第四节幂函数

一、函数项级数的概念二、幂函数第四节幂函数一、函数项级数的概念设un(x)(n=1,2,…)为定义在某实数集合X上的为定义在集合X上的函数项无穷级数,函数序列,称级数或函数级数.简称函数项如果对给定的点x0∈X,常数项级收的集合,称为级数(8.7)的收敛域(发散域).散点.函数项级数(8.7)在点x0处发散,如果常数项级数发散,则称则称函数项级数(8.7)在点x0处收敛,函数项级数(8.7)的所有收敛点(发散点)构成敛,x0为级数(8.7)的收敛点;x0为级数(8.7)的发对于收敛域中的每一个x,函数项级数(8.7)都(x属于收敛域)是定义在收敛域上的一个函数.为函数项级数(8.7)的部分和.有唯一确定的和(记为S(x))与之对应.因此数(8.7)的和函数,并称于是,当x属于函数项级数(8.7)的收敛域时,有称S(x)为函数项级当|q|<1时,几何级数收敛,且有于是,若令q=x,则函数项级数的收敛域为(－1,1),和函数为若令,则函数项级数的收敛域为若令q=sinx,则函数项级数的收敛域为为整数其和函数为(－∞,－1)∪(1,+∞),和函数为二、幂函数形如或的函数项级数,称为幂函数,x0均为常数,其中an(n=0,1,2,…)和并称an(n=0,1,2,…)为幂函数的系数.定理8.9如果幂级数(8.8)在点x0≠0处收敛,则在满足不等式|x|<|x0|的一切点x处绝对收敛;如果幂级数(8.8)点x1处发散,则满足|x|>|x1|的一切点x处发散.证设幂级数(8.8)在x0≠0处发散.因而数列{anx0n}有界,即存在正数M,使得|anx0n|≤M,n=0,1,2,…于是,对于满足|x|<|x0|的所有x,皆有的必要条件,有根据级数收敛其中由于几何级数收敛,故由定理8.3如果幂级数(8.8)在点x1处发散,则对任何满足若不然,如果存在x2,|x2|>|x1|,级数收敛,假设矛盾.定理证毕.则由上面的讨论可知,级数应收敛,与|x|>|x1|的x,幂级数(8.8)皆发散.可知,幂级数(8.8)绝对收敛.|x|<R时,幂级数(8.8)收敛;如果：|x|>R时,(8.8)发散.称R为幂级数(8.8)的收敛半径.定理8.10设幂级数(8.8)满足(1)若0<ρ<+∞,则;(2)若ρ=0,则R=+∞;(3)若ρ=+∞,则R=0.证

(1)令un(x)=anxn,则当ρ|x|<1,即时,幂级数(8.8)绝对收敛;当ρ|x|>1,即时,幂级数(8.8)发散.因此,.于是,由0<ρ<+∞和比值判别法可知,(2)ρ=0时,对任意x≠0,由式(8.10)有故幂级数(8.8)绝对收敛.因此,R=+∞.(3)ρ=+∞时,对任意x≠0,由式(8.10)有故幂级数(8.8)发散.因此,R=0.定理证毕.注意,求出幂级数(8.8)的收敛区间(－R,R)之[-R,R]为收敛域,的敛散性.还需判别x=-R和x=R时的级数和称区间[－R,R)或(－R,R]或后,而收敛区间专指开区间(-R,R).例8.12求下列幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域:解(1)由于可知收敛半径为R=3.当x=－3时,原幂级数化为,它显然绝对因此,幂级数的收敛区间为(－3,3),当x=3时,原幂级数化为,这是p=2的p级数(2)令t=x2,则原幂级数化为.由于收敛.收敛;收敛域为[－3,3].故的收敛半径为R=2,从而原幂级数的当时,原幂级数化为,显因此,幂级数的收敛区间为,收敛半径为然发散.收敛区域为.所以,幂级数的收敛半径为R=2.由于当t=2时,收敛;(3)令t=x+3,则原幂级数化为.因此幂级数的收敛区间为(－2,2),当t=－2时,发散.因此,原幂级数的收敛区间为(－5,－1),收敛区域为(－5,－1].收敛域为(－2,2].定理8.11如果幂级数(8.8)的收敛半径R>0,其和函数为S(x),则有(1)S(x)在(-R,R)内连续;若(8.8)在x=R(或x=-R)处收敛,则S(x)在x=R处左连续(或在x=-R处右连续).(2)S(x)在(－R,R)内可导,且有逐项求导公式:(3)S(x)在(－R,R)内可积,且有逐项积分公式:例8.13求幂级数的和函数S(x).解于是,由定理8.11的逐项求导公式(8.11),得将上式两端同乘以x,得例8.14求幂级数