小学生数学学习的思维结构的解析

小学生数学学习的思维结构的解析第一页，共三十九页，2022年，8月28日一、缘起学生数学学习中思维的自然结构可以理解为：学生为完成某学习任务，通过感知以及固有的知识和经验获得了完成这一任务所需的信息，并根据自己的经验空间将这些信息联系起来所自然形成的一种思维结构。学生数学学习中思维的加工结构可以理解为：完成这一任务的应然结构，即期望学生所形成的思维结构。

第二页，共三十九页，2022年，8月28日在教学中，低年级小学生利用思维的自然结构确定的算法却遭到了教师的否定，往往被认为是错误的。事实上，学生的这种自然结构从构成要素来看，它与教师期望的加工结构(标准算法)没有什么不同，只是先后顺序不同罢了。第三页，共三十九页，2022年，8月28日案例1：?37个第四页，共三十九页，2022年，8月28日本题的用意是：已知总量为7,其中一个部分量为3，求另一个部分量是多少。教师期望学生用减法计算，列式为:7-3=4而学生往往列出的算式为:4+3=7学生把减法算式却写成了加法算式。第五页，共三十九页，2022年，8月28日案例2：

树上有一些鸟，飞走了6只，还剩9只，树上原来有多少只天鸟?本题的意思是知道了“飞走”和“还剩”这两个部分量，求总量是多少。教师期望学生用加法“6+9=15”计算，可许多学生又偏偏列出减法算式“15-6=9”

第六页，共三十九页，2022年，8月28日我们发现：当问及学生答案时，学生往往能够说出题目的正确答案。通过这两则案例的回顾，可见低龄儿童在数学学习中思维所容易形成的自然结构，往往与教师期望的加工结构不同。第七页，共三十九页，2022年，8月28日

二、问题的提出1.导致这种现象发生的原因是什么呢？2.这个现象的背后是否隐藏着儿童的某种认知规律？3.当学生这样列式计算时，教师到底应当判错还是判对呢？

第八页，共三十九页，2022年，8月28日三、小学生思维的结构解析我们可以认为：小学生的认知过程分为三个阶段：第一是感知；第二是加工；第三是输出。输出受到感知和加工的影响，那么其中问题一定与感知和加工这两个阶段有关。

第九页，共三十九页，2022年，8月28日以上两则案例的共同特点是：学生写出来的算式中数的顺序与题目中阅读到信息的顺序是一致的。在第一个问题中，学生感知到的信息首先是“空篮子”，第二是“3个”，第三是“7”个，它们的关系应该是前二者的和等于第三者。即通过感知，学生在头脑中形成的思维结构是：

“口+3=7”由于数字相对简单，学生可以轻易算出“口”中是“4个”，因此头脑中就不再进行其他加工活动了，按照这个顺序直接就写出算式：“4+3=7”

第十页，共三十九页，2022年，8月28日第二个问题也类似，学生按照阅读顺序感知到信息的顺序是“原有—飞走—还剩”，它们之间的关系是第一个减去第二个等于第三个，相应的思维结构应是：“口－6=9”

按照这种顺序直接列出算式就是：“15－6=9”第十一页，共三十九页，2022年，8月28日

我们知道：人的阅读顺序通常是“从左向右，从上向下”。因此，输入到头脑中的信息也是有顺序的。这些信息和相应的顺序就在头脑中形成了一个自然的思维结构。其实，头脑对信息的加工是一个复杂的过程，其中一个重要内容就是根据需要对这样的结构进行调整。对于低龄儿童来说，头脑加工能力相对较弱，因此感知到的这种自然的思维结构就会对输出产生更大的影响。根据这样的分析，两则案例中学生所列算式也就不足为奇了。第十二页，共三十九页，2022年，8月28日如果我们把学生感知到的：“口+3=7”和“口－6=9”称为思维的“自然结构”，那么，教师所期望的“7－3=口”和“6+9=口”就叫做思维的“加工结构”。正是这两种结构中顺序的不一致才导致了产生这一“错误”的主要原因。第十三页，共三十九页，2022年，8月28日

小学低龄儿童认知过程中思维的自然结构形成的主要因素受到儿童当时固有的知识和经验空间的影响。儿童思维的自然结构往往与期望的加工结构是不同的，辨别其是否正确的主要依据应该是是否违背数学中的客观规律。第十四页，共三十九页，2022年，8月28日例如，对于“115X31”这样的两位数乘法。算法有：（教师）竖式标准算法（其依据的是乘法的意义或乘法对加法的分配律，即把“31个115相加”变为“1个115和30个115相加”，先算出“1个115”的结果，再算出“30个115”相加的结果，最后将两个结果相加。）第十五页，共三十九页，2022年，8月28日（学生的）算法:（与教师的算法不同，由于学生已经熟悉了乘法的意义：相同加数的和以及一个因数是整十数的乘法竖式，自然而然地在头脑中形成了一个自然结构，即先算出“30个115”，相加的结果，然后与“1个115”，相加

）（注意！在课堂上，这种算法遭到了教师的否定，被认为是错误的。

）第十六页，共三十九页，2022年，8月28日（学生的）高位算法。学生利用自然结构所做出的结果往往会遭到教师的否定，被判定为“错误”。这样不仅会打击学生学习的积极性和主动性，还可能会制约学生的思维发展。因此，需要进一步讨论这种自然结构正误的辨别标准的问题（以及铺地锦）第十七页，共三十九页，2022年，8月28日四、“错误”的合理性分析

这两种结构之间的差异往往就是学生学习过程中的难点。前面案例中反映出这两种结构在“信息”内容方面其实基本上是一致的，只是在构成方式或者排列顺序上不一致。因此在教学中应当把重点放在自然结构与加工结构之间的对比和转换方面，而能够做到这一点的前提是教师不仅要了解思维的加工结构，更应当了解学生可能形成的自然结构。第十八页，共三十九页，2022年，8月28日小学生数学学习中的“欲减却加，欲加又减”的现象，教师关于“对”与“错”一直也存在争议。认为“对”的主要理由是“这样列式的学生通常都能说出问题的正确答案，说明学生是明白这道题的数量关系，并且能够正确计算的”。认为“错”的主要理由是“学生没有分清题目中的已知和未知，应当把已知数写在等号左侧，把计算结果写在等号右侧”。第十九页，共三十九页，2022年，8月28日

事实上，一个问题中的“已知数”和“未知数”虽然是不同的，但在思考的过程中往往需要把二者统一起来。比如在学习“方程”的时候，就是用字母代替未知数，把它看成和已知数同样的数参与到运算之中。

第二十页，共三十九页，2022年，8月28日如果利用方程的知识解决以上的两个问题，就是用字母X表示未知数，根据题目叙述的自然顺序列出方程:“X+3=7”和““X－6=9”这实际上与前面案例中学生所列算式的顺序是一样的，就是说方程通常是按照思维的自然结构的顺序列出的。

第二十一页，共三十九页，2022年，8月28日另外，这种已知与未知的统一关系还经常体现于数学结论的推广方面。比如用任何具体的已知数都无法表示一般意义的长方形面积公式，一旦将具体的已知数用“未知”的字母来代替，更具普遍性的长方形面积公式“S=ab”就出现了。

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从更普遍的意义上说，研究一个问题的着力点应当放在数量关系方面，这样的数量关系可以有不同的表达方式，无论什么样的表达方式，“已知”和“未知”往往处于同等地位，放在什么位置上并不是最重要的事情。前面案例中学生利用思维的自然结构列出的算式实际上已经表达出了问题的数量关系，所以应当认为是正确的。第二十三页，共三十九页，2022年，8月28日至于“已知数应当写在等号左侧，计算结果应当写在等号右侧”，实际上是对等号的一种误解。为了说明这一点，我们先来介绍数学中的“等价关系”。用符号可以表示成下面三个条件：1.自身性，即：A=A；2.交换性，即：如果A=B，那么一定有B=A；3.传递性，即：如果A=B,B=C，那么，一定有A=C。第二十四页，共三十九页，2022年，8月28日“相等关系”自然也是一种等价关系。其中的交换性表明等号两侧是可以互换位置的，因此,所谓的“已知数应当写在等号左侧，计算结果应当写在等号右侧”的说法是不成立的，至多可以认为是人们约定俗成的一种习惯。从这个意义上说，应当承认前面案例中学生利用思维的自然结构的做法是正确的。第二十五页，共三十九页，2022年，8月28日五、小学生思维的自然结构的辨析

当遇到儿童的自然结构与期望的加工结构不一致的时候，一个重要问题就是如何从更广泛的意义上辨别儿童思维中自然结构的正误。这个问题直接关系到对数学知识的本体性理解。基于此作为辨别错误的标准，就需要进一步理解数学中“客观实际”的含义。小学生学习的数学内容依据其客观性和主观性可以分为三类。

第二十六页，共三十九页，2022年，8月28日第一类是：按照数学自身发展规律自然生成的内容。比如加法交换律a=b、b=a,它反映的是两种“加”的过程间的内在联系，是加法运算的自然规律。只要有加法的存在，这种规律就随之存在，不依人的意志为转移。再如，“平面上三角形三个内角和等于180度”，反映的是平面上三角形三个内角之间的内在联系，是平面上三角形的自然属性，只要是平面上的三角形都具有这种属性。

第二十七页，共三十九页，2022年，8月28日第二类是：依据数学自身发展的需要人为规定的内容。比如在有余数除法中规定“余数要比除数小”，这一规定并不是除法运算自然拥有的规律，而是为了保证运算结果的确定性所做出的规定。除法作为乘法的逆运算，“a÷b=qr”,正确与否，应当由a=b×q+r是否成立来判断。对于“7÷2”，在整数范围内可以有几种不同形式的结果，依据对应的乘法算式检验都是正确的，见下表：第二十八页，共三十九页，2022年，8月28日除法乘法7÷2=0……77=2×0+77÷2=1……57=2×1+57÷2=2……37=2×2+37÷2=3……17=2×3+1第二十九页，共三十九页，2022年，8月28日被除数和除数分别相等的除法运算，却得到不同的运算结果，像这种运算结果不确定的情况将会给以此为基础的数学推理带来麻烦。数学中经常需要下面形式的推理:

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如果没有“余数要比除数小”的规定，这种推理就无法进行了。因此，为了保证运算结的确定性，不得已做出“余数要比除数小”的规定。这种规定性的内容是人为的，是为了数学自身逻辑发展的需要。第三十一页，共三十九页，2022年，8月28日第三类是：依据人的某种需要或者习惯人为规定、约定俗成的内容。比如计算方法中的竖式，在没有电子计算机(器)的时代，为了减轻计算的思维负担，需要借助纸笔作为计算的工具。在此基础上，人们发明了多种多样的计算方法，经过长时间的使用与对比，把为多数人所接受的算法传承下来，作为后人学习的标准算法。虽然这些标准算法是依据数学中的规律形成的，但其更主要的特征是人为规定，目的在于方便。比如除法竖式起初就不是在的样子，而是把商写在被除数的右侧。

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再如概念的命名，把具有相同属性的一类对象冠以名称，这种名称也是人为规定的内容，命名的依据是使得词义尽可能反映概念的内涵和外延。对于“质数”这一概念，起初的命名叫做“数根”，后来演变为质数或者素数。前面所说的“已知数应当写在等号左侧，计算结果应当写在等号右侧”，仅仅是一种符合人们习惯的说法而已，不能够作为辨别正误的标准。第三十三页，共三十九页，2022年，8月28日

如果把第一类叫做“规律性知识”，第二类和第三类叫做“规则性知识”，可以概括其特征分别为，规律性知识具有较强的客观性，而规则性知识具有明显的主观特征。将辨别正误的标准局限于人的主观方面，显然是不恰当的。应当把这个标准定位于数学中的“客观实际”，也就是前面所说的“规律性内容”。第三十四页，共三十九页，2022年，8月28日

前面案例中学生思维的自然结构应当说没有违背任何数学中的规律，而仅仅与小学算术中约定俗成的“已知数写在等号左侧，计算结果写在等号右侧”不同。这种不同恰恰说明低龄儿童头脑中较少有人为规定的条条框框，这或许正是儿童创造性思维的基础，的确是需要积极保护、鼓励和引导的。第三十五页，共三十九页，2022年，8月28日六、初步的结论

不可否认，儿童思维中所形成的自然结构常常会出现错误，试图直接避免显然是不可行的。就好比医生在对病人采取治疗措施之前必须对病情进行诊断一样，只有对病情、病因有了准确的了解之后，才有可能实施有针对性的治