第二章应力分析

第二章轴对称回转薄壳的应力分析主要内容●轴对称回转薄壳的概念；●轴对称回转薄壳的几何要素；●无力矩理论；有力矩理论；●微元体平衡方程；区域平衡方程；●特殊回转壳体的薄膜应力；2教学重点：无力矩理论、微元体平衡方程、区域平衡方程关键知识点：无力矩理论、微元体平衡；教学难点：微元体平衡方程、区域平衡方程

3●2.2回转薄壳应力分析●2.1载荷分析2.2.1薄壳圆筒的应力2.2.2回转薄壳的无力矩理论2.2.3无力矩理论的基本方程2.2.4无力矩理论的应用目录2.1.1载荷2.1.2载荷工况4载荷压力容器应力、应变的变化载荷压力（包括内压、外压和液体静压力）非压力载荷重力载荷风载荷地震载荷运输载荷波浪载荷管系载荷支座反力吊装力

2.1载荷分析局部载荷整体载荷2.1.1载荷5a.正常操作工况：容器正常操作时的载荷包括：设计压力、液体静压力、重力载荷(包括隔热材料、衬里、内件、物料、平台、梯子、管系及支承在容器上的其他设备重量)、风载荷和地震载荷及其他操作时容器所承受的载荷。b.特殊载荷工况特殊载荷工况包括压力试验、开停工及检修等工况。制造完工的容器在制造厂进行压力试验时，载荷一般包括试验压力、容器自身的重量。开停工及检修时的载荷主要包括风载荷、地震载荷、容器自身重量，以及内件、平台、梯子、管系及支承在容器上的其他设备重量c.意外载荷工况紧急状况下容器的快速启动或突然停车、容器内发生化学爆炸、容器周围的设备发生燃烧或爆炸等意外情况下，容器会受到爆炸载荷、热冲击等意外载荷的作用。2.1载荷分析2.1.2载荷工况62.2回转薄壳应力分析壳体：

以两个曲面为界，且曲面之间的距离远比其它方向尺寸小得多的构件。壳体中面：

与壳体两个曲面等距离的点所组成的曲面。薄壳：壳体厚度t与其中面曲率半径R的比值（t/R）max≤1/10。薄壁圆柱壳或薄壁圆筒：

外直径与内直径的比值Do/Di≤1.2。厚壁圆筒：

外直径与内直径的比值Do/Di>1.2

72.2回转薄壳应力分析2.2.1薄壳圆筒的应力2.2.2回转薄壳的无力矩理论2.2.3无力矩理论的基本方程2.2.4无力矩理论的应用82.2.1薄壳圆筒的应力基本假设：壳体材料连续、均匀、各向同性；受载后的变形是弹性小变形；壳壁各层纤维在变形后互不挤压；

DiDDoAADit薄壁圆筒在内压作用下的应力应力沿壁厚方向均匀分布。9B点受力分析

内压PB点轴向：经向应力或轴向应力σφ圆周的切线方向：周向应力或环向应力σθ壁厚方向：径向应力σr三向应力状态σθ、σφ>>σr二向应力状态因而薄壳圆筒B点受力简化成二向应力σφ和σθ2.2.1薄壳圆筒的应力10sjsjsqsqppa(a)(b)yxDi

t图2-2薄壁圆筒在压力作用下的力平衡截面法2.2.1薄壳圆筒的应力11应力求解圆周平衡：静定图2-2轴向平衡：==2.2.1薄壳圆筒的应力122.2.2回转薄壳的无力矩理论一、回转薄壳的几何要素132.2.2回转薄壳的无力矩理论一、回转薄壳的几何要素回转薄壳：中面由一条平面曲线或直线绕同平面内的轴线回转360度而成的薄壳。母线：绕轴线（回转轴）回转形成中面的平面曲线或直线。极点：中面与回转轴的交点。经线平面：通过回转轴的平面。经线：经线平面与中面的交线。平行圆：垂直于回转轴的平面与中面的交线称为平行圆。14中面法线：

过中面上的点且垂直于中面的直线，法线必与回转轴相交。第一主曲率半径R1：经线上点的曲率半径。第二主曲率半径R2：垂直于经线的平面与中面交线上点的曲率半径。等于考察点B到该点法线与回转轴交点K2之间长度（K2B）平行圆半径r：

平行圆半径。2.2.2回转薄壳的无力矩理论注：同一点的第一与第二主曲率半径都在该点的法线上。曲率半径的符号判别：曲率半径指向回转轴时，其值为正，反之为负。r与R1、R2的关系：一、回转薄壳的几何要素15二、无力矩理论与有力矩理论图2-4壳中的内力分量N2.2.2回转薄壳的无力矩理论16内力薄膜内力横向剪力弯曲内力Nφ、Nθ、Nφθ、NθφQφ、Qθ

Mφ、Mθ、Mφθ、Mθφ、无力矩理论或薄膜理论（静定）有力矩理论或弯曲理论（静不定）

无力矩理论所讨论的问题都是围绕着中面进行的。因壁很薄，沿壁厚方向的应力与其它应力相比很小，其它应力不随厚度而变，因此中面上的应力和变形可以代表薄壳的应力和变形。弯矩扭矩2.2.2回转薄壳的无力矩理论二、无力矩理论与有力矩理论17一、壳体微元及其内力分量微元体：abdc经线ab弧长：截线bd长：微元体abdc的面积：压力载荷：微元截面上内力：=（）（=）、2.2.3无力矩理论的基本方程2.2.3无力矩理论的基本方程191.经向力Nφ在法线上的投影二、微元平衡方程（图2-5）由图2-5（c）知，经向内力Nφ和Nφ+dNφ在法线上分量：将代入上式，并略去高阶微量，（a）2.2.3无力矩理论的基本方程20二、微元平衡方程（图2-5）2.周向力Nθ在法线上的投影（1）投影在平行圆方向由图2-5（d）中ac截面知，周向内力在平行圆方向的分量为（2）将上面分量投影在法线方向得（b）2.2.3无力矩理论的基本方程21二、微元平衡方程（图2-5）微体法线方向的力平衡■微元平衡方程，又称拉普拉斯方程。（2-3）2.2.3无力矩理论的基本方程22三、区域平衡方程（图2-6）图2-6部分容器静力平衡2.2.3无力矩理论的基本方程o’m’n’moo’o23三、区域平衡方程（图2-6）（续）压力在0-0′轴方向产生的合力：作用在截面m-m′上内力的轴向分量：区域平衡方程式：（2-4）通过式（2-4）可求得，代入式(2-3)可解出微元平衡方程与区域平衡方程是无力矩理论的两个基本方程。2.2.3无力矩理论的基本方程24

分析几种工程中典型回转薄壳的薄膜应力：承受气体内压的回转薄壳球形薄壳薄壁圆筒锥形壳体椭球形壳体储存液体的回转薄壳圆筒形壳体球形壳体2.2.4无力矩理论的应用25一、承受气体内压的回转薄壳回转薄壳仅受气体内压作用时，各处的压力相等，压力产生的轴向力V为：由式（2-4）得：（2-5）将式（2-5）代入式（2-3）得：（2-6）2.2.4无力矩理论的应用26A、球形壳体球形壳体上各点的第一曲率半径与第二曲率半径相等，即R1=R2=R将曲率半径代入式（2-5）和式（2-6）得：（2-7）2.2.4无力矩理论的应用27B、薄壁圆筒薄壁圆筒中各点的第一曲率半径和第二曲率半径分别为R1=∞；R2=R将R1、R2代入（2-5）和式（2-6）得：（2-8）薄壁圆筒中，周向应力是轴向应力的2倍。2.2.4无力矩理论的应用28C、锥形壳体图2-7锥形壳体的应力R1=式（2-5）、（2-6）（2-9）2.2.4无力矩理论的应用29由式（2-9）可知：①周向应力和经向应力与x呈线性关系，锥顶处应力为零，离锥顶越远应力越大，且周向应力是经向应力的两倍；②锥壳的半锥角α是确定壳体应力的一个重要参量。当α0°时，锥壳的应力圆筒的壳体应力。当α90°时，锥体变成平板，应力无限大。2.2.4无力矩理论的应用30D、椭球形壳体图2-8椭球壳体的应力2.2.4无力矩理论的应用31推导思路：椭圆曲线方程R1和R2式（2-5）（2-6）（2-10）

又称胡金伯格方程2.2.4无力矩理论的应用32图2-9椭球壳中的应力随长轴与短轴之比的变化规律2.2.4无力矩理论的应用②椭球壳应力与内压p、壁厚t有关，与长轴与短轴之比a／b有关

a＝b时，椭球壳球壳，最大应力为圆筒壳中的一半，

a／b，椭球壳中应力，如图2-9所示。33从式（2-10）可以看出：①椭球壳上各点的应力是不等的，它与各点的坐标有关。在壳体顶点处（x＝0，y＝b）R1＝R2＝，2.2.4无力矩理论的应用342.2.4无力矩理论的应用③椭球壳承受均匀内压时，在任何a／b值下，恒为正值，即拉伸应力，且由顶点处最大值向赤道逐渐递减至最小值。当时，应力将变号。从拉应力变为压应力。随周向压应力增大，大直径薄壁椭圆形封头出现局部屈曲。

措施：整体或局部增加厚度，局部采用环状加强构件。35④工程上常用标准椭圆形封头，其a/b=2。

的数值在顶点处和赤道处大小相等但符号相反，即顶点处为，赤道上为-，恒是拉应力，在顶点处达最大值为。2.2.4无力矩理论的应用●几何形状：薄壳应具有连续曲面，壳体形状如曲率和壁厚无突变。●加载方式：薄壳所受载荷应连续分布，且无任何突变，更不能有集中载荷。无力矩体素平衡方程的适用条件●边界条件：壳体边界固定形式应是自由支承的（当边界上法向位移和转角受到约束，在载荷作用下势必引起壳体弯曲）。由此可见，薄壳无力矩状态的存在必须满足壳体几何形状、材料和载荷的连续性，同时须保证壳体具有自由边界。当这些条件之一不能满足时，则不能应用无力矩理论分析壳体的受力情况。无力矩体素平衡方程的适用条件①计算壳体几何特征rφ、rθ；②取隔离体建立区域平衡方程，求σφ,p；③由微元体平衡方程求σθ。应用薄壳基本平衡方程解题步骤已知：厚度为t，半径为R的球罐，内装满密度为ρ的液体。如考虑支柱端部作为球壳的支承带，试求在支承带以上即α0角以内的球壳φ处由于液压产生的薄膜应力σφ，σθ。薄壳基本平衡方程的应用实例1α0β0φ支承带σφφαdQzdQzdQoσφRr解：①rφ＝rθ＝R②取隔离体（正切），其受力分析如下所示。则：

i.内力在oz方向的合力薄壳基本平衡方程的应用实例1ii.隔离体上φ处的外载荷σφφαdQzdQzdQoσφRriii.外力在oz方向的合力

●微元环（阴影）上的外力薄壳基本平衡方程的应用实例1●外力在oz上的分力薄壳基本平衡方程的应用实例1●外力在oz上的合力由，即得：iv.建立隔离体的区域平衡方程

薄壳基本平衡方程的应用实例1则薄壳基本平衡方程的应用实例1③由体素平衡方程得：解得：薄壳基本平衡方程的应用实例1故薄壳基本平衡方程的应用实例1已知：一有顶圆柱形罐，罐壁直径为D，罐壁高度为H0，顶是半径为R的球壳。球壳和圆柱形壳采用半径为r的环壳光滑连接。罐内装有密度为ρ的油品。液面上的油品蒸气压力为p0，液位高度为H。壁厚均为t，不计自重。试计算罐壁的σφ，σθ