小升初奥数方程的妙用用方程解决应用题

小升初奥数方程的妙用用方程解决应用题第一页，共一百页，2022年，8月28日对应法(消去法)【知识要点】“对应”是解决数学问题时常用的一种方法，有很多应用题，给定的量所对应的数量关系是在变化的，为了使变化的数量看得更清楚些，可以把已知条件按照它们之间的对应关系排列出来，进行观察和分析，从而找到解题方法，这种解题的思维方法叫对应法。○＋○=△，△＋△＋△=□，则□=（）个○。像这样的应用题，有两个或两个以上的未知量，解题时通过一定的方法，消去一个未知量，只保留一个未知量，叫做消去问题。分析消去问题时可以先整理条件，比较出两个未知量的联系和区别，再解答。

1．把两个未知量中其中一个未知量转化成相等的量。

2．用消元的方法消去一个量。

3．先求出保留的未知量，再求出消去的未知量。第二页，共一百页，2022年，8月28日第三页，共一百页，2022年，8月28日

第四页，共一百页，2022年，8月28日第五页，共一百页，2022年，8月28日第六页，共一百页，2022年，8月28日第七页，共一百页，2022年，8月28日第八页，共一百页，2022年，8月28日第九页，共一百页，2022年，8月28日第十页，共一百页，2022年，8月28日第十一页，共一百页，2022年，8月28日第十二页，共一百页，2022年，8月28日第十三页，共一百页，2022年，8月28日例1：解方程组3x+2y=14①X=y+3②所以原方程组的解是x=4y=1解：将②代入①，得3（y+3）+2y=143y+9+2y=145y=5y=1将y=1代入②，得x=4

把求出的解代入原方程组，可以知道你解得对不对。

第十四页，共一百页，2022年，8月28日

2x+3y=16①

x+4y=13②解：由②，得x=13-4y③将③代入①，得2（13-4y）+3y=1626–8y+3y=16-5y=-10y=2将y=2代入③，得

x=5。所以原方程组的解是x=5，y=2。第十五页，共一百页，2022年，8月28日练习：解下列方程组y=2x①X+y=12②1.2.x+y=11①X-y=7②

做一做看看你掌握了吗？第十六页，共一百页，2022年，8月28日同学们：你从上面的学习中体会到解方程组的基本思路是什么吗？主要步骤有那些吗？主要步骤：

4.写解3.解2.代分别求出两个未知数的值写出方程组的解1.变用一个未知数的代数式表示另一个未知数消去一个未知数基本思路:消元:二元一元第十七页，共一百页，2022年，8月28日⑴

x+y=5①x-y=1②⑵2x+3y=40①x-y=-5②第十八页，共一百页，2022年，8月28日随堂练习：y=2x⑴x+y=12⑵x=—y-524x+3y=65⑶x+y=11x-y=7⑷3x-2y=9x+2y=3x=4y=8x=5y=15x=9y=2x=3y=0你解对了吗？第十九页，共一百页，2022年，8月28日

实验中学共有2576名学生，其中男生比女生多76名。问学校内有男、女学生各多少名？用一元一次方程解解：设女生有X名，则男生为（X+76）名。X+（X+76）=25762X+76=25762X=2576–762X=2500X=1250（名）X+76=1250+76=1326（名）经检验符合题意。答：学校内有男学生1325名，女学生1250名。用二元一次方程组解男+女=2576两个等量关系男-女=76解：设男生有X名，女生有Y名。X+Y=2576X–Y=76解得：X=1326Y=1250一、创设情境经检验符合题意。答：学校内有男学生1325名，女学生1250名。第二十页，共一百页，2022年，8月28日小芳在玩具厂上班,做3只小狗、5只小猫用3小时30分;做4只小狗、7只小猫用4小时50分,求平均做1只小狗与1只小猫各用多少时间?时间做1只小狗X分钟做一只小猫Y分钟共花时间第一次第二次次数3X4X5Y7Y3小时30分二、探求新知4小时50分第二十一页，共一百页，2022年，8月28日两个等量关系：做3只小狗的时间+做5只小猫的时间=3小时30分做4只小狗的时间+做7只小猫的时间=4小时50分二元一次方程组解应用题的步骤：

分析求解问题

方程（组）

解答抽象检验第二十二页，共一百页，2022年，8月28日家具厂生产一种餐桌，1m3木材可做5张桌面或30条桌腿。现在有25m3木材，应怎样分配木材，才能使生产出来的桌面和桌腿恰好配套（一张桌面配4张桌腿）？共可生产多少张餐桌？解：设用xm3木材生产桌面，用ym3木材生产桌腿，根据题意得x+y=255x×4=30y第二十三页，共一百页，2022年，8月28日第二十四页，共一百页，2022年，8月28日第二十五页，共一百页，2022年，8月28日1.行程问题:1.相遇问题:甲的路程+乙的路程=总的路程(环形跑道):甲的路程+乙的路程=一圈长2.追及问题:快者的路程-慢者的路程=原来相距路程(环形跑道):快者的路程-慢者的路程=一圈长3.顺逆问题:顺速=静速+水(风)速逆速=静速-水(风)速第二十六页，共一百页，2022年，8月28日1.小强和小明做算术题,小强将第一个加数的后面多写一个零,所得和是2342;小明将第一个加数的后面少写一个零,所得和是65.求原来的两个加数分别是多少?2.A、B两地相距36千米，甲从A地步行到B地，乙从B地步行到A地，两人同时相向出发，4小时后两人相遇，6小时后，甲剩余的路程是乙剩余路程的2倍，求二人的速度？第二十七页，共一百页，2022年，8月28日某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地,如果他以每小时50千米的速度行驶,就会迟到24分钟,如果他以每小时75千米的速度行驶,就会提前24分钟到达乙地,求甲、乙两地间的距离.、解：设甲、乙两地间的距离为S千米，规定时间为t小时,根据题意得方程组第二十八页，共一百页，2022年，8月28日甲、乙二人以不变的速度在环形路上跑步,如果同时同地出发,相向而行,每隔2分钟相遇一次;如果同向而行,每隔6分钟相遇一次.已知甲比乙跑得快,甲、乙每分钟各跑多少圈?解：设甲、乙二人每分钟各跑x、y圈，根据题意得方程组解得答:甲、乙二人每分钟各跑、圈，第二十九页，共一百页，2022年，8月28日5、小明骑摩托车在公路上匀速行驶，12:00时看到里程碑上的数是一个两位数，它的数字之和是7；13:00时看里程碑上的两位数与12:00时看到的个位数和十位数颠倒了；14:00时看到里程碑上的数比12:00时看到的两位数中间多了个零，小明在12:00时看到里程碑上的数字是多少？解:设小明在12:00时看到的数的十位数字是x，个位的数字是y，那么x+y=7(10y+x)-(10x+y)=(100x+y)-(10y+x)答:小明在12:00时看到的数字是16.x=1y=6解之:第三十页，共一百页，2022年，8月28日某学校现有甲种材料3５㎏,乙种材料29㎏,制作A.B两种型号的工艺品,用料情况如下表:需甲种材料需乙种材料1件A型工艺品0.9㎏0.3㎏1件B型工艺品0.4㎏

1㎏(1)利用这些材料能制作A.B两种工艺品各多少件?(2)若每公斤甲.乙种材料分别为8元和10元,问制作A.B两种型号的工艺品各需材料多少钱?2.图表问题第三十一页，共一百页，2022年，8月28日国内各汽车企业展开价格大战，汽车价格大幅下降，有些型号的汽车供不应求。某汽车生产厂接受了一份订单，要在规定的日期内生产一批汽车，如果每天生产35辆，则差10辆完成任务，如果每天生产40辆，则可提前半天完成任务，问订单要多少辆汽车，规定日期是多少天？3.总量不变问题解:设订单要辆x汽车，规定日期是y天,根据题意得方程组解这个方程组，得答：订单要220辆汽车，规定日期是6天第三十二页，共一百页，2022年，8月28日入世后，国内各汽车企业展开价格大战，汽车价格大幅下降，有些型号的汽车供不应求。某汽车生产厂接受了一份订单，要在规定的日期内生产一批汽车，如果每天生产35辆，则差10辆完成任务，如果每天生产40辆，则可提前半天完成任务，问订单要多少辆汽车，规定日期是多少天？3.总量不变问题解:设订单要辆x汽车，规定日期是y天,根据题意得方程组解这个方程组，得答：订单要220辆汽车，规定日期是6天第三十三页，共一百页，2022年，8月28日第三十四页，共一百页，2022年，8月28日4.销售问题:标价×折扣=售价售价-进价=利润利润率=第三十五页，共一百页，2022年，8月28日已知甲.乙两种商品的标价和为100元,因市场变化,甲商品打9折,乙商品提价5﹪,调价后,甲.乙两种商品的售价和比标价和提高了2﹪,求甲.乙两种商品的标价各是多少?答：甲种商品的标价是20元，乙种商品的标价是80元.解：设甲、乙两种商品的标价分别为x、y元，根据题意，得解这个方程组，得第三十六页，共一百页，2022年，8月28日第三十七页，共一百页，2022年，8月28日第三十八页，共一百页，2022年，8月28日第三十九页，共一百页，2022年，8月28日5、配套问题例：某车间每天能生产甲种零件120个，或者乙种零件100个，或者丙种零件200个，甲，乙，丙3种零件分别取3个，2个，1个，才能配一套，要在30天内生产最多的成套产品，问甲，乙，丙3种零件各应生产多少天？第四十页，共一百页，2022年，8月28日第四十一页，共一百页，2022年，8月28日第四十二页，共一百页，2022年，8月28日第四十三页，共一百页，2022年，8月28日

小明手头有12张面额分别是1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2、5元的纸币各多少张？

解：设1元、2元、5元的纸币分别是x张、y张、z张，根据题意可以得到下列三个方程:

x+y+z=12,x+2y+5z=22,x=4y.

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解：设1元、2元、5元的纸币分别是x张、y张、z张，根据题意可以得到下列三个方程:

x+y+z=12,x+2y+5z=22,x=4y.

活动1第四十五页，共一百页，2022年，8月28日第四十六页，共一百页，2022年，8月28日第四十七页，共一百页，2022年，8月28日第四十八页，共一百页，2022年，8月28日第四十九页，共一百页，2022年，8月28日第五十页，共一百页，2022年，8月28日第五十一页，共一百页，2022年，8月28日第五十二页，共一百页，2022年，8月28日第五十三页，共一百页，2022年，8月28日第五十四页，共一百页，2022年，8月28日第五十五页，共一百页，2022年，8月28日第五十六页，共一百页，2022年，8月28日第五十七页，共一百页，2022年，8月28日第五十八页，共一百页，2022年，8月28日第五十九页，共一百页，2022年，8月28日第六十页，共一百页，2022年，8月28日第六十一页，共一百页，2022年，8月28日第六十二页，共一百页，2022年，8月28日第六十三页，共一百页，2022年，8月28日第六十四页，共一百页，2022年，8月28日第六十五页，共一百页，2022年，8月28日第六十六页，共一百页，2022年，8月28日第六十七页，共一百页，2022年，8月28日第六十八页，共一百页，2022年，8月28日第六十九页，共一百页，2022年，8月28日第七十页，共一百页，2022年，8月28日第七十一页，共一百页，2022年，8月28日第七十二页，共一百页，2022年，8月28日第七十三页，共一百页，2022年，8月28日第七十四页，共一百页，2022年，8月28日第七十五页，共一百页，2022年，8月28日第七十六页，共一百页，2022年，8月28日第七十七页，共一百页，2022年，8月28日第七十八页，共一百页，2022年，8月28日第七十九页，共一百页，2022年，8月28日第八十页，共一百页，2022年，8月28日

知识点梳理1、列方程解应用题的方法

（1）综合法：先把应用题中已知数（量）和所设未知数（量）列成有关的代数式，再找出它们之间的等量关系，进而列出方程，这是从部分到整体的一种思维过程，其思考方向是从已知到未知。

（2）分析法：先找出等量关系，再根据具体建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，进而列出方程，这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知。第八十一页，共一百页，2022年，8月28日2、列方程解应用题的步骤：

（1）审题：弄清题意．找出等量关系：找出能够表示本题含义的相等关系．（2）设出未知数，列出方程：设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，（3）列出方程：然后利用已找出的等量关系列出方程．（4）解方程：解所列的方程，求出未知数的值．（5）检验：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际，（6）答案：检验后写出答案．第八十二页，共一百页，2022年，8月28日一、根据数量关系找相等关系。好多应用题都有体现数量关系的语句,即“…比…多…”、“…比…少…”、“…是…的几倍”、“…和…共…”等字眼，解题时只要找出这种关键语句，正确理解关键语句的含义，就能确定相等关系。例1：某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？相等关系：女生人数－男生人数＝80例2合唱队有80人，合唱队的人数比舞蹈队的3倍多15人，则舞蹈队有多少人？相等关系：舞蹈队的人数×3＋15＝合唱队的人数第八十三页，共一百页，2022年，8月28日例3在甲处劳动的有27人，在乙处劳动的有19人，现在另调20人去支援，使在甲处人数为在乙处的人数的2倍，应调往甲、乙两处各多少人？

审题：相等关系：调动后甲处人数＝调动后乙处人数×2

设未知数：解：设调x人到甲处，则调（20-x）人到乙处，由题意得：列方程

：

27+x=2(19+20-x)，解方程：解得x＝17检查：所以20-x＝20－17＝3（人）作答

：答：应调往甲处17人，乙处3人。第八十四页，共一百页，2022年，8月28日二、根据熟悉的公式找相等关系单价×数量＝总价，单产量×数量＝总产量，路程＝速度×时间，工作总量＝工作效率×工作时间，售价＝基本价×打折的百分数，利润＝售价－进价，利润＝进价×利润率，几何形体周长、面积和体积公式，都是解答相关方程应用题的工具。第八十五页，共一百页，2022年，8月28日例1：一件商品按成本价提高100元后标价，再打8折销售，售价为240元。求这件商品的成本价为多少元？

相等关系：（成本价＋100）×80%=售价例2：用一根长20cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？

相等关系：正方形的周长＝边长×4例3：一个梯形的下底比上底多2厘米，高是5厘米，面积是40c平方厘米，求上底。

相等关系：梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2第八十六页，共一百页，2022年，8月28日例4：商品进价1800元，原价2250元，要求以利润率为5%的售价打折出售，则此商品应打几折出售？

相等关系：售价－进价＝进价×利润率解：设最低可打x折。据题意有：2250x-1800=1800×5%解得x＝0.84

答：此商品应打8.4折。审题设未知数列方程解方程检查作答第八十七页，共一百页，2022年，8月28日三、根据总量等于各分量的和找相等关系即根据总量等于各分量之和来列出方程，用此法要注意分量不可有所遗漏。例1：甲种铅笔每支0.3元，乙种铅笔每支0.6元，用9元钱买了两种铅笔共20支，两种铅笔个买了多少支？相等关系：买甲种铅笔花的钱＋买乙种铅笔花的钱＝总共花的钱例2：把1400元奖学金按照两种奖项发给22名学生，其中一等奖每人200元，二等奖每人50元，获得一等奖的学生有多少？相等关系：发一等奖学金用的钱＋发二等奖学金用的钱＝总共的钱第八十八页，共一百页，2022年，8月28日例3：希腊数学家丢番图，他一生的六分之一是幸福的童年，十二分之一是无忧无虑的少年。再过去七分之一的年程，他建立了幸福的家庭。五年后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲岁数的一半。晚年丧子老人真可怜，悲痛之中度过了风烛残年。请你算一算，丢番图活到多大和死神见面？”相等关系：总年龄＝各部分年龄的和解：设丢番图活了x年。据题意可得：x=x/6+x/12+x/7+5+x/2+4解得x＝84答：丢番图共活了84岁。第八十九页，共一百页，2022年，8月28日四、用不同方法表示不变量找相等关系这类题目的解题原理是：如果一个不变的量能用两个不同的代数式表达，则这两个代数式必然相等。这就要求我们找到这个量，可以根据题中的“比值一定”、“积一定”、“速度一定”等相关语句来找。例1：汽车匀速行驶途径王家庄、青山、秀水三地，翠湖在青山、秀水两地之间，距青山50千米，距秀水70千米。王家庄到翠湖的路程有多远？相等关系：王家长到秀水路段的速度＝青山到秀水路段的行车速度例2：种一批树苗，如果每人种10棵，则剩6棵树苗未种；如果每人种12棵，则缺6棵树苗，有多少人种树？例3：把一些糖果分给某班学生，如果每人分3个，则剩余20个，如果没人分4个，则还缺25个。这个班共有多少学生？第九十页，共一百页，2022年，8月28日五、根据事情发展的顺序找相等关系有些题目的相等关系需要根据事情发展顺序才可以找到相等关系。比如：原有的－用去的=还剩的，又如：付出的－用去的=还剩的，原有的＋运来的=现在的。例1：一台计算机已使用1700小时，预计每月再使用150小时，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时？相等关系：已使用时间＋预计使用时间＝规定检修时间第九十一页，共一百页，2022年，8月28日例2：今年我国城镇居民平均可支配收入为5109元，比去年增长8.3%，去年这项收入为多少？相等关系：

去年这项收入＋增加的收入＝今年这项收入例3：一辆汽车已行驶了12000km，计划每月在行驶800km，几个月后这辆汽车将行使20800km？相等关系：已行驶路程＋预计行驶路程＝20800第九十二页，共一百页，2022年，8月28日未知数的设法

一、有比较关系时，如甲比乙多8，我们一般设较小的为x，这样计算时主要用的是加法不易出错；二、有倍数关系时，如数学小组人数是英语小组的5倍，我们设一倍量为x，用乘法表示其余量利于计算；三、在分数应用题中，我们设单位“1”为x；四、在有比的问题中，我们设一份数为x；五、在有和的问题中，我们设其中任意一个为x都可以，比如说两个班共有50人，设其中一个班有x人。第九十三页，共一百页，2022年，8月28日典型例题精讲（生活中问题）例1.有两根绳子，第一根长56cm，第二根长36cm,同时点燃后，平均每分钟都烧掉2cm,多少分钟后，第一根绳子的长度是第二根绳子长度的3倍。

解：设X分钟后第一根绳子的长度是第二根绳子长度的3倍。根据题意列方程得：56-2X=3(36-2X)X=13

答：13分钟后第一根绳子的长度是第二根绳子长度的3倍。第九十四页，共一百页，2022年，8月28日趣味数学例2.同学们参加野炊，一位同学到负责后勤的老师领碗，老师问他领多少，他说领55个，又问他多少人吃饭，他说一人一个饭碗，两人一个菜碗，三人一个汤碗，问这名同学给多少人领碗？

解:设这名同学给X个同学领碗.根据题意列方程得：

X=30答：这名同学给30个同学领碗。第九十五页，共一百页，2022年，8月28日

鸡兔同笼问题例3.鸡兔同笼，鸡比兔多10只，共有脚110只，求鸡兔各有几只？方法一：鸡比兔多10只，假设兔加上10只就和鸡一样多了，这样要加上40只脚，总共150只脚。然后一对一配对，每对里有一只鸡和一只兔子，共6只脚。共配了多少对，