初中数学动点问题总结

初二动点问题如图，在直角梯形ABCD中，AD〃BC,NB=90°,AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点P从a开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动；动点Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s的速度运动.P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为ts.(1)当t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？(2)当t为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？(3)当t为何值时，四边形PQCD为直角梯形？/分析：(1)四边形PQCD为平行四边形时PD=CQ.(2)四边形PQCD为等腰梯形时QC-PD=2CE.(3)四边形PQCD为直角梯形时QC-PD=EC.所有的关系式都可用含有t的方程来表示，即此题只要解三个方程即可.解答：解：(1)二•四边形PQCD平行为四边形・•・PD=CQ二24-t=3t解得：t=6即当t=6时，四边形PQCD平行为四边形./(2)过D作DEXBC于E则四边形ABED为矩形.•・BE=AD=24cm・•.EC=BC-BE=2cm•・•四边形PQCD为等腰梯形.QC-PD=2CE即3t-(24-t)=4解得：t=7(s)即当t=7(s)时，四边形PQCD为等腰梯形.(3)由题意知：QC-PD=EC时，四边形PQCD为直角梯形即3t-(24-t)=2解得：t=6.5(s)即当t=6.5(s)时，四边形PQCD为直角梯形.点评：此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中.如图，4ABC中，点O为AC边上的一个动点，过点O作直线MN〃BC,设MN交NBCA的外角平分线CF于点F,交NACB内角平分线CE于E.(1)试说明EO=FO；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形并证明你的结论；(3)若AC边上存在点O,使四边形AECF是正方形，猜想^ABC的形状并证明你的结论./分析：(1)根据CE平分NACB,MN〃BC,找到相等的角，即NOEC=NECB,再根据等边对等角得OE=OC,同理OC=OF,可得EO=FO.(2)利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形.(3)利用已知条件及正方形的性质解答.解答：解：(1)：CE平分NACB,AZACE=ZBCE,「MN〃BC,AZOEC=ZECB,AZOEC=ZOCE,.•・OE=OC,同理，OC=OF,AOE=OF.(2)当点O运动到AC中点处时，四边形AECF是矩形.如图AO=CO,EO=FO,.四边形AECF为平行四边形，VCE平分/ACB,AZACE=/ZACB,同理，NACF=/ZACG,AZECF=ZACE+ZACF=/(ZACB+ZACG)=/X180°=90°,•・四边形AECF是矩形.(3)AABC是直角三角形・•四边形AECF是正方形，，・AC，EN,故NAOM=90°,「MN〃BC,AZBCA=ZAOM,AZBCA=90°,.△ABC是直角三角形.点评：本题主要考查利用平行线的性质”等角对等边”证明出结论(1),再利用结论(1)和矩形的判定证明结论(2),再对(3)进行判断.解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方法.是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用.如图，直角梯形ABCD中，AD〃BC,NABC=90°,已知AD=AB=3,BC=4,动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D出发，沿线段DA向点A作匀速运动.过Q点垂直于AD的射线交AC于点M,交BC于点N.P、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度.当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动.设点Q运动的时间为t秒.(1)求NC,MC的长(用t的代数式表示)；(2)当t为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形；(3)是否存在某一时刻，使射线QN恰好将4ABC的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由；(4)探究：t为何值时，4PMC为等腰三角形./分析：(1)依据题意易知四边形ABNQ是矩形...NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ,BC、AD已知，DQ就是t,即解；•.•AB〃QN,，^CMNs^CAB,，CM：CA=CN：CB,(2)CB、CN已知，根据勾股定理可求CA=5,即可表示CM；四边形PCDQ构成平行四边形就是PC=DQ,列方程4-t=t即解；(3)可先根据QN平分4ABC的周长，得出MN+NC=AM+BN+AB,据此来求出t的值.然后根据得出的t的值，求出^MNC的面积，即可判断出^MNC的面积是否为^ABC面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的t值.(4)由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：①当MP=MC时，那么PC=2NC,据此可求出t的值.②当CM=CP时，可根据CM和CP的表达式以及题设的等量关系来求出t的值.③当MP=PC时，在直角三角形MNP中，先用t表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出t的值.综上所述可得出符合条件的t的值.解答：解：(1)：AQ=3-t.•.CN=4-(3-t)=1+t在RtAABC中，AC2=AB2+BC2=32+42AAC=5在RtAMNC中，cosZNCM=/=/,CM=/.(2)由于四边形PCDQ构成平行四边形APC=QD,即4-t=t解得t=2.(3)如果射线QN将4ABC的周长平分，则有：MN+NC=AM+BN+AB即：/(1+t)+1+t=/(3+4+5)解得：t=/(5分)而MN=/NC=/(1+t)ASAMNC=/(1+t)2=/(1+t)2当t=/时，SAMNC=(1+t)2=/W/X4X3・••不存在某一时刻t,使射线QN恰好将^ABC的面积和周长同时平分./(4)①当MP=MC时(如图1)贝U有：NP=NC即PC=2NC.4-t=2(1+t)解得：t=/②当CM=CP时(如图2)则有：/(1+t)=4-t解得：t=/③当PM=PC时(如图3)则有：在RtAMNP中，PM2=MN2+PN2而MN=/NC=/(1+t)PN=NC-PC=(1+t)-(4-t)=2t-3：.[/(1+t)]2+(2t-3)2=(4-t)2解得：t1=/,t2=-1(舍去).•.当t=/,t=/,t=/时，4PMC为等腰三角形点评：此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质.考查学生分类讨论和数形结合的数学思想方法.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm,P,Q,M,N分别从A,B,C,D出发沿AD,BC,CB,DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止.已知在相同时间内，若BQ=xcm(xW0),则AP=2xcm,CM=3xcm,DN=x2cm./(1)当x为何值时，以PQ,MN为两边，以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边构成一个三角形；(2)当x为何值时，以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形；(3)以P,Q,M,N为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由.分析：以PQ,MN为两边，以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点P、N重合且点Q、M不重合，此时AP+ND=AD即2x+x2=20cm,BQ+MCWBC即x+3xW20cm；或者点Q、M重合且点P、N不重合，此时AP+NDWAD即2x+x2W20cm,BQ+MC=BC即x+3x=20cm.所以可以根据这两种情况来求解x的值.以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点Q只能在点M的左侧.当点P在点N的左侧时，AP=MC,BQ=ND；当点P在点N的右侧时，AN=MC,BQ=PD.所以可以根据这些条件列出方程关系式.如果以P,Q,M,N为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得AP+NDWAD即2x+x2W20cm,BQ+MCWBC即x+3xW20cm,AP=ND即2x=x2,BQ=MC即x=3x,xW0.这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形.解答：解：(1)当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ,MN为两边，以矩形的边(AD或BC)的一部分为第三边可能构成一个三角形.①当点P与点N重合时，由x2+2x=20,得x1=/-1,x2=-/-1(舍去).因为BQ+CM=x+3x=4(/-1)<20,此时点Q与点M不重合.所以x=/-1符合题意.②当点Q与点M重合时，由x+3x=20,得x=5.此时DN=x2=25>20,不符合题意.故点Q与点M不能重合.所以所求x的值为/-1.(2)由(1)知，点Q只能在点M的左侧，①当点P在点N的左侧时，由20-(x+3x)=20-(2x+x2),解得x1=0(舍去)，x2=2.当x=2时四边形PQMN是平行四边形.②当点P在点N的右侧时，由20-(x+3x)=(2x+x2)-20,解得x1=-10(舍去)，x2=4.当x=4时四边形NQMP是平行四边形.所以当x=2或x=4时，以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形.(3)过点Q,M分别作AD的垂线，垂足分别为点E,F.由于2x>x,所以点E一定在点P的左侧.若以P,Q,M,N为顶点的四边形是等腰梯形，则点F一定在点N的右侧，且PE=NF,即2x-x=x2-3x.解得x1=0(舍去)，x2=4.由于当x=4时，以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形，所以以P,Q,M,N为顶点的四边形不能为等腰梯形.点评：本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点.如图，在梯形ABCD中，AD〃BC,NB=90°,AB=14cm,AD=15cm,BC=21cm,点M从点A开始，沿边AD向点D运动，速度为1cm/s；点N从点C开始，沿边CB向点B运动，速度为2cm/s、点M、N分别从点A、C出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒./(1)当t为何值时，四边形MNCD是平行四边形？(2)当t为何值时，四边形MNCD是等腰梯形？分析：(1)根据平行四边形的性质，对边相等，求得t值；(2)根据等腰梯形的性质，下底减去上底等于12,求解即可.解答：解：(1)：MD〃NC,当MD=NC,即15-t=2t,t=5时，四边形MNCD是平行四边形；(2)作DELBC,垂足为E,则UCE=21-15=6,当CN-MD=12时，即2t-(15-t)=12,t=9时，四边形MNCD是等腰梯形点评：考查了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点内容.如图，在直角梯形ABCD中，AD〃BC,NC=90°,BC=16,DC=12,AD=21,动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，P、Q分别从点D、C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动，设运动时间为t(s).(1)设4BPQ的面积为S,求S与t之间的函数关系；(2)当t为何值时，以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？/分析：(1)若过点P作PMXBC于M,则四边形PDCM为矩形，得出PM=DC=12,由QB=16-t,可知：s=/PMXQB=96-6t；(2)本题应分三种情况进行讨论，①若PQ=BQ,在RtAPQM中，由PQ2=PM2+MQ2,PQ=QB,将各数据代入，可将时间t求出；②若BP=BQ，在RtAPMB中，由PB2=BM2+PM2，BP=BQ，将数据代入，可将时间t求出；③若PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入，可将时间t求出.解答：解：(1)过点P作PMXBC于M,则四边形PDCM为矩形..•・PM=DC=12,•.•QB=16-t,.s=/・QB・PM=/(16-t)X12=96-6t(0WtW/).(2)由图可知，CM=PD=2t,CQ=t，若以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况/：①若PQ=BQ,在RtAPMQ中，PQ2=t2+122,由PQ2=BQ2得t2+122=(16-t)2,解得/；②若BP=BQ,在RtAPMB中，PB2=(16-2t)2+122,由PB2=BQ2得(16-21)2+122=(16-t)2,此方程无解，.BPWPQ.③若PB=PQ,由PB2=PQ2得t2+122=(16-2t)2+122得/,t2=16(不合题意，舍去).综上所述，当/或/时，以B、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形.点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理.在解题(2)时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象.直线y=-34x+6与坐标轴分别交于A、B两点，动点P、Q同时从O点出发，同时到达A点，运动停止.点Q沿线段OA运动，速度为每秒1个单位长度，点P沿路线OnBnA运动.(1)直接写出A、B两点的坐标；(2)设点Q的运动时间为t(秒)，AOPQ的面积为S,求出S与t之间的函数关系式；(3)当S=485时，求出点P的坐标，并直接写出以点O、P、Q为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标.分析：(1)分别令y=0，x=0,即可求出A、B的坐标；(2))因为OA=8,OB=6,利用勾股定理可得AB=10,进而可求出点Q由O到A的时间是8秒，点P的速度是2,从而可求出，当P在线段OB上运动(或0WtW3)时，OQ=t,OP=2t,S=t2,当P在线段BA上运动(或3<tW8