八年级下册数学期末试卷培优测试卷

八年级下册数学期末试卷培优测试卷一、选择题1．在实数范围内，要使代数式A．x≥2B．x>2C．x≠2D．x<22．已知△ABC的三边a，b，c满足A．12B．6C．15D．10有意义，则x的取值范围是（），则ABC的的面积为（）3．下列命题中，为假命题是（）A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形B．两组对边分别相等的四边形是早行四边形C．两组对角分别相等的四边形是平行四边形D．对角线相等的四边形是平行四边形4．甲、乙、丙、丁四名学生近4次数学测验成绩的平均数都是90分，方差分别是S甲2＝5，S乙2＝20，S丙2＝23，S丁2＝32，则这四名学生的数学成绩最稳定的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁5．如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝8，BC＝10，点D是BC的中点，连接AD，分别以点A，B为圆心，CD的长为半径在△ABC外画弧，两弧交于点，连接AE，BE．则四边形AEBC的面积为（）EA．30B．30C．24D．366．如图所示，在菱形ABCD中，AC，BD相交于O，∠ABC＝50°，E是线段AO上一点则∠BEC的度数可能是（）A．95°B．75°C．55°D．35°7．如图，在，中，于点，则线段，的最小值是（，，点为边上任意一点过点分别作）于点A．2B．2.4C．3D．48．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴、轴于、两点，以为边在直线右侧作正方形正确的是（），连接，过点作轴于点，交于点，连接．则下列说法中A．点的坐标为C．点的坐标为B．D．的周长为二、填空题9．要使式子有意义，则x的取值范围是________．，那么该菱形的面积等于________．11．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠AOD＝60°，AD＝4，则AB＝___．10．已知一个菱形有一个内角为，周长为12．如图，把矩形沿折叠，若，则______°．13．一次函数的图象过点（2，1），则的值为________．14．如图，矩形ABCD中，对角线AC和BD交于点O，过O的直线分别交AD和BC于点E、F，已知AD=4cm，图中阴影部分的面积总和为6cm2，则矩形的对角线AC长为___cm.15．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O为坐标原点，顶点A，C分别在x轴和y轴上，OA＝4，＝3，D为AB边的中点，E是OA边上的一个动点，当△CDE的周长最小时，则点E的坐标为_____．OC16．如图，为矩形的边上一点，将矩形沿折叠，使点落在上的点处，若，，则的长为_________．三、解答题17．计算：（1）；（2）（+（﹣1）2．18．笔直的河流一侧有一营地C，河边有两个漂流点A，B、其中AB＝AC，由于周边施工，由到的路CA现在已经不通，为方便游客，在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC＝10千米，CH＝8千米，BH＝6千米．（1）判断△BCH的形状，并说明理由；（2）求原路线AC的长．19．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1（1）判断△ABC是什么形状？并说明理由．（2）求AC边上的高．20．如图，在平行四边形中，点、分别为边，的中点，连接，，．（1）求证：；（2）若，求证：四边形为菱形．21．求的值．解：设x=，两边平方得：，即，x2=10∴x=．∵＞0，∴=．请利用上述方法，求的值．22．暑假即将来临，某运动馆推出针对学生两种暑期优惠方案：方案一：先办理VIP卡需100元，然后每次按全票价打五折；方案二：学生每次按全票价打九折；已知运动馆全票价为20元/次，回答下面问题：（1）设方案一、方案二的费用分别为y1、y2，直接写出y1、y2与去运动馆次数x的关系式；（2）某同学估计暑假要去运动馆大概30次，请你帮他分析要不要办VIP卡．23．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=3，∠A的角平分线交边CD于点E．点P从点A出发沿射线AE以每秒2个单位长度的速度运动，Q为AP的中点，过点Q作QH⊥AB于点H，在射线AE的下方作平行四边形PQHM（点M在点H的右侧），设P点运动时间为秒．（1）直接写出的面积（用含的代数式表示）．（2）当点M落在BC边上时，求的值．（3）在运动过程中，整个图形中形成的三角形是否存在全等三角形？若存在，请写出所有全等三角形，并求出对应的的值；若不存在请说明理由（不能添加辅助线）．24．如图，已知直线．与轴，轴分别交于，两点，以为直角顶点在第二象限作等腰（1）求点的坐标，并求出直线（2）如图，直线交轴于，在直线上取一点，连接（3）如图，在（1）的条件下，直线交轴于点，的关系式；，若，求证：．是线段上一点，在轴上是否存在一点，使面积等于面积的一半？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．25．如图1，在中，中点，连接AD并延长交OC于E．，，以OB为边，在外作等边，D是OB的,（1）求证：四边形ABCE（2）连接AC，BE交于点P，求AP的长及AP边上的高BH（3）在（2）的条件下，将四边形OABC置于如图所示的平面直角坐标系中，以E为坐标原点，其余条件是平行四边形；；不变，以AP为边向右上方作正方形APMN：①M点的坐标为．②直接写出正方形APMN与四边形OABC重叠部分的面积（图中阴影部分）．【参考答案】一、选择题1．A解析：A【分析】根据二次根式有意义，被开方数为非负数，列一元一次不等式，解不等式即可得．【详解】解：根据题意，得，∴，故选：A．【点睛】本题考查了二次根式有意义条件、一元一次不等式解法；解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键．2．B解析：B【分析】三个非负数的和为0，则它们都为0．根据此性质可得a、b、c的值，由勾股定理的逆定理可判断此三角形为直角三角形，从而可求得△ABC的面积．【详解】∵∴，，，，，且∴b-4=0，2c-6=0，3a-15=0即b=4，c=3，a=5∵∴由勾股定理的逆定理可知，△ABC是直角三角形，且a是斜边∴故选：B．【点睛】本题考查了算术平方根、绝对值、平方的非负性，勾股定理的逆定理，三角形面积的计算等知识，关键是非负性的应用．3．D解析：D【解析】【分析】根据平行四边形的判定判断即可．【详解】解：、两组对边分别平行的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意；、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意；、两组对角分别相等的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意；、对角线互相平分的四边形是平行四边形，原命题是假命题，符合题意；故选：D．【点睛】本题考查的是平行四边形的判定定理，解题关键是熟练运用平行四边形的判定定理．4．A解析：A【解析】【分析】根据方差的意义求解即可．【详解】解：∵S甲2=5，S乙2=20，S丙2=23，S丁2=32，∴S甲2＜S乙2＜S丙2＜S丁2，∴这四名学生的数学成绩最稳定的是甲，故选：A．【点睛】本题主要考查了方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．5．D解析：D【分析】根据勾股定理的逆定理求出菱形，根据菱形的性质求出可．，求出，根据菱形的判定求出四边形是，求出，再求出四边形的面积即【详解】解：，，，，是直角三角形，，即点是的中点，，，即，四边形是菱形，，，四边形故选：D．【点睛】的面积是，本题考查了勾股定理的逆定理，直角三角形斜边上的中线的性质，菱形的性质和判定，三角形的面积等知识点，解题的关键是能求出是解此题的关键，注意：①如果一个三角形的两边、的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，②等底等高的三角形的面积相等．6．B解析：B【解析】【分析】由菱形的性质，得∠AOB=90°，∠ABO90°，即可得到答案．=，从而得：∠BAO=65°，进而可得：65°＜＜【详解】解：∵在菱形中，∴∴∵，即：∠AOB=90°，＜90°，，∴∠ABO=，∴∠BAO=65°，∵∴=∠BAO+∠ABE，＞55°，即：55°＜故选B．【点睛】＜90°．本题主要考查菱形的性质定理以及三角形内角和定理与外角的性质，掌握菱形的性质是解题的关键．7．B解析：B【解析】【分析】求出四边形PECF是矩形，根据矩形的性质得出EF=CP，根据垂线段最短得出CP⊥AB时，CP最短，根据三角形的面积公式求出此时CP值即可．【详解】解：连接CP，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∠ACB=90°，∴∠PEC=∠ACB=∠PFC=90°，∴四边形PECF是矩形，∴EF=CP，当CP⊥AB时，CP最小，即EF最小，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，由勾股定理得：AB=5，由三角形面积公式得：AC×BC=AB×CP，，CP=即EF的最小值是=2.4，故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理，三角形的面积，矩形的性质和判定，垂线段最短等知识点，能求出EF最短时P点的位置是解此题的关键．8．C解析：C【分析】根据一次函数解析式，令x、y分别为0，即可求出A、B两点坐标，再利用勾股定理即可算出AB的长，过点D作x轴垂线交x轴于点H，构造三角形全等即可推出点D的坐标；求出BD的解析式，可得点E的坐标，可得出AF≠EF，则∠EAF≠45°，过点C作y轴垂线交y轴于点N，构造三角形全等即可推出点C的坐标；将AE+EF利用全等转换为CF即可求出△AEF的周长．【详解】解：∵一次函数的图象交x轴、y轴与A、B两点，∴当x=0，则y=12，故B（0，12），当y=0，则x=5，故A（5，0），∴AO=5，BO=12，在Rt△AOB中，AB==13，故AB的长为13；过点D作x轴垂线交x轴于点H，过点C作y轴垂线交y轴于点N，如图所示：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BAD=90°，AB=DA=BC=CD，∴∠OAB+∠OBA=∠OAB+∠HAD=90°，∴∠OBA=∠HAD，在△OBA和△HAD中，，∴△OBA≌△HAD（AAS），∴DH=AO=5，AH=BO=12，∴OH=OA+AH=17，∴点D的坐标为（17，5），A错误，不符合题意；∵∠CBN+∠NCB=∠CBN+∠ABO=90°，∴∠NCB=∠ABO，在△CNB和△BOA中，，∴△CNB≌△BOA（AAS），∴BN=AO=5，CN=BO=12，又∵CF⊥x轴，∴CF=BO+BN=12+5=17，∴C的坐标为（12，17），C正确，符合题意；设直线BD的解析式为y=kx+b，∴，解得：，∴直线BD的解析式为∵OF=CN=12，，∴AF=12-5=7，E点的坐标为（12，），∴EF=≠AF，∵CF⊥x轴，∴∠EAF≠45°，B错误，不符合题意；在△CDE和△ADE中，，∴△CDE≌△ADE（SAS），∴AE=CE，∴AE+EF=CF=17，AF=OF-AO=12-5=7，∴C△AEF=AE+EF+AF=CF+AF=17+7=24，D错误，不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查一次函数性质的综合应用，熟练一次函数图象的基本性质并能结合全等三角形逐步推理细心运算是解题关键．二、填空题9．x≥﹣4【解析】【分析】直接利用二次根式中被开方数的取值范围即二次根式中的被开方数是非负数，即可得出答案．【详解】解：要使式子则2x＋8≥0，有意义，解得：x≥﹣4；故答案为：x≥﹣4．【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，准确计算是解题的关键．10．E解析：【解析】【分析】作于E，由三角函数求出菱形的高AE，再运菱形面积公式=底×高计算即可；于E，如图所示，【详解】作∵四边形ABCD是菱形，周长为，，∴∴，，，∴菱形的面积．故答案为．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，结合三角函数的计算是解题的关键．11．B解析：【解析】【分析】由矩形对角线的性质得到理由勾股定理解题即可．，结合题意证明是等边三角形，解得BD的长，在中，【详解】解：矩形ABCD中，AC=BD且AO=OC,BO=DO是等腰三角形∠AOD＝60°是等边三角形AD＝4中故答案为：【点睛】．本题考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．12．110【分析】根据折叠的性质及【详解】可求出的度数，再由平行线的性质即可解答．折叠而成，解：四边形是四边形，，，，又，，．故答案为：【点睛】本题主要考查了平行线的性质和折叠的性质，解题时注意：折叠前后的图形全等，找出图中相等的角是解答此题的关键．13．－1【分析】一次函数y=kx+3的图象经过点（2，1），将其代入即可得到k的值．【详解】解：一次函数y＝kx+3的图象经过点（2，1），即当x＝2时，y＝1，可得：1＝2k+3，解得：k＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】本题考查一次函数图像上点的坐标特征，要注意利用一次函数的特点以及已知条件列出方程，求出未知数．14．A解析：5【解析】∵阴影部分的面积总和为6cm2，∴矩形面积为12cm2；∴AB×AD=12，∴AB=12÷4=3cm.15．（，0）【分析】作点D关于x轴对称点F，根据题意求出D点的坐标，从而得到F点的坐标，同时连接CF，则CF与x轴的交点即为所求E点，此时满足△CDE的周长最小，利用CF的解析式求解即可．【详解】解析：（，0）【分析】作点D关于x轴对称点F，根据题意求出D点的坐标，从而得到F点的坐标，同时连接CF，则CF与x轴的交点即为所求E点，此时满足△CDE的周长最小，利用CF的解析式求解即可．【详解】解：作点D关于x轴对称点F，如图，∵四边形OABC是矩形，∴OC＝BD＝3，点C的坐标为∵D为AB边的中点，，∴AD＝，∵OA＝4，∴D点的坐标为根据轴对称的性质可得：EF＝ED，∴C△CDE＝CD+CE+DE＝CD+CE+EF，其中CD为定值，，则F点的坐标为，当CE+EF值最小时，△CDE周长最小，此时点C，E，F三点共线，设直线CF的解析式为：，将和代入解析式得：，解得：，∴直线CF的解析式为：，令，得：，解得：，∴点E坐标（，0），故答案为：【点睛】．本题考查一次函数与轴对称的综合运用，理解最短路径的求解方法，熟悉待定系数法求一次函数解析式是解题关键．16．【分析】证明△AED≌△FDC可得ED=CD，据此列方程解即可.【详解】解:由题意可知AD=BC=CF,∠AED=∠CDF,∠A=∠CFD=90°,所以△AED≌△FDC,所以ED解析：【分析】证明△AED≌△FDC可得ED=CD，据此列方程解即可.【详解】解:由题意可知AD=BC=CF,∠AED=∠CDF,∠A=∠CFD=90°,所以△AED≌△FDC,所以ED=CD，设AE=x，则x²＋3²=(x+1)²,解得x=4,所以CD=5.故答案是：5.【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形全等的判定和性质以及勾股定理，由折叠得到相应的数量关系从而证明三角形全等是解题关键.三、解答题17．（1）；（2）．【分析】（1）先算乘法，化成最简二次根式，再算加减即可；（2）先算乘除和运用完全平方公式计算，再合并．【详解】解：（1）；（2）（+（﹣1）2．【点睛】本解析：（1）【分析】；（2）．（1）先算乘法，化成最简二次根式，再算加减即可；（2）先算乘除和运用完全平方公式计算，再合并．【详解】解：（1）；（2）（+（﹣1）2．【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算的法则进行解答．18．（1）△HBC是直角三角形，理由见解析；（2）原来的路线AC的长为千米．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；（2）根据勾股定理解答即可．【详解】解：（1）△BCH是直角三角形，理解析：（1）△HBC是直角三角形，理由见解析；（2）原来的路线AC的长为千米．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；（2）根据勾股定理解答即可．【详解】解：（1）△BCH是直角三角形，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2=82+62=100，BC2=100，∴CH2+BH2=BC2，∴△HBC是直角三角形且∠CHB=90°；（2）设AC=AB=x千米，则AH=AB-BH=（x-6）千米，在Rt△ACH中，由已知得AC=x，AH=x-6，CH=8，由勾股定理得：AC2=AH2+CH2，∴x2=（x-6）2+82，解这个方程，得x=，答：原来的路线AC的长为千米．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理的逆定理和定理．19．（1）△ABC是直角三角形．理由见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据勾股定理和勾股定理的逆定理可直接判断；（2）根据三角形的面积公式可求解.【详解】解：（1）△ABC是直角三角形．理解析：（1）△ABC是直角三角形．理由见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据勾股定理和勾股定理的逆定理可直接判断；（2）根据三角形的面积公式可求解.【详解】解：（1）△ABC由题意可得，ABAC＝是直角三角形．理由如下：＝，BC＝，，∴AB2+BC2＝AC2，∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形；（2）设AC边上的高为h．∵S△ABC＝AC•h＝AB•BC，∴h＝．【点睛】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.20．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据平行四边形的对边相等的性质可以得到AD=BC，AB=CD，又点E、F是AB、CD中点，所以AE=CF，然后利用边角边即可证明两三角形全等；（2）先证解析：（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据平行四边形的对边相等的性质可以得到AD=BC，AB=CD，又点E、F是AB、CD中点，所以AE=CF，然后利用边角边即可证明两三角形全等；（2）先证明BE与DF平行且相等，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形BEDF是平行四边形；再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DE=EB=AB，从而可得四边形BFDE为菱形．【详解】证明：（1）∵四边形是平行四边形，．∴，，∵、分别为、的中点，∴，，∴，，在△ADE和△CBF中，∴．（2）∵AB=CD，AE=CF，∴BE=DF，又AB∥CD，∴BE∥DF，∴四边形BEDF是平行四边形，∵∠ADB=90°，∴点E为边AB的中点，∴，∴平行四边形为菱形．【点睛】此题主要考查了菱形的判定，以及全等三角形的判定，关键是掌握一组邻边相等的平行四边形是菱形，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．21．【解析】【分析】根据题意给出的解法即可求出答案即可．【详解】设x=+，两边平方得：x2=（）2+（）2+2，即x2=4++4﹣+6，x2=14∴x=±．∵+＞0，∴x=．【点解析：【解析】【分析】根据题意给出的解法即可求出答案即可．【详解】+设x=，两边平方得：x2=（）2+（）2+2，即x2=4++4﹣+6，x2=14∴x=±．∵+＞0，∴x=．【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是正确理解题意给出的解法，本题属于中等题型．22．（1），；（2）该同学要办，理由见解析【分析】（1）较简单，求出打折后单次的价格，再根据方案一、方案二，表示题中的数量关系，即可列出函数关系式；（2）将代入（1）中的函数关系式，即可求出方案一解析：（1）【分析】，；（2）该同学要办，理由见解析（1）较简单，求出打折后单次的价格，再根据方案一、方案二，表示题中的数量关系，即可列出函数关系式；（2）将代入（1）中的函数关系式，即可求出方案一及方案二的费用，继而判断是否需要办．【详解】解：（1）（元次），，（元次），，（2）当时，方案一的费用为：方案二的费用为：，即，，，该同学要办答：（1）【点睛】．，；（2）该同学要办．本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是能够用函数关系式表示量与量之间的关系，并进行比较，做出独立判断．23．（1）；（2）；（3）存在，如图2（见解析），当时，；如图3（见解析），当时，；如图4（见解析），当时，．【分析】（1）先根据线段中点的定义可得，再根据矩形的性质、角平分线的定义可得，从而可得是解析：（1）；（2）；（3）存在，如图2（见解析），当时，；如图3（见解析），当时，；如图4（见解析），当时，．【分析】（1）先根据线段中点的定义可得，再根据矩形的性质、角平分线的定义可得，从而可得是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质可得AH的长，最后根据等腰直角三角形的面积公式即可得；（2）先根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据三角形中位线定理可得是的中位线，从而可得，然后与（1）所求的建立等式求解即可得；（3）分①当点H是AB的中点时，；②当点Q与点E重合时，；③当时，三种情况，分别求解即可得．【详解】（1）由题意得：，点Q为AP的中点，，四边形ABCD是矩形，，是，，的角平分线，是等腰直角三角形，，则的面积为；（2）如图1，四边形PQHM是平行四边形，，点M在BC边上，，点Q为AP的中点，是的中位线，，由（1）知，，则，解得；（3）由题意，有以下三种情况：①如图2，当点H是AB的中点时，则，四边形PQHM是平行四边形，，，在和中，，，由（2）可知，此时；②如图3，当点Q与点E重合时，在和中，，，，则，解得；③如图4，当时，四边形ABCD是矩形，四边形PQHM是平行四边形，，，在和中，，，，，在中，，是等腰直角三角形，，，在中，，是等腰直角三角形，，则由得：，解得；综上，如图2，当时，；如图3，当时，；如图4，当时，．【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），依据题意，正确分三种情况讨论并画出图形是解题关键．24．（1）y＝x+4；（2）见解析；（3）存在，点N（﹣，0）或（，0）．【解析】【分析】（1）根据题意证明△CHB≌△BOA（AAS），即可求解；（2）求出B、E、D的坐标分别为（-1，0）、解析：（1）y＝x+4；（2）见解析；（3）存在，点N（﹣，0）或（，0）．【解析】【分析】（1）根据题意证明△CHB≌△BOA（AAS），即可求解；（2）求出B、E、D的坐标分别为（-1，0）、（0，）、（1，-1），即可求解；（3）求出BC表达式，将点P代入，求出a值，再根据AC表达式求出M点坐标，由S△BMC=MB×yC=×10×2=10，S△BPN＝S△BCM=5＝NB×a=可求解．【详解】解：（1）令x＝0，则y＝4，令y＝0，则x＝﹣2，则点A、B的坐标分别为：（0，4）、（﹣2，0），过点C作CH⊥x轴于点H，∵∠HCB+∠CBH＝90°，∠CBH+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BCH，∠CHB＝∠BOA＝90°，BC＝BA，在△CHB和△BOA中，，∴△CHB≌△BOA（AAS），∴BH＝OA＝4，CH＝OB=2，∴点C（﹣6，2），将点A、C的坐标代入一次函数表达式：y=mx+b得：，解得：，故直线AC的表达式为：y＝x+4；（2）同理可得直线CD的表达式为：y＝﹣x﹣1①，则点E（0，﹣1），直线AD的表达式为：y＝﹣3x+4②，联立①②并解得：x＝2，即点D（2，﹣2），点B、E、D的坐标分别为（﹣2，0）、（0，﹣1）、（2，﹣2），故点E是BD的中点，即BE＝DE；（3）将点BC的坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣x-1，将点P（﹣，a）代入直线BC的表达式得：直线AC的表达式为：y＝x+4，，令y=0，则x=-12，则点M（﹣12，0），S△BMC＝MB×yC＝×10×2=10，S△