初中数学北师大版九年级上册第四章　图形的相似 优秀奖

专训3利用相似三角形巧证线段的数量和位置关系名师点金：判断两线段之间的数量和位置关系是几何中的基本题型之一．由角的关系推出“平行或垂直”是判断位置关系的常用方法，由相似三角形推出“相等”是判断数量关系的常用方法．证明两线段的数量关系eq\a\vs4\al(类型1)证明两线段的相等关系1．如图，在△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，直线AO与BC边交于点M，与DE交于点N.求证：BM＝MC.(第1题)eq\a\vs4\al(类型2)证明两线段的倍分关系2．如图，AM为△ABC的角平分线，D为AB的中点，CE∥AB，CE交DM的延长线于E.求证：AC＝2CE.(第2题)证明两线段的位置关系eq\a\vs4\al(类型1)证明两线段平行3．在△ABC中，D，E，F分别为BC，AB，AC上的点，连接DE，EF，FD，且EF∥BC，DF∥AB，连接CE和AD，分别交DF，EF于点N，M，连接MN.(1)如图①，若E为AB的中点，图中与MN平行的直线有哪几条？并说明理由．(2)如图②，若E不为AB的中点，写出与MN平行的直线，并说明理由．(第3题)eq\a\vs4\al(类型2)证明两线段垂直4．如图，已知矩形ABCD，AD＝eq\f(1,3)AB，点E，F把AB三等分，DF交AC于点G，求证：EG⊥DF.(第4题)答案1．证明：∵DE∥BC，∴∠NEO＝∠MBO，∠ENO＝∠BMO.∴△NEO∽△MBO.∴eq\f(NE,MB)＝eq\f(ON,OM).同理可得eq\f(DN,MC)＝eq\f(ON,OM).∴eq\f(DN,MC)＝eq\f(NE,BM).∴eq\f(DN,NE)＝eq\f(MC,BM).∵DE∥BC，∴∠ANE＝∠AMC，∠AEN＝∠ACM.∴△ANE∽△AMC.∴eq\f(AN,AM)＝eq\f(NE,MC).同理可得eq\f(AN,AM)＝eq\f(DN,BM).∴eq\f(DN,BM)＝eq\f(NE,MC).∴eq\f(DN,NE)＝eq\f(BM,MC).∴eq\f(MC,BM)＝eq\f(BM,MC).∴MC2＝BM2.∴BM＝MC.2．证明：如图，延长CE，交AM的延长线于F.∵AB∥CF，∴∠BAM＝∠F.易知△BDM∽△CEM，△BAM∽△CFM，∴eq\f(BD,CE)＝eq\f(BM,MC)，eq\f(BA,CF)＝eq\f(BM,MC).∴eq\f(BD,CE)＝eq\f(BA,CF).又∵BA＝2BD，∴CF＝2CE.又AM平分∠BAC，∴∠BAM＝∠CAM.∴∠CAM＝∠F.∴AC＝CF.∴AC＝2CE.(第2题)3．解：(1)MN∥AC∥ED.理由如下：由EF∥BC，易知△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC.∴eq\f(EM,BD)＝eq\f(AM,AD)＝eq\f(MF,DC).∵E为AB的中点，EF∥BC，∴F为AC的中点．又∵DF∥AB，∴D为BC的中点．∴BD＝CD.∴EM＝MF.∵F为AC的中点，FN∥AE，∴N为EC的中点．从而MN∥AC.又∵D为BC的中点，E为AB的中点，∴ED∥AC.∴MN∥AC∥ED.(2)MN∥AC.理由如下：由EF∥BC，易得△AEM∽△ABD，△AMF∽△ADC.∴eq\f(EM,BD)＝eq\f(AM,AD)＝eq\f(MF,DC).∴eq\f(EM,MF)＝eq\f(BD,DC).又∵DF∥AB，∴eq\f(BD,DC)＝eq\f(EN,NC).∴eq\f(EM,MF)＝eq\f(EN,NC).∴eq\f(EM,EF)＝eq\f(EN,EC).又∵∠MEN＝∠FEC，∴△MEN∽△FEC.∴∠EMN＝∠EFC.∴MN∥AC.4．证明：∵AD＝eq\f(1,3)AB，点E，F把AB三等分，∴设AE＝EF＝FB＝AD＝k(k>0)，则AB＝CD＝3k.∵CD∥AB，∴∠DCG＝∠FAG，∠CDG＝∠AFG.∴△AFG∽△CDG.∴eq\f(FG,DG)＝eq\f(AF,CD)＝eq\f(2,3).设FG＝2m，则DG＝3m，∴DF＝FG＋DG＝2m＋3m＝5m.在Rt△AFD中，DF2＝AD2＋AF2＝5k2，∴DF＝eq\r(5)k.∴5m＝eq\r(5)k.∴m＝eq\f(\r(5),5)k.∴FG＝eq\f(2,5)eq\r(5)k.∴eq\f(AF,FG)＝eq\f(2k,\f(2,5)\r(5)k)＝eq\r(5)，eq\f(DF,