初中相似三角形基本知识点和经典例题

初三相像三角形知识点与经典题型知识点1有关相像形的见解(1)形状相同的图形叫相像图形，在相像多边形中，最简单的是相像三角形.假如两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比率，这两个多边形叫做相像多边形．相像多边形对应边长度的比叫做相像比(相像系数)．知识点2比率线段的有关见解（1）假如采纳同一单位量得两条线段a,b的长度分别为m,n，那么就说这两条线段的比是ambn，或写成a:bm:n．注：在求线段比时，线段单位要一致。的比，那么这四条线段a,b,c,d叫做成比率线段，（）在四条线段a,b,c,d中，假如a和b的比等于c和d2简称比率线段．注：①比率线段是有序次的，假如说a是b,c,d的第四比率项，那么应得比率式为：bd．②在比率式ac(a：bcac：d)中，a、d叫比率外项，b、c叫比率内项,a、c叫比率前项，b、d叫比率后bd此时有b2项，d叫第四比率项，假如b=c，即a：bb：d那么b叫做a、d的比率中项，ad。（3）黄金切割：把线段AB分红两条线段AC,BC(ACBC)，且使AC是AB和BC的比率中项，即AC2ABBC，叫做把线段AB黄金切割，点C叫做线段AB的黄金切割点，此中AC51AB≈20.618AB．即ACBC51简记为：长＝短＝51ABAC2全长2注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形知识点3比率的性质（注意性质立的条件：分母不可以够为0）（1）基天性质：①a:bc:dadbc；②a:bb:cb2ac．adbc，除注：由一个比率式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比率式，如了可化为a:bc:d，还可化为a:cb:d，c:da:b，b:da:c，b:ad:c，c:ad:b，d:cb:a，d:bc:a．ab，互换内项)cd（2）更比性质(互换比率的内项或外项)：acd()c，互换外项bdbadb．同时互换内外项)ca（3）反比性质(把比的前项、后项互换)：acbd．bdac（4）合、分比性质：acabcd．bdbd注：实质上，比率的合比性质可扩展为：比率式中等号左右两个比的前项，后项之间badc发生相同和差变化比率仍成立．如：acac等等．bdabcdabcd（5）等比性质：假如acem(bdfn0)，那么acema．bdfnbdfnb注：①此性质的证明运用了“设k法”（即引入新的参数k）这样能够减少未知数的个数，这类方法是有关比率计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母能否为零．③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：acea2c3ea2c3ea；此中b2d3f0．bdfb2d3fb2d3fb知识点4比率线段的有关定理1.三角形中平行线分线段成比率定理:平行于三角形一边的直线截其余两边(或两边的延伸线)所得的对应线段成比率.A由DE∥BC可得：ADAE或BDEC或ADAEDBECADEAABAC

DE注：BC①重要结论：平行于三角形的一边,并且和其余两边订交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比．．．．．．．．．．．．例.②三角形中平行线分线段成比率定理的逆定理：假如一条直线截三角形的两边(或两边的延伸线)所得的对应线段成比率.那么这条直线平行于三角形的第三边.此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：利用比率式证平行线.③平行线的应用：在证明有关比率线段时，协助线常常做平行线,但应依据的原则是不要损坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.2.平行线分线段成比率定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比率.AD已知AD∥BE∥CF,BE可得ABDEABDEBCEFBCEFABBCCFBCEF或DF或或AC或DE等.ACABDEDFEF注：平行线分线段成比率定理的推论：平行线均分线段定理：两条直线被三条平行线所截，假如在此中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。知识点5相像三角形的见解对应角相等，对应边成比率的三角形，叫做相像三角形．相像用符号“∽”表示，读作“相像于”．相像三角形对应边的比叫做相像比(或相像系数)．相像三角形对应角相等，对应边成比率．注：①对应性：即两个三角形相像时，必定要把表示对应极点的字母写在对应地点上，这样写比较简单找到相像三角形的对应角和对应边．②序次性：相像三角形的相像比是有序次的．③两个三角形形状相同，但大小不用然相同．④全等三角形是相像比为1的相像三角形．两者的差别在于全等要求对应边相等，而相像要求对应边成比率．知识点6三角形相像的等价关系与三角形相像的判判断理的预备定理相像三角形的等价关系：①反身性：关于任一ABC有ABC∽ABC．②对称性：若ABC∽A'B'C'③传达性：若ABC∽A'B'C

，则，且

A'B'C'A'B'C

ABC．ABC，则ABC∽ABC三角形相像的判判断理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其余两边(或两边延伸线)订交，所构成的三角形与原三角形相像．定理的基本图形：AA

EDADEBCBCDEBC(3)(1)(2)用数学语言表述是：DE//BC，∴ADE∽ABC．知识点7三角形相像的判断方法1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比率的两个三角形相像．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其余两边(或两边的延伸线)订交，所构成的三角形与原三角形相像．3、判判断理1：假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相像．简述为：两角对应相等，两三角形相像．4、判判断理2：假如一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比率，并且夹角相等，那么这两个三角形相像．简述为：两边对应成比率且夹角相等，两三角形相像．5、判判断理3：假如一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比率，那么这两个三角形相像．简述为：三边对应成比率，两三角形相像．6、判断直角三角形相像的方法：以上各样判断均合用．(2)假如一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比率，那么这两个直角三角形相像．直角三角形被斜边上的高分红的两个直角三角形与原三角形相像．注：射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比率中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比率中项。A如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高，则AD2=BD·DC，AB2=BD·BC，AC2=CD·BC。BCD知识点8相像三角形常有的图形1、下边我们来看一看相像三角形的几种基本图形：（1）如图：称为“平行线型”的相像三角形（有“A型”与“X型”图）AADEBCBCDE(1)(2)EDABC(3)如图：此中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相像三角形。（有“反A共角型”、“反A共角共边型”、“蝶型”）AAD1EE4E1AD1D2C22CBC（3）BB）”“三垂直型”）如图：称为“垂直型”（有“双垂直共角型”、“双垂直共角共边型（也称“射影定理型”AAEEBDEBCC(D)ACDBA(4)如图：∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相像三角形。D21E2、几种基本图形的详细应用：BC1）若DE∥BC（A型和X型）则△ADE∽△ABC（2）射影定理若CD为Rt△ABC斜边上的高（双直角图形）222则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC=AD·AB，CD=AD·BD，BC=BD·AB；AEDCDEABCBCADB2（3）知足1、AC=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可判断△ADC∽△ACB．（4）当ADAE或AD·AB=AC·AE时，△ADE∽△ACB．ACABAADDEBCBC知识点9：全等与相像的比较：三角形全等三角形相像两角夹一边对应相等(ASA)相像判断的预备定理两角一对边对应相等(AAS)两角对应相等两边及夹角对应相等(SAS)两边对应成比率，且夹角相等三边对应相等(SSS)三边对应成比率直角三角形中向来角边与斜边对应相等(HL)直角三角形中斜边与向来角边对应成比率知识点10相像三角形的性质相像三角形对应角相等，对应边成比率．相像三角形对应高的比，对应中线的比和对应角均分线的比都等于相像比．相像三角形周长的比等于相像比．相像三角形面积的比等于相像比的平方．注：相像三角形性质可用来证明线段成比率、角相等，也可用来计算周长、边长等．知识点11相像三角形中有关证（解）题规律与协助线作法1、证明四条线段成比率的常用方法：线段成比率的定义三角形相像的预备定理利用相像三角形的性质利用中间比等量代换利用面积关系2、证明题常用方法概括：1）整体思路:“等积”变“比率”，“比率”找“相像”找相像：经过“横找”“竖看”找寻三角形，即横向看或纵向找寻的时候一共各有三个不一样样的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够构成三角形，并且有可能是相像的，则可证明这两个三角形相像，此后由相像三角形对应边成比率即可证的所需的结论.(3)找中间比：若没有三角形(即横向看或纵向找寻的时候一共有四个字母或许三个字母，但这几个字母在同一条直线上)，则需要进行“转移”(或“取代”)，常用的“取代”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代换.即：找相像找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。①am,cm(m为中间比)②am,cm,nn'bndnnbndn'③am,cm'(mm',nn'或mm')bndn'nn'(4)增添协助线：若上述方法还不可以够见效的话，能够考虑增添协助线(平常是增添平行线)构成比率.以上步骤能够不停的重复使用，直到被证结论证出为止.注：增添协助平行线是获取成比率线段和相像三角形的重要门路。平面直角坐标系中平常是作垂线（即得平行线）结构相像三角形或比率线段。（5）比率问题：常用办理方法是将“一份”看着k;关于等比问题，常用办理方法是设“公比”为k。（6）．关于复杂的几何图形，平常采纳将部分需要的图形（或基本图形）“分别”出来的方法办理。知识点12相像多边形的性质相像多边形周长比，对应付角线的比都等于相像比．相像多边形中对应三角形相像，相像比等于相像多边形的相像比．相像多边形面积比等于相像比的平方．注意：相像多边形问题常常要转变成相像三角形问题去解决，所以，娴熟掌握相像三角形知识是基础和重点．知识点13位似图形有关的见解与性质及作法假如两个图形不只是相像图形，并且每组对应极点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形.这个点叫做位似中心，这时的相像比又称为位似比.注：（1）位似图形是相像图形的特例，位似图形不只相像，并且对应极点的连线订交于一点（2）位似图形必定是相像图形，但相像图形不用然是位似图形.（3）位似图形的对应边相互平行或共线.

.3.位似图形的性质：

位似图形上随意一对对应点到位似中心的距离之比等于相像比

.注：位似图形拥有相像图形的全部性质.4.画位似图形的一般步骤：（1）确立位似中心（位似中心能够是平面中随意一点）（2）分别连结原图形中的重点点和位似中心，并延伸（或截取）.（3）依据已知的位似比，确立所画位似图形中重点点的地点.（4）挨次连结上述获取的重点点，即可获取一个放大或减小的图形.①②③④⑤注：①位似中心能够是平面内随意一点，该点可在图形内，或在图形外，或在图形上（图形边上或极点上）。②外位似：位似中心在连结两个对应点的线段以外，称为“外位似”（即同向位似图形）③内位似：位似中心在连结两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形）5）在平面直角坐标系中，假如位似变换是以原点O为位似中心，相像比为k（k>0）,原图形上点的坐标为x,y）,那么同向位似图形对应点的坐标为(kx,ky),反向位似图形对应点的坐标为(-kx,-ky),经典例题透析种类一、相像三角形的见解1．判断对错：两个直角三角形必定相像吗？为何？两个等腰三角形必定相像吗？为何？两个等腰直角三角形必定相像吗？为何？两个等边三角形必定相像吗？为何？两个全等三角形必定相像吗？为何？思路点拨：要说明两个三角形相像，要同时知足对应角相等，对应边成比率.要说明不相像，则只需否认其中的一个条件.解：(1)不用然相像.反例直角三角形只确立一个直角，其余的两对角可能相等，也可能不相等.所以直角三角形不用然相像.不用然相像.反例等腰三角形中只有两边相等，而底边不固定.所以两个等腰三角形中有两边对应成比率，两底边的比不用然等于对应腰的比，所以等腰三角形不用然相像.必定相像.在直角三角形ABC与直角三角形A′B′C′中设AB=a，A′B′=b，则BC=a，B′C′=b，AC=a，A′C′=b∴ABC∽A′B′C′必定相像.由于等边三角形各边都相等，各角都等于60度，所以两个等边三角形对应角相等，对应边成比率，所以两个等边三角形必定相像.必定相像.全等三角形对应角相等，对应边相等，所以对应边比为1，所以全等三角形必定相像，且相像比为1.贯串交融【变式1】两个相像比为1的相像三角形全等吗？分析：全等.由于这两个三角形相像，所以对应角相等.又相像比为1，所以对应边相等.所以这两个三角形全等.总结升华：由上可知，在特其余三角形中，有的相像，有的不用然相像.(1)两个直角三角形，两个等腰三角形不用然相像.(2)两个等腰直角三角形，两个等边三角形必定相像.(3)两个全等三角形必定相像，且相像比为1；相像比为1的两个相像三角形全等.【变式2】以下能够相像的一组三角形为( )A.全部的直角三角形B.全部的等腰三角形C.全部的等腰直角三角形D.全部的一边和这边上的高相等的三角形分析：依据相像三角形的见解，判断三角形能否相像，必定要知足三个角对应相等，三条对应边的比相等.而A中只有一组直角相等，其余的角能否对应相等不可以知；B中什么条件都不知足；D中只有一条对应边的比相等；C中全部三角形都是由90°、45°、45°角构成的三角形，且对应边的比也相等.答案选C.种类二、相像三角形的判断2．以以下图，已知中，E为AB延伸线上的一点，AB=3BE，DE与BC订交于F，请找出图中各对相像三角形，并求出相应的相像比.思路点拨：由可知AB∥CD，AD∥BC，再依据平行线找相像三角形.解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB∥CD，AD∥BC，△BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.△BEF∽△CDF∽△AED.∴当△BEF∽△CDF时，相像比；当△BEF∽△AED时，相像比；当△CDF∽△AED时，相像比.总结升华：本题中△BEF、△CDF、△AED都相像，共构成三对相像三角形.求相像比不只需找准对应边，还需注意两个三角形的先后序次，若序次颠倒，则相像比成为本来的倒数.3．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，则△ABC和△EDF相像吗？为何？思路点拨：已知△ABC和△EDF都是直角三角形，且已知两边长，所以可利用勾股定理分别求出第三边AC和DE，再看三边能否对应成比率.解：在Rt△ABC中，AB=10，BC=6，∠C=90°.由勾股定理得.在Rt△DEF中，DF=3，EF=4，∠F=90°.由勾股定理，得.在△ABC和△EDF中，，，，∴，∴△ABC∽△EDF(三边对应成比率，两三角形相像).总结升华：(1)本题易错为只看3，6，4，10四条线段不可以比率就判断两三角形不相像.利用三边判断两三角形相似，应看三角形的三边能否对应成比率，而不是两边.(2)本题也能够只求出AC的长，利用两组对应边的比相等，且夹角相等，判断两三角形相像.4．以以下图，点D在△ABC的边AB上，知足如何的条件时，△ACD与△ABC相像？试分别加以列举.思路点拨：本题属于研究问题，由相像三角形的鉴识方法可知，△ACD与△ABC已有公共角∠A，要使此两个三角形相像，可依据相像三角形的鉴识方法找寻一个条件即可.解：当知足以下三个条件之一时，△ACD∽△ABC.条件一：∠1=∠B.条件二：∠2=∠ACB.条件三：，即.总结升华：本题的研究钥匙是相像三角形的鉴识方法.在研究两个三角形相像时，用分析法，可先假定△ACD∽△ABC，此后找寻两个三角形中边的关系或角的关系即可.本题易错为出现条件四：.不符合条件“最小化”原则，由于条件三能使问题成立，所以出现条件四是错误的.贯串交融【变式1】已知：如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点．求证：△ADQ∽△QCP．思路点拨：因△ADQ与△QCP是直角三角形，虽有相等的直角，但不知AQ与PQ能否垂直，所以不可以够用两个角对应相等判断．而四边形ABCD是正方形，Q是CD中点，而BP=3PC，所以可用对应边成比率夹角相等的方法来判断．详细证明过程以下：证明：在正方形ABCD中，∵Q是CD的中点，∴=2∵=3，∴=4又∵BC=2DQ，∴=2在△ADQ和△QCP中，=，∠C=∠D=90°，∴△ADQ∽△QCP．【变式2】如图，弦和弦订交于内一点，求证：.思路点拨：题目中求证的是等积式，我们能够转变成比率式，进而找到应证哪两个三角形相像.同时圆中间同弧或等弧所对的圆周角相等要会灵巧应用.证明：连结，.在∴∽∴.【变式3】已知：如图，AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点．求证：△DFE∽△ABC．思路点拨：EF为△ABC的中位线，EF=BC，又DE和DF都是直角三角形斜边上的中线，DE=AB，DF=AC．所以考虑用三边对应成比率的两个三角形相像．证明：在Rt△ABD中，DE为斜边AB上的中线，∴DE=AB，即=．同理=．EF为△ABC的中位线，∴EF=BC，即=．∴==．∴△DFE∽△ABC．总结升华：本题证明方法好多，可先证∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EAD+∠FAD=∠BAC，再证夹这个角的两边成比率，即=，也可证明∠FED=∠EDB=∠B，同理∠EFD=∠FDC=∠C，都能够证出△DEF∽△ABC．种类三、相像三角形的性质5．△ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的其余两边的长度吗？试说明原因.思路点拨：因没有说明长4cm的线段是△DEF的最大边或最小边，所以需分三种状况进行讨论.解：设另两边长是xcm，ycm，且x<y.(1)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长5cm线段是对应边时，有，进而x=cm，y=cm.(2)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长6cm线段是对应边时，有，进而x=cm，y=cm.(3)当△DEF中长4cm线段与△ABC中长7cm线段是对应边时，有，进而x=cm，y=cm.综上所述，△

DEF的其余两边的长度应是

cm,

cm或

cm，

cm或

cm，

cm三种可能

.总结升华：必定要深刻理解“对应”，若题中没有给出图形，要特别注意能否有图形的分类

.6．以以下图，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.思路点拨：利用已知条件及相像三角形的判断方法及性质求出矩形的长和宽，进而求出矩形的面积解：∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥BC，∴△AEH∽△ABC.

.AD⊥BC，∴AD⊥EH，MD=EF.矩形两邻边之比为1：2，设EF=xcm，则EH=2xcm.由相像三角形对应高的比等于相像比，得，∴，∴，.EF=6cm，EH=12cm.∴.总结升华：解决有关三角形的内接矩形、内接正方形的计算问题，常常利用相像三角形“对应高的比等于相似比”和“面积比等于相像比的平方”的性质，若图中没有高能够先作出高.贯串交融【变式1】△ABC中，DE∥BC，M为DE中点，CM交AB于N，若，求.解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC∴∵M为DE中点，∴∵DM∥BC，∴△NDM∽△NBC∴∴=1：2.总结升华：图中有两个“”字形，已知线段AD与AB的比和要求的线段ND与NB的比分别在这两个“”字形，利用M为DE中点的条件将条件由一个“”字形转变到另一个“”字形，进而解决问题.种类四、相像三角形的应用7．如图，我们想要丈量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽)，你有什么方法？方案1：如上左图，结构全等三角形，丈量CD，获取AB=CD，获取河宽.方案2：思路点拨：这是一道丈量河宽的实诘问题，还能够够借用相像三角形的对应边的比相等，比率式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条.C

如上右图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，此后方向不变，连续向前走10m到处，在C处转90°，沿CD方向再走17m抵达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？解：∵AB⊥BC，CD⊥BC∴∠ABO=∠DCO=90°又∵∠AOB=∠DOC∴△AOB∽△DOC∴BO=50m，CO=10m，CD=17mAB=85m答：河宽为85m．总结升华：方案2利用了“”型基本图形，实质上丈量河宽有好多方法，能够用“”型基本图形，借助相像；也可用等腰三角形等等.贯串交融【变式1】如图：小明欲丈量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后挪动，直到他自己影子的顶正直好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18m，已知小明的身高是1.6m，他的影长是2m．图中△ABC与△ADE能否相像?为何?求古塔的高度．解：(1)△ABC∽△ADE．BC⊥AE，DE⊥AE∴∠ACB=∠AED=90°∵∠A=∠A∴△ABC∽△ADE(2)由(1)得△ABC∽△ADE∴∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m∴∴DE=16m答：古塔的高度为16m.【变式2】已知：如图，阳光经过窗口照耀到室内，在地面上留下1.5m宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=1.2m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC？思路点拨：光芒AD//BE，作EF⊥DC交AD于F.则，利用边的比率关系求出BC.解：作EF⊥DC交AD于F.由于AD∥BE，所以又由于，所以，所以.由于AB∥EF，AD∥BE，所以四边形ABEF是平行四边形，所以EF=AB=1.8m.所以m.种类五、相像三角形的周长与面积8．已知：如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB订交于E点，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积．思路点拨：利用△ADE∽△BCE，以及其余有关的已知条件，能够求出△BCE的面积．△ABC的边AB上的高也是△BCE的高，依据AB︰BE=3︰2，可求出△ABC的面积．最后利用△AEF∽△ABC，可求出△AEF的面积．解：∵DA∥BC，∴△ADE∽△BCE．S△ADE︰S△BCE=AE2︰BE2．AE︰BE=1︰2，S△ADE︰S△BCE=1︰4．S△ADE=1，∴S△BCE=4．S△ABC︰S△BCE=AB︰BE=3︰2，S△ABC=6．∵EF∥BC，△AEF∽△ABC．∵AE︰AB=1︰3，S△AEF︰S△ABC=AE2︰AB2=1︰9．∴S△AEF==．总结升华：注意，同底(或等底)三角形的面积比等于这底上的高的比；同高(或等高)三角形的面积比等于对应底边的比．当两个三角形相像时，它们的面积比等于对应线段比的平方，即相像比的平方．贯串交融【变式1】有同一三角形地块的甲、乙两地图，比率尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相像比和面积比.解：设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2.∴△