2021-2022年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.4平面与平面平行的性质1作业含解析新人教版必修220220226130

PAGEPAGE8平面与平面平行的性质基础巩固一、选择题1．若两个平面与第三个平面相交有两条交线且两条交线互相平行，则这两个平面()A．有公共点 B．没有公共点C．平行 D．平行或相交[答案]D2．有一正方体木块如图所示，点P在平面A′C′内，棱BC平行于平面A′C′，要经过P和棱BC将木料锯开，锯开的面必须平整，有N种锯法，则N为()A．0 B．1C．2 D．无数[答案]B[解析]∵BC∥平面A′C′，∴BC∥B′C′，在平面A′C′上过P作EF∥B′C′，则EF∥BC，∴沿EF、BC所确定的平面锯开即可．又由于此平面唯一确定，∴只有一种方法，故选B．3．下列命题中不正确的是()A．平面α∥平面β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面βB．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC．一个三角形有两条边所在的直线分别平行于一个平面，那么该三角形所在的平面与这个平面平行D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线[答案]A[解析]对于A，直线a可能与β平行，也可能在β内，故A不正确；三角形的两条边必相交，这两条相交边所在直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知B，D也正确，故选A．4．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列推理正确的是()A．α∩β＝a，b⊂α⇒a∥bB．α∩β＝a，a∥b⇒b∥α且b∥βC．a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥βD．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b[答案]D[解析]选项A中，α∩β＝a，b⊂α，则a，b可能平行也可能相交，故A不正确；选项B中，α∩β＝a，a∥b，则可能b∥α且b∥β，也可能b在平面α或β内，故B不正确；选项C中，a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α，根据面面平行的判定定理，再加上条件a∩b＝A，才能得出α∥β，故C不正确；选项D为面面平行性质定理的符号语言，故选D．5．已知两条直线m，n两个平面α，β，给出下面四个命题：①α∩β＝m，n⊂α⇒m∥n或者m，n相交；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③m∥n，m∥α⇒n∥α；④α∩β＝m，m∥n⇒n∥β且n∥α.其中正确命题的序号是()A．① B．①④C．④ D．③④[答案]A6．平面α∥平面β，△ABC，△A′B′C′分别在α、β内，线段AA′，BB′，CC′共点于O，O在α、β之间．若AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，OAOA′＝32，则△A′B′C′的面积为()A．eq\f(\r(3),9) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(2\r(3),9) D．eq\f(2\r(3),3)[答案]C[解析]如图∵α∥β，∴BC∥B′C′，AB∥A′B′，AC∥A′C′，∴△ABC∽△A′B′C′，且由eq\f(AB,A′B′)＝eq\f(OA,OA′)＝eq\f(3,2)知相似比为eq\f(3,2)，又由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，知S△ABC＝eq\f(1,2)AB·CD＝eq\f(1,2)AB·(AC·sin60°)＝eq\f(\r(3),2)，∴S△A′B′C′＝eq\f(2\r(3),9).二、填空题7．(2015·东莞模拟)如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为________.[答案]平行四边形[解析]∵平面ABFE∥平面CDHG，又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，平面EFGH∩平面CDHG＝HG，∴EF∥HG.同理EH∥FG，∴四边形EFGH的形状是平行四边形．8．已知平面α∥平面β，点A，C∈α，点B，D∈β，直线AB，CD交于点S，且SA＝8，SB＝9，CD＝34.(1)若点S在平面α，β之间，则SC＝________.(2)若点S不在平面α，β之间，则SC＝________.[答案](1)16(2)272[解析](1)如图a所示，因为AB∩CD＝S，所以AB，CD确定一个平面，设为γ，则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD．因为α∥β，所以AC∥BD．于是eq\f(SA,SB)＝eq\f(SC,SD)，即eq\f(SA,AB)＝eq\f(SC,CD).所以SC＝eq\f(SA·CD,AB)＝eq\f(8×34,9＋8)＝16.(2)如图b所示，同理知AC∥BD，则eq\f(SA,SB)＝eq\f(SC,SD)，即eq\f(8,9)＝eq\f(SC,SC＋34)，解得SC＝272.三、解答题9.(2013·山东)如图，四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．求证：CE∥平面PAD．[分析]证明线面平行，有两种思路：(1)利用线面平行的判定定理，通过线线平行证明线面平行；(2)利用面面平行的性质，证明线面平行．所以本题可以从两个角度考虑，一是在平面PAD中找与CE平行的直线，二是构造过CE且与平面PAD平行的平面．[解析]方法一：如图所示，取PA的中点H，连接EH，DH.因为E为PB的中点，所以EH∥AB，EH＝eq\f(1,2)AB．又AB∥CD，CD＝eq\f(1,2)AB，所以EH∥CD，EH＝CD．因此四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH.又DH⊂平面PAD，CE⊄平面PAD，因此CE∥平面PAD．方法二：如图所示，取AB的中点F，连接CF，EF，所以AF＝eq\f(1,2)AB．又CD＝eq\f(1,2)AB，所以AF＝CD．又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形，因此CF∥AD．又CF⊄平面PAD，所以CF∥平面PAD．因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA．又EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD．因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD．又CE⊂平面CEF，所以CE∥平面PAD．10.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1[解析]如图，设平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，点M在AA1上，由于平面D1BQ∩平面BCC1B1＝BQ，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，由面面平行的性质定理可得BQ∥D假设平面D1BQ∥平面PAO，由平面D1BQ∩平面ADD1A1＝D1M，平面PAO∩平面ADD1A1＝AP，可得AP∥D1M，所以BQ∥AP.因为P为DD故当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.能力提升一、选择题1．若AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，则过它们中点的平面和直线AC的位置关系是()A．平行 B．相交C．AC在此平面内 D．平行或相交[答案]A[解析]利用中位线性质定理得线线平行，进而得直线与平面平行．2．下列说法正确的个数是()①夹在两个平行平面间的平行线段长度相等；②夹在两个平行平面间的等长线段平行；③如果一条直线和两个平行平面中的一个平行，那么它和另一个也平行；④平行于同一条直线的两个平面平行．A．1 B．2C．3 D．4[答案]A[解析]只有①正确．②中的两条线段还可能相交或异面；③中的直线还可能在另一个平面内；④中的两个平面还可能相交．3．若平面α∥平面β，直线a⊂α，点B∈β，过点B的所有直线中()A．不一定存在与a平行的直线B．只有两条与a平行的直线C．存在无数条与a平行的直线D．有且只有一条与a平行的直线[答案]D[解析]由直线a和点B确定一个平面γ，γ∩β＝b，则b就是唯一的一条满足条件的直线，选D．4．设平面α∥平面β，点A∈α，点B∈β，C是AB中点，当A、B分别在平面α、β内运动时，那么所有的动点C()A．不共面B．不论A、B如何移动，都共面C．当且仅当A、B分别在两直线上移动时才共面D．当且仅当A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面[答案]B二、填空题5．如图所示，平面四边形ABCD所在的平面与平面α平行，且四边形ABCD在平面α内的平行投影A1B1C1D1[答案]平行四边形[解析]∵平面AC∥α，平面AA1B1B∩α＝A1B1，平面AA1B1B∩平面ABCD＝AB，∴AB∥A1B1，同理可证CD∥C1D1，又A1B1∥C1D1，∴AB∥CD，同理可证AD∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形．6.如图，在四面体ABCD中，若截面PQMN是正方形，则在下列结论中正确的为________.①AC⊥BD；②AC∥截面PQMN；③AC＝BD；④异面直线PM与BD所成的角为45°.[答案]①②④[解析]∵MN∥PQ，∴PQ∥平面ACD，又平面ACD∩平面ABC＝AC，∴PQ∥AC，从而AC∥截面PQMN，②正确；同理可得MQ∥BD，故AC⊥BD，①正确；又MQ∥BD，∠PMQ＝45°，∴异面直线PM与BD所成的角为45°，故④正确．根据已知条件无法得到AC，BD长度之间的关系．故填①②④.三、解答题7．(2015·广东汕头模拟)直棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝2CD＝2.若P为A1B1的中点，求证：DP∥平面ACB1，且DP∥平面BCB1[证明]由P为A1B1的中点，得PB1∥AB，且PB1＝eq\f(1,2)AB．又∵DC∥AB，DC＝eq\f(1,2)AB，∴DC∥PB1，且DC＝PB1.∴四边形DCB1P为平行四边形．从而CB1∥DP.又CB1⊂面ACB1，DP⊄面ACB1，所以DP∥面ACB1.同理，DP∥平面BCB1.8．如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAD；(2)若MN＝BC＝4，PA＝4eq\r(3)，求异面直线PA与MN所成的角的大小．[解析](1)取PD的中点H，连接AH，NH，∵N是PC的中点，∴NH綊eq\f(1,2)DC．由M是AB的中点，且DC