第十四讲大数定律和中心极限定理

罗马圣彼德广场一、方差的定义（P78）定义(P79):方差及协方差(1)D(c)=0二、方差的性质(P80)三、协方差与相关系数1、协方差

定义(P82)：

Yy1y2…yj…

p11

p12...

P1j...

p21

p22...

P2j...

pi1

pi2...

Pij...........................Xx1x2xi若二元离散型随机变量的联合分布列如下：

若二元随机变量的联合概率密度为：2、相关系数(P83)定义(P84)：3、协方差和相关系数的性质（P85）

协方差的性质相关系数的性质要求：

（1）明确方差的概念和含义。

（2）学会方差的计算，掌握方差的性质及其运用。

（3）学会协方差与相关系数的计算。

在大量的重复试验中，事件A发生的频率总是稳定在某一确定的常数附近，称这一常数为事件A发生的概率。如果试验次数不多，事件A发生的频率与事件A发生的概率可能相差很大，但当试验次数很多时，事件A发生的频率接近事件A发生的概率几乎是必然的。

这就是说：无论个别随机现象的结果如何，或者它们在进行过程中的个别特征如何，大量随机现象的平均结果实际与每一个随机现象的特征无关，并且几乎不再是随机的了。

大数定律以确切的数学形式表达了这种规律性。第十四讲大数定律与中心极限定理一、大数定律(P93)依概率收敛（P93定义5.1）切比雪夫(Chebyshev)不等式(P93)

例2：设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率都是0.7，而假定开、关时间彼此独立，估计夜晚同时开灯数在6800与7200之间的概率。计算量太大了几个常用的大数定律1.切比雪夫大数定律(P94定理5.2)

切比雪夫大数定律说明(记在P94)：在定理条件下，当n充分大时，n个独立随机变量的平均数这个随机变量的离散程度很小的。经过算术平均以后得到的随机变量将比较密地聚集在它的数学期望的附近，它与数学期望之差依概率收敛于0。2.贝努里大数定律(P95定理5.3)

贝努里大数定律说明：当试验在不变的条件下，重复进行很多次时，随机事件的频率在它的概率附近摆动，即当试验次数足够大时，可用频率近似代替概率。如果事件A的概率很小，则事件A的频率也是很小的，即事件A很少发生。实际中概率很小的事件在个别试验中几乎是不可能发生的，因此人们常常忽略了那些概率很小的事件发生的可能性。这个原理叫作小概率事件的实际不可能性原理（简称小概率原理）。至于“小概率”小到何程度才能看作实际上不可能发生，则视具体问题而定。反之：如果随机事件的概率很接近于1，则可以认为在个别试验中这事件几乎一定发生。3.辛钦大数定律(P95定理5.4)

辛钦大数定律说明(记在P96)：对于同一个随机变量进行n次观察，则所有观察结果的算术平均数依概率收敛于它的期望值。二、中心极限定理（P96）

正态分布在随机变量的各种分布中，占有特别重要的地位。在某些条件下，即使原来不服从正态分布的一些独立随机变量，它们的和的分布，当随机变量的个数无限增加时，也是趋于正态分布的。概率论中，把研究在什么条件下，大量独立随机变量的和分布以正态分布为极限这一类定理称为中心极限定理。

一般说来，如果某一项偶然因素对总和的影响是均匀的、微小的，即没有一项起特别突出的作用，那么就可以断定描述这些大量独立的偶然因素的总和的随机变量是近似地服从正态分布的。1.李雅普诺夫定理（P96定理5.5是其特殊情况）：

说明(记在P97)：相互独立的随机变量序列,若每个随机变量对这些随机变量的和变量影响不大,则其和变量服从正态分布例3：一个螺丝钉重量是一个随机变量，期望值是10克，标准差是1克。求一盒（100个）同型号螺丝的重量超过

1020克的概率。例4.将一颗骰子连掷100次，则点数之和不少于

500的概率是多少？2.拉普拉斯定理(Laplace)（P97定理5.6）

说明(记在P98)：当试验次数n较大时,n次独立重复试验中事件A发生的次数X这一随机变量落入某范围的概率可用正态分布进行计算

例5：设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率都是0.7，而假定开、关时间彼此独立，则夜晚同时开灯数在6800与7200之间的概率。例6：在一家保险公司里有100000个人参加寿命保险，每人每年付128元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.06%，死亡时其家属可向保险公司领得10万元，问：保险公司亏本的概率有多大？本次课要求：（1