第四章计算机控制系统分析4(可控可观性)

§4.5离散控制系统的可控性

如果在一个有限的时间里，用一个无约束的控制信号，能使系统的任一个状态，从任意的初始状态转移到任意需要的状态。那么，该系统称为状态完全可控性。系统可控性概念在控制系统的极点配置，最优控制中具有重要作用。

1、线性定常离散系统的状态完全可控性设离散控制系统的状态方程为（4.60）其中为n维向量；H为维矩阵；G为维矩阵。如果存在着无约束的控制信号，使得任意一个状态由任意的初始状态开始，在最多n个采样周期内，转移到任意需要的状态，那么由方程式（4.60）所描述的离散系统是系统状态完全可控的，或简单地称为状态可控的。

下面推导状态完全可控性的条件，因为方程式（4.60）的解为可得(4.61）因为H是维向量，这样中每一列都是维向量，如果下述矩阵的秩是n，即（4.62）那么，n个向量能跨越n维空间。方程式(4.62）的矩阵叫做可控性矩阵。假如可控性矩阵的秩是n，那么对任意状态，存在着一系列无约束控制信号，满足方程式（4.61）。因此，可控性矩阵的秩n是给出了状态完全可控的充分条件。为了证明方程式（4.62）也是状态完全可控的必要条件，我们假设于是，向量不能跨越n维空间。因此，对所有的i，某些不存在，所以方程（4.62）是状态完全可控的必要条件。如果控制信号是一个r维的向量，那么H是维的矩阵。可以证明状态完全可控的条件是矩阵的秩为n，即还可以证明，当为标量时，在n个采样周期内，使得状态由任意的初始状态转移到任意要求的状态时，所需要的无约束控制信号序列能唯一的确定。当为r维向量时，控制向量序列

不是唯一的解，存在着多组的控制序列。2、线性定常离散系统的输出完全可控性

在控制系统的设计中，对系统输出的控制要比状态的控制更为需要。对输出可控来讲，状态完全可控的条件，既不必要也不充分。为此，需要对输出可控性另作定义。考虑下述的系统（4.63）

（4.64）其中为n维向量；为标量；为m维向量；H为维矩阵；G为维矩阵；C为维矩阵。如果存在着无约束的控制信号，使得输出，由任意初始输出开始，在最多n个采样周期间隔内，达到输出空间的任意需要的点，那么由方程（4.63）和（4.64）所描述的离散系统是输出完全可控的。或简单地称为输出可控的。下面按照输出完全可控制的定义，来推导输出完全可控性的条件。因为方程式（4.63）的解为并有或输出完全可控的必要与充分条件是向量跨越了m维输出空间，或

（4.64）现在考虑为r维向量和存在着输入/输出D矩阵的系统（4.65）（4.66）其中维矩阵；维矩阵；维矩阵；维矩阵。这一系统的输出完全可控性的必要与充分条件是（4.67）

比较式（4.64）和式（4.67），不难发现当系统输出方程中存在着D矩阵时，有助于达到输出完全可控性。

§4.6离散控制系统的可观性在这一节中，讨论线性定常离散系统的可观测性。设控制作用为零的系统方程为（4.68）（4.69）其中，，Ｇ与Ｃ的定义与上一节同。

如果每一个初始状态都可通过在一个有限数的采样周期间隔内，由的观测值来确定，那么这种系统叫做完全可观测的。或者当一个状态的转移时最终都会影响输出向量的所有分量，那么系统是完全可观测的。

控制系统的可观性概念在状态观测、极点配量以及系统辩识中都有十分重要的作用。那么以及在方程式(4.68)和（4.69）中，没有考虑控制作用的理由是：如果系统由下述方程式描述（4.70）（4.71）

因为矩阵和是已知的，也是已知的。上式右边的第2和第3项是已知的量。因此，它们可以从观测值中减去。所以，对于研究完全可观测性的充分条件时，只要考虑方程式（4.68）和（4.69）所描述的系统就足够了。

下面我们来推导出由方程式（4.68）和（4.69）的所描述的离散系统完全可观测性条件。因为的解为

完全可观测性意味着给定就能确定.为了确定n个未知数，只需要的n个值。因此，可利用的前面n个值，即，,来确定。对一个完全可观测系统，给定我们就能确定，注意到是m维向量，上述的n个联立方程式产生了个方程，这些方程中包含有。为了由这个方程中求得唯一的一组解，我们应该从这个方程组中写出n个线性无关的方程，这就需要矩阵的秩为n。这就是由方程式（4.68）和（4.69）所描述的系统完全可观测性的条件。如果方程式（4.68）和（4.69）中的矩阵和是共轭矩阵，并考虑到矩阵的秩与共轭转置矩阵的秩是同样的，那么由方程式（4.68）和（4.69）所示系统的完全可观测的必要与充分的条件为