初中数学人教版九年级上册第二十四章圆2圆的有关性质 省一等奖

-1与圆有关的概念人教九上一、学习目标1．认识圆，掌握圆的特征；2．理解同圆中直径与半径的关系；3．学会用圆规正确画圆.二、知识回顾1．说出生活中与圆有关的物体.车轮、碗底、柱子、方向盘、硬币等.思考：车轮为什么做成圆形？车轮设计成圆的，可以让车轮轴（圆心）到地面的距离不变，不至于颠簸.2．小花、小强、小彬三人相邀掷飞镖比赛.他们把靶子钉在一面土墙上，规则是谁掷出落点离红心越近，谁就胜.如下图中A、B、C三点分别是他们三人某一轮掷镖的落点，你认为这一轮中谁的成绩好？三、新知讲解1．圆的有关概念=1\*GB3①圆的定义有两种表达形式：如图，在平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点A所形成的图形叫做圆，记作“”，读作“圆O”．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径.圆心为O，半径为r的圆可以看成是是平面内所有到定点O的距离等于定长r的点的集合.=2\*GB3②连接圆上任意两点的线段叫做弦.=3\*GB3③通过圆心的弦叫做直径.=4\*GB3④圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.=5\*GB3⑤圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆.=6\*GB3⑥大于半圆的弧叫做优弧.=7\*GB3⑦小于半圆的弧叫做劣弧.=8\*GB3⑧能够重合的两个圆叫做等圆.在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.2．圆的内部、外部圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合.圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合.四、典例探究扫一扫，有惊喜哦！1．根据圆的基本概念判断说法正误【例1】（2015春•张掖校级月考）有下列四个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆．其中错误说法的个数是（）A．1B．2C．3D．4总结：与圆有关的概念我们要注意以下几点：1.确定圆的条件是圆心与半径.2.直径是弦，直径是圆内最长的弦.弦不一定是直径，只有过圆心的弦才是直径.3.半圆是弧，但弧不一定是半圆.练1．（2014秋•梁子湖区期末）车轮要做成圆形，实际上就是根据圆的特征（）A．圆上各点到圆心的距离相等B．直径是圆中最长的弦C．同弧所对的圆周角相等D．圆是中心对称图形2．求证正方形四个顶点共圆【例2】正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.求证：A，B，C，D四个点在以O为圆心的同一个圆上．总结：证明四点共圆，关键是说明这四点到圆心的距离相等.常见的四点共圆的情况如下：矩形的四个顶点共圆；正方形的四个顶点共圆；有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆；对角互补的凸四边形的四个顶点共圆.练2．已知矩形的两边长分别为6和8，则矩形的四个顶点在以_____为圆心，以______为半径的圆上．3．利用同圆半径相等求解【例3】（2014秋•中山月考）如图，在Rt△ABC中，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，∠BCD=40°，则∠A=_______．总结：根据同圆半径相等可得出等腰三角形，根据等腰三角形两底角相等，或结合三角形外角的性质、三角形内角和定理即可求得角的度数.练3．（2011秋•江宁区校级期中）如图，BD=OD，∠AOC=114°，求∠AOD的度数．五、课后小测一、选择题1．（2014•长宁区一模）下列说法中，结论错误的是（）A．直径相等的两个圆是等圆B．长度相等的两条弧是等弧C．圆中最长的弦是直径D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧2．（2014秋•泰州校级期中）下列说法中，结论错误的是（）A．直径相等的两个圆是等圆B．三角形的外心是这个三角形三条角平分线的交点C．圆中最长的弦是直径D．一条弦把圆分成两条弧，这两条弧可能是等弧3．把圆的半径缩小到原来的，那么圆的面积缩小到原来的（）A．B．C．D．4．半径为5的圆的一条弦长不可能是（）A．3B．5C．10D．125．（2015•茂名模拟）如图，已知OA，OB均为⊙O上一点，若∠AOB=80°，则∠ACB=（）A．80°B．70°C．60°D．40°6．（2010秋•张家港市校级月考）过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为（）A．1条B．2条C．3条D．无数条二、填空题7．（2014秋•天河区校级期中）如图，⊙O的半径为4cm，∠AOB=60°，则弦AB的长为______cm．8．（2014秋•丹阳市校级月考）如图，在⊙O中，点A、O、D和点B、O、C分别在一条直线上，图中共有________条弦，它们分别是______________________.9．（2010秋•邗江区期末）已知⊙O的半径为5，圆心在坐标原点，位于第二象限的该圆上的一点P的横坐标和纵坐标均为整数．则点P的坐标为________．（写出一个即可）10．圆的半径为3，则弦AB长度的取值范围是_______．三、解答题11．（2012春•翁源县校级月考）如图，AB、AC为⊙O的弦，连接CO、BO并延长分别交弦AB、AC于点E、F，∠B=∠C．求证：CE=BF．12．（2014•集美区一模）如图，在⊙O中，，∠A=40°，求∠B的度数．13．（2012秋•邗江区期中）如图，半圆O的直径AB=8，半径OC⊥AB，D为弧AC上一点，DE⊥OC，DF⊥OA，垂足分别为E、F，求EF的长．14．如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一点，∠DOB=75°，DC交BA的延长线于E，交半圆于C，且CE=AO，求∠E的度数．

典例探究答案：【例1】【解析】根据弦的定义、弧的定义、以及确定圆的条件即可解决．解：①圆确定的条件是确定圆心与半径，是假命题，故此说法错误；②直径是弦，直径是圆内最长的弦，是真命题，故此说法正确；③弦是直径，只有过圆心的弦才是直径，是假命题，故此说法错误；④半圆是弧，但弧不一定是半圆，圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫半圆，所以半圆是弧．但比半圆大的弧是优弧，比半圆小的弧是劣弧，不是所有的弧都是半圆，是真命题，故此说法正确．其中错误说法的是①③两个．故选：B．【点评】本题考查弦与直径的区别，弧与半圆的区别，及确定圆的条件，不要将弦与直径、弧与半圆混淆．练1．【解析】根据车轮的特点和功能进行解答．解：车轮做成圆形是为了在行进过程中保持和地面的高度不变，是利用了圆上各点到圆心的距离相等，故选A．【点评】本题考查了对圆的基本认识，即墨经所说：圆，一中同长也，属于基础知识，难度较小．【例2】【解析】要说明几个点共圆的问题，只需证明这几个点到同一个点的距离相等，此题可以充分运用正方形的性质进行证明．证明：∵四边形ABCD为正方形，∴OA=OC=AC，OB=OD=BD，AC=BD.∴OA=OB=OC=OD.∴A，B，C，D四个点在以O为圆心的同一个圆上.【点评】此题考查了点和圆的位置关系，要掌握证明几点共圆的方法：即证明这些点到同一个点的距离相等．练2．【解析】因矩形的对角线是圆的直径．所以两条对角线的交点为圆心，半径为5．解：在矩形ABCD中，根据勾股定理求得：AC=BD==10，则OA=OC=OB=OD=5．如图，∵∠ABC=∠ADC=90°，∴AC是直径，即矩形ABCD的四个顶点在以对角线交点为圆心，以5为半径的圆上．故答案是：对角线交点；5．【点评】本题考查了点与圆的位置关系．根据圆周角定理推知AC为直径是解题的关键．【例3】【解析】由半径相等得CB=CD，则∠B=∠CDB，在根据三角形内角和计算出∠B=（180°﹣∠BCD）=70°，然后利用互余计算∠A的度数．解：∵CB=CD，∴∠B=∠CDB，∵∠B+∠CDB+∠BCD=180°，∴∠B=（180°﹣∠BCD）=（180°﹣40°）=70°，∵∠ACB=90°，∴∠A=90°﹣∠B=20°．故答案为20°．【点评】本题考查了同圆半径相等．练3．【解析】设∠B=x，根据等腰三角形的性质，由BD=OD得∠DOB=∠B=x，再根据三角形外角性质得∠ADO=2x，则∠A=∠ADO=2x，然后根据三角形外角性质得2x+x=114°，解得x=38°，最后利用三角形内角和定理计算∠AOD的度数．解：设∠B=x，∵BD=OD，∴∠DOB=∠B=x，∴∠ADO=∠DOB+∠B=2x，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO=2x，∵∠AOC=∠A+∠B，∴2x+x=114°，解得x=38°，∴∠AOD=180°﹣∠OAD﹣∠ADO=180°﹣4x=180°﹣4×38°=28°．【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等腰三角形的性质．课后小测答案：一、选择题1．【解析】利用圆的有关定义进行判断后利用排除法即可得到正确的答案；解：A、直径相等的两个圆是等圆，正确，不符合题意；B、长度相等的两条弧圆周角不一定相等，它们不一定是等弧，原题的说法是错误的，符合题意；C、圆中最长的弦是直径，正确，不符合题意；D、一条直径把圆分成两条弧，这两条弧是等弧，正确，不符合题意，故选：B．【点评】本题考查了圆的认识，了解圆中有关的定义及性质是解答本题的关键．2．【解析】根据等圆的定义对A进行判断；根据三角形外心的定义对B进行判断；根据直径的定义对C进行判断；根据等弧的定义对D进行判断．解：A、直径相等的两个圆是等圆，所以A选项的说法正确；B、三角形的外心是这个三角形三边的中垂线的交点，所以B选项的说法错误；C、圆中最长的弦是直径，所以C选项的说法正确；D、一条直径弦圆分成两条弧，这两条弧是等弧，所以D选项的说法正确．故选：B．【点评】本题考查了圆的认识：与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了矩形的性质．3．【解析】因为圆的面积公式是：s=πr2，所以圆的面积和此圆半径的平方有关系，设出原圆的半径，再表示出现在圆的半径代入公式求解即可．解：设原来的圆的半径为r，则面积s1=πr2，∴缩小到原来的后，s2=π（r）2=πr2，∴．故选：D．【点评】本题考查了圆的面积公式，在公式中：圆的面积和半径的平方成正比．4．【解析】根据圆中最长的弦为直径求解．解：因为圆中最长的弦为直径，所以弦长L≤10．故选：D．【点评】圆的弦长的取值范围0＜L≤10．5．【解析】由同弧所对的圆心角和圆周角的关系可得，∠AOB=2∠ACB，则结果即可得出．解：由题意得，∠ACB=∠AOB=×80°=40°．故选：D．【点评】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，重点是圆周角定理的应用．6．【解析】由于直径是圆的最长弦，经过圆心的弦是直径，两点确定一条直线，所以过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为一条．解：圆的最长的弦是直径，直径经过圆心，过圆上一点和圆心可以确定一条直线，所以过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为一条．故选A．【点评】本题考查了直径和弦的关系，直径是弦，弦不一定是直径，直径是圆内最长的弦．二、填空题7．【解析】利用半径相等可判断△OAB为等边三角形，然后根据等边三角形的性质易得AB=4cm．解：∵OA=OB，而∠AOB=60°，∴△OAB为等边三角形，∴AB=OA=4cm．故答案为4．【点评】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．也考查了等边三角形的判定与性质．8．【解析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案．解：图中的弦有AE，DC，AD共三条，故答案为：三，AE，DC，AD．【点评】本题考查圆的认识，理解弦的定义是解决本题的关键．9．【解析】设P的坐标是（x，y），根据勾股定理得出方程，求出方程的一组解即可．解：设P的坐标是（x，y），根据题意和勾股定理得出x2+y2=52，x=3，y=4满足上式，∵P在第二象限，∴P（﹣3，4）．故答案为：（﹣3，4）．【点评】本题主要考查对点与圆的位置关系，坐标与图形性质，勾股定理等知识点的理解和掌握，能根据题意得出方程是解此题的关键．10．【解析】直径是圆内最长的弦，则AB可能是直径，从而不难得到其取值范围．解：圆的半径为3，则弦中最长的弦即直径的长度是6，因而弦AB长度的取值范围是0＜AB≤6．【点评】圆中的最长的弦是直径是解决本题的关键．三、解答题11．【解析】证明△BOE≌△COF，即可得到OE=OF，从而根据等式的性质得到CE=BF．解：∵在△BOE和△COF中，，∴△BOE≌△COF（ASA），∴OE=OF，又∵OB=OC∴CE=BF．【点评】本题考查了圆的基本概念，以及全等三角形的判定与性质，正确证明两个三角形全等是关键．12．【解析】根据在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等