首先对给定的幂级数进行恒等变形，然后采用“先求导后积分”或“先积分后求导”等技巧，并利用与形如（或等）幂级数的和函数，求出其和函数。解题方法流程图如下图所示。

求的和函数令NoYesYesNo能直接求出和函数恒等变换直接求和逐项积分逐项求导逐项求导逐项积分Yes能直接求出和函数NoYesNo能直接求出和函数解题方法流程图5．典型例题【例1】求幂级数的收敛半径及收敛域。解：

当时，级数为，该级数收敛。当时，级数为，该级数收敛。故此幂级数的收敛域为。

【例2】求幂级数的收敛域。解：令，原级数变为

所以，即时，幂级数收敛。当时，级数为，为交错级数收敛，

当时，级数为，为P-级数发散，故此幂级数的收敛域为。【例3】求幂级数的收敛域。解：缺少偶次幂的项，由比值审敛法当，即时，级数收敛。当，即时，级数发散。当时，级数为，为交错级数收敛。当时，级数为，为交错级数收敛。故此幂级数的收敛域为。

【例4】求幂级数的和函数，并求的和。

解：记

求导得

积分得

令，则

【例5】*求幂级数在收敛区间内的和函数。分析：由于幂级数，通过比较级数和

的一般项，不难发现，，而

，所以应用给定的幂级数先积分，后求导，

就可以利用进行计算。

解：令

对幂级数在区间内逐项积分，得：其中，。

再应用逐项积分的方法得：对求导得

所以

对求导得

即

注：本题利用“先导后积”的方法求和函数，数项级数求和可通过幂级数和函数求得。二、函数的泰勒级数1．泰勒级数定义：称为在点的泰勒级数。

2．麦克劳林级数定义：称为的麦克劳林级数。3．将函数展开成泰勒级数(幂级数)直接展开法：直接展开法是通过函数求在给定点的各阶导数，写出泰勒展开式。

间接展开法：间接展开法通常要先对函数进行恒等变形，然后利用已知展式（如函数，的展开式等）或利用和函数的性质（求导数或积分），将函数展开成幂级数。解题方法流程图如下图所示。

求的幂级数展开式关于的幂级数对求导对积分令将展成的幂级数求直接展开法间接展开式对进行恒等变形能利用已知展开式令令写出的展开式Yes关于的幂级数NoNo解题方法流程图4．典型例题【例6】将函数