实验数据的插值

实验数据的插值第一页，共三十八页，2022年，8月28日问题的引入：是否可以寻找函数f(x)的一个近似表达式y(x),使得

y(x)为插值函数。由于代数多项式简单而又便于计算，所以经常采用多项式为插值函数,即y(x)为一个多项式.第二页，共三十八页，2022年，8月28日,这就是插值问题例:>>x=0:0.8:10;>>y=sin(x)第三页，共三十八页，2022年，8月28日第四页，共三十八页，2022年，8月28日余项：我们可以知道，用y(x)近似f(x),除了在插值节点处，在其余的x处都有误差。令，称R(x)为插值多项式的余项，越小，近似程度越高。插值条件:

y(x)为次数不超过n

的多项式.在插值节点上，yi=y(xi)

，i=0,1,2,…,n第五页，共三十八页，2022年，8月28日插值函数

Matlab中有两种一维插值，即多项式插值和基于FFT插值。在此我们重点讲解多项式插值。函数interp1()进行一维插值。语法形式为

yi=interp1(x,y,xi,method)x和y为给定的数据的向量，长度相同。

xi为包含要插值的点的向量。

method指定插值的一种方法：默认为线性算法；‘nearest’,将插值点的值设置为已知数据点中距离最近的点的值；‘linear’,用线性函数拟合每对数据点，并返回xi处的相关函数值；‘spline’,用三次样条函数拟合每对数据点，用‘spline’函数在插值点处进行三次样条插值；‘cubic’为三次插值。注：所有的插值方法要求x是单调的第六页，共三十八页，2022年，8月28日3.1线性插值问题：已知:y0=f(x0),y1=f(x1)构造插值函数:

y(x)=Ax+B

y(x)为不高于一次的多项式满足:y0=y(x0),y1=y(x1)第七页，共三十八页，2022年，8月28日插值函数两种形式1.拉格朗日插值（两点式）根据两点公式:插值基函数:第八页，共三十八页，2022年，8月28日插值基函数性质:我们可以统一写为：i,j=0,1我们称这种形式的插值为拉格朗日插值。拉格朗日插值函数可写成:第九页，共三十八页，2022年，8月28日根据点斜式公式:或者2.Newton插值（点斜式）第十页，共三十八页，2022年，8月28日一阶差商:一阶泰勒展开:牛顿插值公式:3.余项（线性插值的误差）插值余项:线形插值余项满足:第十一页，共三十八页，2022年，8月28日3.2二次插值（抛物线插值）给定函数y=f(x)的三个插值节点:求过这三点的一个二次多项式.拉格朗日插值:xy第十二页，共三十八页，2022年，8月28日插值基函数满足:得到:第十三页，共三十八页，2022年，8月28日牛顿插值:一阶差商:二阶差商:二阶泰勒展开:牛顿插值公式:第十四页，共三十八页，2022年，8月28日第十五页，共三十八页，2022年，8月28日第十六页，共三十八页，2022年，8月28日3.4n次插值给定函数y=f(x)的n+1个插值节点:求过这n+1个点的一个n次多项式.设插值函数为:

y(x)=A0+A1x+A2x2+…+Anxnxy第十七页，共三十八页，2022年，8月28日根据插值条件，系数应该满足以下n+1阶线性方程组第十八页，共三十八页，2022年，8月28日写成矩阵形式：

可写成:XA=YX的行列式为范德蒙行列式,由于节点互异所以

由克莱姆法则可以知道所以方程有唯一解。插值多项式存在且唯一。第十九页，共三十八页，2022年，8月28日牛顿插值:拉格朗日插值：其中插值基函数:第二十页，共三十八页，2022年，8月28日3.3逐次线性插值.给定函数y=f(x)的三个插值节点:先用(x0,y0),(x1,y1)做线性插值:xy第二十一页，共三十八页，2022年，8月28日再用(x0,y0),(x2,y2)做线性插值:最后用[x1,y(1)(x)],[x2,y(2)(x)]做线形插值:此函数为二次多项式,经过三个插值节点.虽然上式也是二次多项式，但是经过两次插值而构成的，这样有利于在计算机上的实现。第二十二页，共三十八页，2022年，8月28日3.5二元函数的拉格朗日多点插值公式已知:求二元函数z(x,y)经过上述节点.令:

第二十三页，共三十八页，2022年，8月28日二元函数插值公式:第二十四页，共三十八页，2022年，8月28日functiony=cf(x,w)%差分法剔除错误值n=length(x);y(1)=x(1);y(2)=x(2);fori=1:n-2xx=2*x(i+1)-x(i);d=abs(x(i+2)-xx);ifd>=wy(i+2)=xx;elsey(i+2)=x(i+2);endend第二十五页，共三十八页，2022年，8月28日>>x=rand(1,1000);>>hist(x,20)第二十六页，共三十八页，2022年，8月28日>>y=cf(x,0.1);>>hist(y,20)第二十七页，共三十八页，2022年，8月28日

样条是绘图员用于描绘光滑曲线的一种机械器件,它是一些易弯曲材料制成的窄条或棒条.在绘制需要通过某点的光滑曲线时,对它在这些点的位置上“压铁”,它就被强制通过或接近图表上确定的描绘点.“样条函数”这个术语意在点出这种函数的图象与机械样条画出的曲线很象.补充材料三次样条插值第二十八页，共三十八页，2022年，8月28日（1）S(x)是定在区间[a,b]上的二次连续可微函数；

（2）在每个子区间（）上，S(x)是不超过三次的多项式则称S(x)是对应于分划的三次样条函数。若在节点

处给定的函数值并且样条函数S(x)满足条件

（3）

则称S(x)为函数f(x)的三次样条插值函数。第二十九页，共三十八页，2022年，8月28日2、三次样条插值函数的构造（用节点处的二阶导数表示的三次样条插值函数）设，由于在区间上是三次多项式，故在上是线性函数，可以表示为且有令有（1）第三十页，共三十八页，2022年，8月28日对在区间上积分两次，并由确定积分结过中的两个积分常数，则在区间上可得将对x求一次导得（2）（3）第三十一页，共三十八页，2022年，8月28日且有因为要求在节点上连续，即。所以由式（4）得令将（5）式整理可得线性方程组（4）（5）（6）（7）（8）第三十二页，共三十八页，2022年，8月28日综上讨论可知，如果S(x)是区间[a,b]上的三次样条插值函数，则它的表达式为（2）式，且其二阶导数，满足方程组（8）式。反之容易看出，如果n+1个参数适合方程组（8），则由是（2）所确定的函数S(x)必是区间[a,b]上的三次样条插值函数步骤：1、根据在内节点的连续性及为线形态函数的特点，将表示为线性函数，再根据在内节点的连续性及插值条件，写出S(x)用表示的形式。2、利用在内节点的连续性及边界条件，导出含的n+1阶线性方程组。3、求解含的线性方程组，将得到的代入上的的S(x)表达式，即可得到以节点处的二阶导数表示的三次样条插值函数。第三十三页，共三十八页，2022年，8月28日第三十四页，共三十八页，2022年，8月28日对于第一种边界条件：由（8）式可得，若记（9）则（9）式可记为第三十五页，共三十八页，2022年，8月28日对于第二种边界条件：由（1）式可得，若记（10）则（10）式可记为第三十六页，共三十八页，2022年，8月28日综合上述两种情况：可得到关于的线性方程组：其矩阵形式为：方程组（11）的系数矩阵为严格对角占优，为非奇异矩阵，因此方程组有唯一确定的解，可以求出，代入（8）式即可得到用节点处二阶导数表示系数的三次样条插值函数的表达式。（11）第三十七页，共三十八页，2022年，8月28日例：

设和