初中数学浙教版九年级上册第4章　相似三角形4．4　两个三角形相似的判定 精品

两个三角形相似的判定(一)1．如图，在△ABC中，DE∥BC.若eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,3)，DE＝4，则BC＝(D)(第1题)A.9B.10C.11D.122．有一个角相等的两个等腰三角形(C)A.一定相似B.一定不相似C.不一定相似D.一定全等3．如图，在▱ABCD中，E是BC边上一点，AE交BD于点F.如果eq\f(EC,BE)＝eq\f(2,3)，那么eq\f(BF,FD)的值为(B)A.eq\f(2,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,3)D.eq\f(5,3)(第3题)(第4题)4．如图，在△ABC中，若∠AED＝∠B，DE＝6，AB＝10，AE＝8，则BC的长为(C)A.eq\f(15,4)B.7C.eq\f(15,2)D.eq\f(24,5)5．如图，在▱ABCD中，F是BC上一点，直线DF与AB的延长线交于点E，作BP∥DF，与AD交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：△ABP∽△AED(答案不唯一)．(第5题)6．如图，在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A.已知BC＝2eq\r(2)，AB＝3，则BD＝__eq\f(8,3)__．(第6题)7．如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为4__eq\r(2)．(第7题)8．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于点E，D是BC的中点，连结AD与BE交于点F.求证：△AFE∽△BCE.(第8题)【解】∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠FAE＋∠C＝90°.∵BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠CBE＋∠C＝90°.∴∠FAE＝∠CBE.又∵∠AEF＝∠BEC＝90°，∴△AFE∽△BCE.9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AD，BC的延长线交于点E，显然△EAB∽△ECD，在不添辅助线的情况下，请你再找出一对相似三角形，并加以证明．(第9题)【解】结论：△AEC∽△ACD.证明：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC＋∠B＝180°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∴∠ADC＋∠ACB＝180°.又∵∠ACE＋∠ACB＝180°，∴∠ACE＝∠ADC.又∵∠EAC＝∠CAD，∴△AEC∽△ACD.10．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，EF交AC于点G，则AG∶GC的值为(B)A.1∶2B.1∶3C.1∶4D.2∶3(第10题)【解】如解图，连结BD，交AC于点O.(第10题解)∵E，F分别是AD，AB的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥DB，且EF＝eq\f(1,2)DB，∴△AEF∽△ADB，△AEG∽△ADO，∴eq\f(AG,AO)＝eq\f(AE,AD)＝eq\f(EF,DB)＝eq\f(1,2).∴G为AO的中点．∴AG＝GO.又∵OA＝OC，∴AG∶GC＝1∶3.11．已知在▱ABCD中，点E在直线AD上，AE＝eq\f(1,3)AD，连结CE交BD于点F，则EF∶CF的值是eq\f(2,3)或eq\f(4,3)．【解】当点E在线段AD上时，如解图①.∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△EFD∽△CFB，∴EF∶CF＝DE∶BC.∵AE＝eq\f(1,3)AD，∴DE＝2AE＝eq\f(2,3)AD＝eq\f(2,3)BC，∴DE∶BC＝2∶3，∴EF∶CF＝2∶3.(第11题解)当点E在线段DA的延长线上时，如解图②.同上可得△EFD∽△CFB，∴EF∶CF＝DE∶BC.∵AE＝eq\f(1,3)AD，∴DE＝4AE＝eq\f(4,3)AD＝eq\f(4,3)BC，∴DE∶BC＝4∶3，∴EF∶CF＝4∶3.综上所述，EF∶CF的值是eq\f(2,3)或eq\f(4,3).12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5cm，∠BAC＝60°，动点M从点B出发，在BA边上以2cm/s的速度向点A匀速运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以eq\r(3)cm/s的速度向点B匀速运动，设运动时间为t(s)(0≤t≤5)，连结MN.(1)若BM＝BN，求t的值．(2)若以M，B，N为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值．(3)当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小值．(第12题)【解】(1)∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，∠BAC＝60°，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝10，BC＝5eq\r(3).由题意，得BM＝2t，CN＝eq\r(3)t，∴BN＝5eq\r(3)－eq\r(3)t.当BM＝BN时，2t＝5eq\r(3)－eq\r(3)t，解得t＝10eq\r(3)－15.(2)分两种情况：①当△MBN∽△ABC时，eq\f(MB,AB)＝eq\f(BN,BC)，即eq\f(2t,10)＝eq\f(5\r(3)－\r(3)t,5\r(3))，解得t＝eq\f(5,2).②当△NBM∽△ABC时，eq\f(NB,AB)＝eq\f(BM,BC)，即eq\f(5\r(3)－\r(3)t,10)＝eq\f(2t,5\r(3))，解得t＝eq\f(15,7).综上所述，当t＝eq\f(5,2)或t＝eq\f(15,7)时，△MBN与△ABC相似．(3)如解图，过点M作MD⊥BC于点D，则MD∥AC，∴△BMD∽△BAC，(第12题解)∴eq\f(MD,AC)＝eq\f(BM,BA)，即eq\f(MD,5)＝eq\f(2t,10)，解得MD＝t.设四边形ACNM的面积为y，则y＝eq\f(1,2)×5×5eq\r(3)－eq\f(1,2)(5eq\r(3)－eq\r(3)t)×t＝eq\f(\r(3),2)t2－eq\f(5\r(3),2)t＋eq\f(25\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(5,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(75\r(3),8).∴当t＝eq\f(5,2)时，y取得最小值，为eq\f(75\r(3),8)，即当t＝eq\f(5,2)时，四边形ACNM的面积最小，为eq\f(75\r(3),8)cm2.13．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°.