初中数学人教版九年级上册第二十四章圆单元复习 名师获奖

第二十四章圆24．1圆的有关性质24.1.1圆1．了解圆的基本概念，并能准确地表示出来．2.理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、圆弧、等圆、同心圆等．重点：与圆有关的概念．难点：圆的有关概念的理解．一、自学指导．(10分钟)自学：研读课本P79～80内容，理解记忆与圆有关的概念，并完成下列问题．探究：①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做__圆__，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做__半径__．②用集合的观点叙述以O为圆心，r为半径的圆，可以说成是到定点O的距离为__r__的所有的点的集合．③连接圆上任意两点的__线段__叫做弦，经过圆心的弦叫做__直径__；圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做__优弧__，小于半圆的弧叫做__劣弧__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(3分钟)1．以点A为圆心，可以画__无数__个圆；以已知线段AB的长为半径可以画__无数__个圆；以点A为圆心，AB的长为半径，可以画__1__个圆．点拨精讲：确定圆的两个要素：圆心(定点)和半径(定长)．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．2．到定点O的距离为5的点的集合是以__O__为圆心，__5__为半径的圆．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)1．⊙O的半径为3cm，则它的弦长d的取值范围是__0＜d≤6__．点拨精讲：直径是圆中最长的弦．2．⊙O中若弦AB等于⊙O的半径，则△AOB的形状是__等边三角形__．点拨精讲：与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型．3．如图，点A，B，C，D都在⊙O上．在图中画出以这4点为端点的各条弦．这样的弦共有多少条？解：图略.6条．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(15分钟)1．(1)在图中，画出⊙O的两条直径；(2)依次连接这两条直径的端点，得一个四边形．判断这个四边形的形状，并说明理由．解：矩形．理由：由于该四边形对角线互相平分且相等，所以该四边形为矩形．作图略．点拨精讲：由刚才的问题思考：矩形的四个顶点一定共圆吗？2．一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远点距离为10cm，则这个圆的半径是__3_cm或7_cm__．点拨精讲：这里分点在圆外和点在圆内两种情况．3．如图，图中有__1__条直径，__2__条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有__4__条，劣弧有__4__条．点拨精讲：这类数弧问题，为防多数或少数，通常按一定的顺序和方向来数．,第3题图),第4题图)4．如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一直线上，图中弦的条数为__2__．点拨精讲：注意紧扣弦的定义．5．如图，CD为⊙O的直径，∠EOD＝72°，AE交⊙O于B，且AB＝OC，求∠A的度数．解：24°.点拨精讲：连接OB构造三角形，从而得出角的关系．,第5题图),第6题图)6．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D是BC的中点，若AC＝10cm，求OD的长．解：5cm.点拨精讲：这里别忘了圆心O是直径AB的中点．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．圆的定义、圆的表示方法及确定一个圆的两个基本条件．2．圆的相关概念：(1)弦、直径；(2)弧及其表示方法；(3)等圆、等弧．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．垂直于弦的直径1．圆的对称性．2．通过圆的轴对称性质的学习，理解垂径定理及其推论．3．能运用垂径定理及其推论进行计算和证明．重点：垂径定理及其推论．难点：探索并证明垂径定理．一、自学指导．(10分钟)自学：研读课本P81～83内容，并完成下列问题．1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为圆心．2．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①AB经过圆心O且与圆交于A，B两点；②AB⊥CD交CD于E，那么可以推出：③CE＝DE；④eq\o(CB,\s\up8(︵))＝eq\o(DB,\s\up8(︵))；⑤eq\o(CA,\s\up8(︵))＝eq\o(DA,\s\up8(︵)).3．平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．点拨精讲：(1)画图说明这里被平分的弦为什么不能是直径．(2)实际上，当一条直线满足过圆心、垂直弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，这五个条件中的任何两个，就可推出另外三个．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．在⊙O中，直径为10cm，圆心O到AB的距离为3cm，则弦AB的长为__8_cm__．2．在⊙O中，直径为10cm，弦AB的长为8cm，则圆心O到AB的距离为__3_cm__．点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个．3．⊙O的半径OA＝5cm，弦AB＝8cm，点C是AB的中点，则OC的长为__3_cm__．点拨精讲：已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂线是常用的辅助线．4．某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为多少米？(8米)点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(6分钟)1．AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，若AE＝9，BE＝1，求CD的长．解：6.点拨精讲：常用辅助线：连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形．2．⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为__3__，最大值为__5__．点拨精讲：当OM与AB垂直时，OM最小(为什么)，M在A(或B)处时OM最大．3．如图，线段AB与⊙O交于C，D两点，且OA＝OB.求证：AC＝BD.证明：作OE⊥AB于E.则CE＝DE.∵OA＝OB，OE⊥AB，∴AE＝BE，∴AE－CE＝BE－DE.即AC＝BD.点拨精讲：过圆心作垂线是圆中常用辅助线．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．在直径是20cm的⊙O中，∠AOB的度数是60°，那么弦AB的弦心距是__5eq\r(3)__cm.点拨精讲：这里利用60°角构造等边三角形，从而得出弦长．2．弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这个弓形所在的圆的半径为__eq\f(13,4)__cm.3．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．求证：AC＝BD.证明：过点O作OE⊥AB于点E.则AE＝BE，CE＝DE.∴AE－CE＝BE－DE.即AC＝BD.点拨精讲：过圆心作垂径．4．已知⊙O的直径是50cm，⊙O的两条平行弦AB＝40cm，CD＝48cm，求弦AB与CD之间的距离．解：过点O作直线OE⊥AB于点E，直线OE与CD交于点F.由AB∥CD，则OF⊥CD.(1)当AB，CD在点O两侧时，如图①.连接AO，CO，则AO＝CO＝25cm，AE＝20cm，CF＝24cm.由勾股定理知OE＝15cm，OF＝7cm.∴EF＝OE＋OF＝22(cm)．即AB与CD之间距离为22cm.(2)当AB，CD在点O同侧时，如图②，连接AO，CO.则AO＝CO＝25cm，AE＝20cm，CF＝24cm.由勾股定理知OE＝15cm，OF＝7cm.∴EF＝OE－OF＝8(cm)．即AB与CD之间距离为8cm.由(1)(2)知AB与CD之间的距离为22cm或8cm.点拨精讲：分类讨论，①AB，CD在点O两侧，②AB，CD在点O同侧．学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．2．垂径定理及其推论以及它们的应用．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．弧、弦、圆心角1.通过学习圆的旋转性，理解圆的弧、弦、圆心角之间的关系．2.运用上述三者之间的关系来计算或证明有关问题．重点：圆的弧、弦、圆心角之间的关系定理．难点：探索推导定理及其应用．一、自学指导．(10分钟)自学：自学教材P83～84内容，回答下列问题．探究：1．顶点在__圆心__的角叫做圆心角，能够重合的圆叫做__等圆__；能够__重合__的弧叫做等弧；圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的图形重合，这就是圆的__旋转性__．2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相等__，所对的弦也__相等__．3．在同圆或等圆中，两个__圆心角__，两条__弦__，两条__弧__中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．4．在⊙O中，AB，CD是两条弦，(1)如果AB＝CD，那么__eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))，__∠AOB＝∠COD__；(2)如果eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))，那么__AB＝CD__，__∠AOB＝∠COD；(3)如果∠AOB＝∠COD，那么__AB＝CD__，eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．如图，AD是⊙O的直径，AB＝AC，∠CAB＝120°，根据以上条件写出三个正确结论．(半径相等除外)(1)__△ACO_≌_△ABO__；(2)__AD垂直平分BC__；(3)eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵)).2．如图，在⊙O中，eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.证明：∵eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，∴AB＝AC.又∵∠ACB＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.,第2题图),第3题图)3．如图，(1)已知eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵)).求证：AB＝CD.(2)如果AD＝BC，求证：eq\o(DC,\s\up8(︵))＝eq\o(AB,\s\up8(︵)).证明：(1)∵eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，∴eq\o(AD,\s\up8(︵))＋eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))＋eq\o(AC,\s\up8(︵))，∴eq\o(DC,\s\up8(︵))＝eq\o(AB,\s\up8(︵))，∴AB＝CD.(2)∵AD＝BC，∴eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，∴eq\o(AD,\s\up8(︵))＋eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))＋eq\o(AC,\s\up8(︵))，即eq\o(DC,\s\up8(︵))＝eq\o(AB,\s\up8(︵)).一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．⊙O中，一条弦AB所对的劣弧为圆周的eq\f(1,4)，则弦AB所对的圆心角为__90°__．点拨精讲：整个圆周所对的圆心角即以圆心为顶点的周角．2．在半径为2的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为1，则弦AB所对的圆心角的度数为__120°__．3．如图，在⊙O中，eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(AC,\s\up8(︵))，∠ACB＝75°，求∠BAC的度数．解：30°.,第3题图),第4题图)4．如图，AB，CD是⊙O的弦，且AB与CD不平行，M，N分别是AB，CD的中点，AB＝CD，那么∠AMN与∠CNM的大小关系是什么？为什么？点拨精讲：(1)OM，ON具备垂径定理推论的条件．(2)同圆或等圆中，等弦的弦心距也相等．解：∠AMN＝∠CNM.∵AB＝CD，M，N为AB，CD中点，∴OM＝ON，OM⊥AB，ON⊥CD，∴∠OMA＝∠ONC，∠OMN＝∠ONM，∴∠OMA－∠OMN＝∠ONC－∠ONM.即∠AMN＝∠CNM.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．如图，AB是⊙O的直径，eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\o(DE,\s\up8(︵))，∠COD＝35°，求∠AOE的度数．解：75°.,第1题图),第2题图)2．如图所示，CD为⊙O的弦，在CD上截取CE＝DF，连接OE，OF，它们的延长线交⊙O于点A，B.(1)试判断△OEF的形状，并说明理由；(2)求证：eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).解：(1)△OEF为等腰三角形．理由：过点O作OG⊥CD于点G，则CG＝DG.∵CE＝DF，∴CG－CE＝DG－DF.∴EG＝FG.∵OG⊥CD，∴OG为线段EF的垂直平分线．∴OE＝OF，∴△OEF为等腰三角形．(2)证明：连接AC，BD.由(1)知OE＝OF，又∵OA＝OB，∴AE＝BF，∠OEF＝∠OFE.∵∠CEA＝∠OEF，∠DFB＝∠OFE，∴∠CEA＝∠DFB.在△CEA与△DFB中，AE＝BF，∠CEA＝∠BFD，CE＝DF，∴△CEA≌△DFB，∴AC＝BD，∴eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).点拨精讲：(1)过圆心作垂径；(2)连接AC，BD，通过证弦等来证弧等．3．已知：如图，AB是⊙O的直径，M，N是AO，BO的中点．CM⊥AB，DN⊥AB，分别与圆交于C，D点．求证：eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).证明：连接AC，OC，OD，BD.∵M，N为AO，BO中点，∴OM＝ON，AM＝BN.∵CM⊥AB，DN⊥AB，∴∠CMO＝∠DNO＝90°.在Rt△CMO与Rt△DNO中，OM＝ON，OC＝OD，∴Rt△CMO≌Rt△DNO.∴CM＝DN.在Rt△AMC和Rt△BND中，AM＝BN，∠AMC＝∠BND，CM＝DN，∴△AMC≌△BND.∴AC＝BD.∴eq\o(AC,\s\up8(︵))＝eq\o(BD,\s\up8(︵)).点拨精讲：连接AC，OC，OD，BD，构造三角形．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)圆心角定理是圆中证弧等、弦等、弦心距等、圆心角等的常用方法．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．圆周角1．理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角．2．能在证明或计算中熟练运用圆周角的定理及其推论．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P85～87，完成下列问题．归纳：1．顶点在__圆周__上，并且两边都与圆__相交__的角叫做圆周角．2．在同圆或等圆中，__等弧__或__等弦__所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的__圆心角__的一半．3．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也__相等__．4．半圆(或直径)所对的圆周角是__直角__，90°的圆周角所对的弦是__直径__．5．圆内接四边形的对角__互补__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)1．如图所示，点A，B，C，D在圆周上，∠A＝65°，求∠D的度数．解：65°.,第1题图),第2题图)2．如图所示，已知圆心角∠BOC＝100°，点A为优弧eq\o(BC,\s\up8(︵))上一点，求圆周角∠BAC的度数．解：50°.3．如图所示，在⊙O中，∠AOB＝100°，C为优弧AB的中点，求∠CAB的度数．解：65°.,第3题图),第4题图)4．如图所示，已知AB是⊙O的直径，∠BAC＝32°，D是AC的中点，那么∠DAC的度数是多少？解：29°.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．如图所示，点A，B，C在⊙O上，连接OA，OB，若∠ABO＝25°，则∠C＝__65°__．,第1题图),第2题图)2．如图所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝32°，则∠COB＝__64°__．3．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.∴BC＝eq\r(AB2－AC2)＝8(cm)．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，∴AD＝BD.由AB为直径，知AD⊥BD，∴△ABD为等腰直角三角形，∴AD2＋BD2＝2AD2＝2BD2＝AB2，∴AD＝5eq\r(2)cm，BD＝5eq\r(2)cm.点拨精讲：由直径产生直角三角形，由相等的圆周角产生等腰三角形．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)1．如图所示，OA为⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，若OD＝5cm，则BE＝__10_cm__．点拨精讲：利用两个直径构造两个垂直，从而构造平行，产生三角形的中位线．,第1题图),第2题图)2．如图所示，点A，B，C在⊙O上，已知∠B＝60°，则∠CAO＝__30°__．3．OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC.求证：∠ACB＝2∠BAC.证明：∵∠AOB是劣弧eq\o(AB,\s\up8(︵))所对的圆心角，∠ACB是劣弧eq\o(AB,\s\up8(︵))所对的圆周角，∴∠AOB＝2∠ACB.同理∠BOC＝2∠BAC，∵∠AOB＝2∠BOC，∴∠ACB＝2∠BAC.点拨精讲：看圆周角一定先看它是哪条弧所对圆周角，再看所对的圆心角．4．如图，在⊙O中，∠CBD＝30°，∠BDC＝20°，求∠A.解：∠A＝50°点拨精讲：圆内接四边形的对角互补．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)圆周角的定义、定理及推论．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．2点和圆、直线和圆的位置关系24．点和圆的位置关系1.结合实例，理解平面内点与圆的三种位置关系．2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．4．了解反证法的证明思想．重点：点和圆的位置关系；不在同一直线上的三个点确定一个圆及它们的运用．难点：反证法的证明思路．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P92～94.归纳：1．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔__d＞r__；点P在圆上⇔__d＝r__；点P在圆内⇔__d＜r__.2.经过已知点A可以作__无数__个圆，经过两个已知点A，B可以作__无数__个圆；它们的圆心__在线段AB的垂直平分线__上；经过不在同一条直线上的A，B，C三点可以作__一个__圆．3．经过三角形的__三个顶点__的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形的三条边__垂直平分线__的交点，叫做这个三角形的外心．任意三角形的外接圆有__一个__，而一个圆的内接三角形有__无数个__．4．用反证法证明命题的一般步骤：①反设：__假设命题结论不成立__；②归缪：__从假设出发，经过推理论证，得出矛盾__；③下结论：__由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．在平面内，⊙O的半径为5cm，点P到圆心的距离为3cm，则点P与⊙O的位置关系是点__P在圆内__．2．在同一平面内，一点到圆上的最近距离为2，最远距离为10，则该圆的半径是__4或6__．3．△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝28°，则∠C的度数是__62°或118°__．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？(用反证法证明)2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，CD是斜边AB上的中线，以AC为直径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的位置关系是怎样的？点拨精讲：利用数量关系证明位置关系．3．如图，⊙O的半径r＝10，圆心O到直线l的距离OD＝6，在直线l上有A，B，C三点，AD＝6，BD＝8，CD＝9，问A，B，C三点与⊙O的位置关系是怎样的？点拨精讲：垂径定理和勾股定理的综合运用．4．用反证法证明“同位角相等，两直线平行”．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．已知⊙O的半径为4，OP＝，则P在⊙O的__内部__．2．已知点P在⊙O的外部，OP＝5，那么⊙O的半径r满足__0<r<5__．3．已知⊙O的半径为5，M为ON的中点，当OM＝3时，N点与⊙O的位置关系是N在⊙O的__外部__．4．如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，求△ABC的外接圆半径．解：连接AO并延长交BC于点D，再连接OB，OC.∵AB＝AC，∴∠AOB＝∠AOC.∵AO＝BO＝CO，∴∠OAB＝∠OAC.又∵△ABC为等腰三角形，∴AD⊥BC，∴BD＝eq\f(1,2)BC＝6.在Rt△ABD中，∵AB＝10，∴AD＝eq\r(AB2－BD2)＝8.设△ABC的外接圆半径为r.则在Rt△BOD中，r2＝62＋(8－r)2，解得r＝eq\f(25,4).即△ABC的外接圆半径为eq\f(25,4).点拨精讲：这里连接AO，要先证明AO垂直BC，或作AD⊥BC，要证AD过圆心．5．如图，已知矩形ABCD的边AB＝3cm，AD＝4cm.(1)以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，则点B，C，D与⊙A的位置关系是怎样的？(2)若以A点为圆心作⊙A，使B，C，D三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则⊙A的半径r的取值范围是什么？解：(1)点B在⊙A内，点C在⊙A外，点D在⊙A上；(2)3＜r＜5.点拨精讲：第(2)问中B，C，D三点中至少有一点在圆内，必然是离点A最近的点B在圆内；至少有一点在圆外，必然是离点A最远的点C在圆外．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．点和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(点P在圆外⇔d＞r；,点P在圆上⇔d＝r；,点P在圆内⇔d＜r.))2．不在同一条直线上的三个点确定一个圆．3．三角形外接圆和三角形外心的概念．4．反证法的证明思想．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)

直线和圆的位置关系(1)1．理解掌握同一平面内的直线与圆的三种位置关系及相关概念．2．能根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，准确判断出直线与圆的位置关系．重点：判断直线与圆的位置关系．难点：理解圆心到直线的距离．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P95～96.归纳：1．直线和圆有__两个__公共点时，直线和圆相交，直线叫做圆的__割线__．2．直线和圆有__一个__公共点时，直线和圆相切，直线叫做圆的__切线__，这个点叫做__切点__．3．直线和圆有__零个__公共点时，直线和圆相离．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．设⊙O的半径为r，直线l到圆心O的距离为d，则有：直线l和⊙O相交⇔__d＜r__；直线l和⊙O相切⇔__d＝r__；直线l和⊙O相离⇔d＞r__．2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，AB＝6cm，以点C为圆心，与AB边相切的圆的半径为__eq\f(3\r(3),2)__cm.3．已知⊙O的半径r＝3cm，直线l和⊙O有公共点，则圆心O到直线l的距离d的取值范围是0≤d≤3__．4．已知⊙O的半径是6，点O到直线a的距离是5，则直线a与⊙O的位置关系是__相交__．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．已知⊙O的半径是3cm，直线l上有一点P到O的距离为3cm，试确定直线l和⊙O的位置关系．解：相交或相切．点拨精讲：这里P到O的距离等于圆的半径，而不是直线l到O的距离等于圆的半径．2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，若以C为圆心，r为半径的圆与斜边AB只有一个公共点，则r的取值范围是多少？解：r＝eq\f(12,5)或3＜r≤4.点拨精讲：分相切和相交两类讨论．3．在坐标平面上有两点A(5，2)，B(2，5)，以点A为圆心，以AB的长为半径作圆，试确定⊙A和x轴、y轴的位置关系．解：⊙A与x轴相交，与y轴相离．点拨精讲：利用数量关系证明位置关系．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以C为圆心，r为半径作圆．①当r满足__0＜r＜eq\f(12,5)__时，⊙C与直线AB相离．②当r满足__r＝eq\f(12,5)__时，⊙C与直线AB相切．③当r满足__r＞eq\f(12,5)__时，⊙C与直线AB相交．2．已知⊙O的半径为5cm，圆心O到直线a的距离为3cm，则⊙O与直线a的位置关系是__相交．直线a与⊙O的公共点个数是__2个__．3．已知⊙O的直径是6cm，圆心O到直线a的距离是4cm，则⊙O与直线a的位置关系是__相离．4．已知⊙O的半径为r，点O到直线l的距离为d，且|d－3|＋(6－2r)2＝0.试判断直线与⊙O的位置关系．解：相切．5．设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，d，r是一元二次方程(m＋9)x2－(m＋6)x＋1＝0的两根，且直线l与⊙O相切，求m的值．解：m＝0或m＝－8.学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．直线与圆的三种位置关系．2．根据圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，判断出直线与圆的位置关系．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．直线和圆的位置关系(2)1.理解掌握切线的判定定理和性质定理．2．判定一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．3．会运用圆的切线的性质与判定来解决相关问题．重点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．难点：切线的判定和性质及其运用．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P97～98.归纳：1．经过__半径的外端__并且__垂直于这条半径__的直线是圆的切线．2．切线的性质有：①切线和圆只有__1个__公共点；②切线和圆心的距离等于__半径__；③圆的切线__垂直于__过切点的半径．3．当已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置是确定的，辅助线常常是连接__圆心__和切点__，得到半径，那么半径__垂直于__切线．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)1．如图，已知AB是⊙O的直径，PB是⊙O的切线，PA交⊙O于C，AB＝3cm，PB＝4cm，则BC＝__eq\f(12,5)__cm.2．如图，BC是半圆O的直径，点D是半圆上一点，过点D作⊙O的切线AD，BA⊥DA于点A，BA交半圆于点E，已知BC＝10，AD＝4，那么直线CE与以点O为圆心，eq\f(5,2)为半径的圆的位置关系是__相离__．3．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于点D，DE⊥AC于E，连接AD，则下面结论正确的有__①②③④__．①AD⊥BC；②∠EDA＝∠B；③OA＝eq\f(1,2)AC;④DE是⊙O的切线．4．如图，AB为⊙O的直径，PQ切⊙O于T，AC⊥PQ于C，交⊙O于D，若AD＝2，TC＝3，则⊙O的半径是__eq\r(10)__．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，E是BC边上的中点，连接PE，则PE与⊙O相切吗？若相切，请加以证明；若不相切，请说明理由．解：相切；证明：连接OP，BP，则OP＝OB.∴∠OBP＝∠OPB.∵AB为直径，∴BP⊥PC.在Rt△BCP中，E为斜边中点，∴PE＝eq\f(1,2)BC＝BE.∴∠EBP＝∠EPB.∴∠OBP＋∠PBE＝∠OPB＋∠EPB.即∠OBE＝∠OPE.∵BE为切线，∴AB⊥BC.∴OP⊥PE，∴PE是⊙O的切线．2．如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB于点B，连接OC交⊙O于点E，弦AD∥OC，连接CD.求证：(1)点E是eq\o(BD,\s\up8(︵))的中点；(2)CD是⊙O的切线．证明：略．点拨精讲：(1)连接OD，要证弧等可先证弧所对的圆心角等；(2)在(1)的基础上证△ODC与△OBC全等．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)1．教材P98的练习．2．如图，∠ACB＝60°，半径为1cm的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离是__eq\r(3)__cm.,第2题图),第3题图)3．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC＝30°，半径为1cm的⊙P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm，如果⊙P以1cm/s的速度沿A向B的方向移动，则经过__4或8__秒后⊙P与直线CD相切．4．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB与小圆相切于点C，若大圆半径为10cm，小圆半径为6cm，则弦AB的长为__16__cm.,第4题图),第5题图)5．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A＝25°，则∠D＝__40°__．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)圆的切线的判定与性质．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．直线和圆的位置关系(3)1．理解并掌握切线长定理，能熟练运用所学定理来解答问题．2．了解三角形的内切圆及内心的特点，会画三角形的内切圆．重点：切线长定理及其运用．难点：切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P99～100.归纳：1．经过圆外一点作圆的切线，这点和__切点__之间的__线段长__叫做切线长．2．从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长__相等__，这一点和圆心的连线平分__两条切线的夹角，这就是切线长定理．3．与三角形各边都__相切__的圆叫做三角形的内切圆．4．三角形内切圆的圆心是三角形__三条角平分线的交点，叫做三角形的__内心__，它到三边的距离__相等__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)1．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，直线OP交⊙O于点D，E，交AB于点C，图中互相垂直的直线共有__3__对．,第1题图),第2题图)2．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，点E是⊙O上一点，且∠AEB＝60°，则∠P＝__60__度．3．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，⊙O的切线EF分别交PA，PB于点E，F，切点C在eq\o(AB,\s\up8(︵))上，若PA长为2，则△PEF的周长是__4__．,第3题图),第4题图)4．⊙O为△ABC的内切圆，D，E，F为切点，∠DOB＝73°，∠DOF＝120°，则∠DOE＝__146°，∠C＝__60°__，∠A＝__86°__．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．如图，直角梯形ABCD中，∠A＝90°，以AB为直径的半圆切另一腰CD于P，若AB＝12cm，梯形面积为120cm2，求CD的长．解：20cm.点拨精讲：这里CD＝AD＋BC.2．如图，已知⊙O是Rt△ABC(∠C＝90°)的内切圆，切点分别为D，E，F.(1)求证：四边形ODCE是正方形．(2)设BC＝a，AC＝b，AB＝c，求⊙O的半径r.解：(1)证明略；(2)eq\f(a＋b－c,2).点拨精讲：这里(2)的结论可记住作为公式来用．3．如图所示，点I是△ABC的内心，∠A＝70°，求∠BIC的度数．解：125°.点拨精讲：若I为内心，∠BIC＝90°＋eq\f(1,2)∠A；若I为外心，∠BIC＝2∠A.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)1．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC的内切圆半径r＝__2__．,第1题图),第2题图)2．如图，AD，DC，BC都与⊙O相切，且AD∥BC，则∠DOC＝__90°__．3．如图，AB，AC与⊙O相切于B，C两点，∠A＝50°，点P是圆上异于B，C的一动点，则∠BPC＝__65°__．,第3题图),第4题图)4．如图，点O为△ABC的外心，点I为△ABC的内心，若∠BOC＝140°，则∠BIC＝__125°__．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．圆的切线长概念；2．切线长定理；3．三角形的内切圆及内心的概念．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．3正多边形和圆1．了解正多边形的概念，会通过等分圆心角的方法等分圆周画出所需的正多边形．2．会判定一个正多边形是中心对称图形还是轴对称图形，能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形．3.会进行有关圆与正多边形的计算．重点：正多边形和圆中正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．难点：理解正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P105～107.归纳：1．__各边__相等，__各角__也相等的多边形叫做正多边形．2．把一个圆分成几等份，连接各点所得到的多边形是__正多边形__，它的中心角等于__eq\f(360°,边数)__．3．一个正多边形的外接圆的__圆心__叫做这个正多边形的中心；外接圆的__半径__叫做正多边形的半径；正多边形每一边所对的__圆心角__叫做正多边形的中心角；中心到正多边形的一边的__距离__叫做正多边形的边心距．4．正n边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它的对称轴有__n__条，并且还是中心对称图形；当边数为奇数时，它只是__轴对称图形__．二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)1．如果正多边形的一个外角等于60°，那么它的边数为__6__．2．若正多边形的边心距与边长的比为1∶2，则这个正多边形的边数为__4__．3．已知正六边形的外接圆半径为3cm，那么它的周长为__18_cm__．4．正多边形的一边所对的中心角与该正多边形的一个内角的关系是__互补__．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(9分钟)1．如图所示，⊙O中，eq\o(AB,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(CD,\s\up8(︵))＝eq\o(DE,\s\up8(︵))＝eq\o(EF,\s\up8(︵))＝eq\o(FA,\s\up8(︵)).求证：六边形ABCDEF是正六边形．证明：略．点拨精讲：由本题的结论可得：只要将圆分成n等分，顺次连接各等分点，就可得到这个圆的内接正n边形．2．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若⊙O的内接正三角形ACE的面积为48eq\r(3)，试求正六边形的周长．解：48.点拨精讲：圆的内接正六边形的边长等于圆的半径，故要求正六边形的边长，需先求圆的半径．3．利用你手中的工具画一个边长为3cm的正五边形．点拨精讲：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，应该先求边长为3cm的正五边形的半径．4．你能用尺规作出正四边形、正八边形吗？点拨精讲：只要作出已知⊙O的互相垂直的直径即得圆内接正方形，再过圆心作各边的垂线与⊙O相交，或作各中心角的角平分线与⊙O相交，即得圆内接正八边形，照此方法依次可作正十六边形、正三十二边形、正六十四边形……5．你能用尺规作出正六边形、正三角形、正十二边形吗？点拨精讲：以半径长在圆周上截取六段相等的弧，顺次连接各等分点，则作出正六边形．先作出正六边形，则可作正三角形，正十二边形，正二十四边形……二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9分钟)1．正n边形的一个内角与一个外角之比是5∶1，那么n等于__12__．2．若一正四边形与一正八边形的周长相等，则它们的边长之比为__2∶1__．3．正八边形有__8__条对称轴，它不仅是__轴__对称图形，还是__中心__对称图形．点拨精讲：正n边形的中心对称性和轴对称性．4．有两个正多边形边数比为2∶1，内角度数比为4∶3，求它们的边数．解：10，5.点拨精讲：本题应用方程的方法来解决．5．教材P106练习．学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边形的边心距．2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、正多边形的边心距之间的等量关系．3．画正多边形的方法．学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)24．4弧长和扇形面积(1)1.了解扇形的概念，复习圆的周长、圆的面积公式．2.探索n°的圆心角所对的弧长l＝eq\f(nπR,180)和扇形面积S扇形＝eq\f(nπR2,360)的计算公式，并应用这些公式解决相关问题．重点：n°的圆心角所对的弧长l＝eq\f(nπR,180)，扇形面积S扇形＝eq\f(nπR2,360)及它们的应用．难点：两个公式的应用．一、自学指导．(10分钟)自学：阅读教材P111～112.归纳：1．在半径为R的圆中，1°的圆心角所对的弧长是__eq\f(πR,180)__，n°的圆心角所对的弧长是__eq\f(nπR,180)__．2．在半径为R的圆中，1°的圆心角所对应的扇形面积是__eq\f(πR2,360)__，n°的圆心角所对应的扇形面积是___eq\f(nπR2,360)__.3．半径为R，弧长为l的扇形面积S＝eq\f(1,2)lR.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)1．已知⊙O的半径OA＝6，∠AOB＝90°，则∠AOB所对的弧长eq\o(AB,\s\up8(︵))的长是__3π__．2．一个扇形所在圆的半径为3cm，扇形的圆心角为120°，则扇形的面积为__3π_cm2__．3．在一个圆中，如果60°的圆心角所对的弧长是6πcm，那么这个圆的半径r＝__18_cm__．4．已知扇形的半径为3，圆心角为60°，那么这个扇形的面积等于__eq\f(3π,2)__．一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)1．在一个周长为180cm的圆中，长度为60cm的弧所对圆心角为__120__度．2．已知扇形的弧长是4πcm，面积为12πcm2，那么它的圆心角为__120__度．3．如图，⊙O的半径是⊙M的直径，C是⊙O上一点，OC交⊙M于B，若⊙O的半径等于5cm，eq\o(AC,\s\up8(︵))的长等于⊙O的周长的eq\f(1,10)，求eq\o(AB,\s\up8(︵))的长．解：πcm.点拨精讲：利用eq\o(AC,\s\up8(︵))的长等于⊙O的周长的eq\f(1,10)求出eq\o(AC,\s\up8(︵))所对的圆心角，从而得出eq\o(AB,\s\up8(︵))所对的圆心角．二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)1．已知弓形的弧所对的圆心角∠AOB为120°，弓形的弦AB长为12，求这个弓形的面积．解：16π－12eq\r(3).点拨精讲：弓形的面积等于扇形面积减去三角形的面积．2．如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是cm，其中水面高cm，求截面上有水部分的面积．(精确到cm2)解：eq\f(24π＋9\r(3),100)≈(cm2)．点拨精讲：有水部分的面积等于扇形面积加三角形面积．3．如图，在同心圆中，两圆半径分别为2，1，∠AOB＝120°，求阴影部分的面积．解：S＝eq\f(240,360)(π×22－π×12)＝2π.4．已知正三角形的边长为a，求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．解：由直角三角形三边关系，得(eq\f(1,2)a)2＝R2－r2，S环＝πR2－πr2＝eq\f(1,4)πa2.点拨精讲：本题的结论可作为公式记忆运用．5．已知P，Q分别是半径为1的半圆圆周上的两个三等分点，AB是直径，求阴影部分的面积．解：eq\f(π,6).点拨精讲：连接OP，OQ，利用