2021-2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系3.4平面与平面垂直的性质3作业含解析新人教版必修220220226152

PAGEPAGE6平面与平面垂直的性质（45分钟100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.过平面外两点且垂直于该平面的平面()A.有且只有一个B.一个或两个C.有且仅有两个D.一个或无数个2.(2013·绵阳高一检测)已知PA⊥正方形ABCD所在的平面,垂足为A,连接PB,PC,PD,AC,BD,则互相垂直的平面有()A.5对B.6对C.7对D.8对3.在直二面角α-l-β中,直线a⊂α,直线b⊂β,a,b与l斜交,则()A.a不能和b垂直,但可能a∥bB.a可能和b垂直,也可能a∥bC.a不能和b垂直,a也不能和b平行D.a不能和b平行,但可能a⊥b4.(2013·青岛高一检测)设α,β,γ为平面,l,m,n为直线,则能得到m⊥β的一个条件为()A.α⊥β,α∩β=l,m⊥lB.n⊥α,n⊥β,m⊥αC.α∩γ=m,α⊥γ,β⊥γD.α⊥γ,β⊥γ,m⊥α5.下列说法中,错误的是()A.若平面α内的一条直线垂直于平面β内的任一直线,则α⊥βB.若平面α内任一直线平行于平面β,则α∥βC.若平面α⊥平面β,任取直线l⊂α,则必有l⊥βD.若平面α∥平面β,任取直线l⊂α,则必有l∥β二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013·淮南高一检测)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,点E,F分别是棱PC,PD的中点.①AB与PD所在的直线垂直;②平面PBC与平面ABCD垂直;③△PCD的面积大于△PAB的面积;④直线AE与直线BF是异面直线.则以上结论正确的是.(写出所有正确结论的编号)7.如图,在三棱锥D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列命题中正确的有(填序号).①平面ABC⊥平面ABD;②平面ABD⊥平面BCD;③平面ABC⊥平面BDE,且平面ACD⊥平面BDE;④平面ABC⊥平面ACD,且平面ACD⊥平面BDE.8.α,β是两个不同的平面,m,n是平面α及β外的两条不同的直线,给出4个论断：①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中3个论断为条件,余下一个论断为结论,写出你认为正确的一个命题：.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=3,沿对角线BD把△BCD折起,使C移到C′,且C′在平面ABC内的射影O恰好落在AB上.(1)求证：AC′⊥BC′.(2)求AB与平面BC′D所成的角的正弦值.10.(2013·宿州高一检测)如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD为等边三角形,底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,Q为AD的中点,PA=2.(1)求证：AD⊥平面PQB.(2)求四棱锥P-ABCD的体积.(3)在线段PC上是否存在点M,使PA∥平面MQB;若存在,求出PM∶PC的值.11.(能力挑战题)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形,侧面PAD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点,求证：BG⊥平面PAD.(2)求证：AD⊥PB.(3)若E为BC边的中点,能否在PC上找出一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?答案解析1.【解析】选D.若两点所在的直线和平面垂直,任何过该直线的平面都和平面垂直,若不垂直,过一点作平面的垂线,这两相交直线确定唯一的平面和平面垂直.2.【解析】选C.如图,由已知PA⊥平面ABCD,则平面PAD⊥平面ABCD,平面PAB⊥平面ABCD,平面PAC⊥平面ABCD,3对;又底面为正方形,BC⊥AB,则BC⊥平面PAB,故平面PBC⊥平面PAB,同理平面PDC⊥平面PAD,平面PAC⊥平面PBD,平面PAD⊥平面PAB,4对.故共7对.3.【解析】选C.因为a,b与l斜交,若在平面β内作交线的垂线,此直线与a垂直,故a不能和b垂直,否则可以得到a垂直于平面β,a垂直于l,与a与l斜交矛盾;a也不能和b平行,故选C.4.【解析】选B.如图①知A错;如图②知C错;如图③,在正方体中,两侧面α与β相交于l,都与底面γ垂直,γ内的直线m⊥α,但m与β不垂直,故D错;由n⊥α,n⊥β知α∥β,又m⊥α,故m⊥β,因此B正确.5.【解析】选C.A中,直线l⊥β,lα,所以α⊥β,A为真命题;B中,在α内取两相交直线,则两直线平行于β,则α∥β,B为真命题;D为两平面平行的性质,为真命题;C为假命题,l只有在垂直于交线时才有l⊥β,否则l不垂直于β.【变式训练】已知空间两条不同的直线m,n和两个不同的平面α,β,则下列命题中正确的是()A.若m∥α,n∥β,α∥β,则m∥nB.若m∥α,n⊥β,α⊥β,则m∥nC.若m⊥α,n∥β,α⊥β,则m⊥nD.若m⊥α,n⊥β,α⊥β,则m⊥n【解析】选D.选项A中,当直线m,n都不在平面α,β内时,根据m∥α,n∥β,α∥β可以推证m,n都平行于平面α,β,但平行于同一个平面的两条直线不一定平行;选项B中,根据n⊥β,α⊥β可以推证nα或者n∥α,同样平行于同一个平面的两条直线不一定平行;选项C中,同选项B;选项D中,根据m⊥α,α⊥β可以推证mβ或者m∥β,而n⊥β,故m⊥n.正确选项为D.6.【解析】由条件可得AB⊥平面PAD,所以AB⊥PD,故①正确;因为PA⊥平面ABCD,所以平面PAB,平面PAD都与平面ABCD垂直,故平面PBC不可能与平面ABCD垂直,②错;S△PCD=CD·PD,S△PAB=AB·PA,由AB=CD,PD>PA,知③正确;由E,F分别是棱PC,PD的中点可得EF∥CD,又AB∥CD,所以EF∥AB,故AE与BF共面,故④错.答案：①③7.【解析】因为AB=CB,E是AC的中点,所以BE⊥AC,同理有DE⊥AC,又BE∩DE=E,所以AC⊥平面BDE.因为AC平面ABC,所以平面ABC⊥平面BDE.又由于AC平面ACD,所以平面ACD⊥平面BDE.故只有③正确.答案：③8.【解析】由题意可构造出四个命题(1)①②③④;(2)①②④③;(3)①③④②;(4)②③④①.只有(3)(4)是正确的.答案：②③④①或①③④②9.【解析】(1)由题意,知C′O⊥平面ABD,因为C′O平面ABC′,所以平面ABC′⊥平面ABD.又因为AD⊥AB,平面ABC′∩平面ABD=AB,所以AD⊥平面ABC′.所以AD⊥BC′.因为BC′⊥C′D,AD∩C′D=D,所以BC′⊥平面AC′D.所以BC′⊥AC′.(2)因为BC′⊥平面AC′D,BC′平面BC′D,所以平面AC′D⊥平面BC′D.作AH⊥C′D于H,则AH⊥平面BC′D,连接BH,则BH为AB在平面BC′D内的射影,所以∠ABH为AB与平面BC′D所成的角.又在Rt△AC′D中,C′D=3,AD=3,所以AC′=3.所以AH=.所以sin∠ABH=,即AB与平面BC′D所成的角的正弦值为.【举一反三】本题其他条件不变,求二面角C′-BD-A的正切值.【解析】过O作OG⊥BD于G,连接C′G,则C′G⊥BD,则∠C′GO为二面角C′-BD-A的平面角.在Rt△AC′B中,C′O=,在Rt△BC′D中,C′G=.所以OG=.所以tan∠C′GO=,即二面角C′-BD-A的正切值为.10.【解析】(1)如图,连接BD,因为四边形ABCD为菱形,所以AD=AB,又因为∠BAD=60°,所以△ABD为正三角形.因为Q为AD的中点,所以AD⊥BQ,因为PA=PD,Q为AD的中点,所以AD⊥PQ.又BQ∩PQ=Q,所以AD⊥平面PQB.(2)平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PQ平面PAD,PQ⊥AD,所以PQ⊥平面ABCD,即PQ是四棱锥P-ABCD的高,因为PA=2,所以PQ=,所以VP-ABCD==2.(3)存在,当时,PA∥平面MQB,连接AC交BQ于N,由AQ∥BC可得,△ANQ∽△CNB,所以,因为,所以PA∥MN,又MN平面MQB,PA⊄平面MQB,所以PA∥平面MQB.11.【解题指南】(1)(2)对于面面垂直的条件,要利用面面垂直的性质定理转化为线面垂直,再转化为线线垂直.(3)要确定是否存在平面DEF⊥平面ABCD,只需判断平面DEF中有无直线平行于PG即可.【解析】(1)连接PG,BD,因为△PAD是等边三角形,G为AD边的中点,所以PG⊥AD,因为平面PAD⊥平面ABCD,所以PG⊥平面ABCD,所以PG⊥BG,因为四边形ABCD是菱形,所以AB=AD,因为∠BAD=60°,所以△ABD是等边三角形,所以BG⊥AD,所以BG⊥平面PAD.(2)因为AD⊥PG,AD⊥BG,PG∩BG=G,所以AD⊥平面BPG,又因为BP平面BPG,所以AD⊥PB.(3)存在点F.只需取PC的中点F,连接DF,EF,则平面DEF⊥平面ABCD.证明：连接CG,DE交于M,连接FM,因为AD∥BC且AD=BC,又E,G分别是BC,AD的中点,连接EG,所以CE∥DG且CE=DG,所以