2021版高考文科数学(北师大版)一轮复习高效演练分层突破第六章第5讲数列的综合应用Word版解析版

[基础题组练]1．(2020·封市定位考试开)等比数列{an}的前n项和为Sn，若a3＋4S2＝0，则公比q＝( )A．－1B．1C．－2D．2分析：选C.法一：因为a3212＋4a1112＋＋4S＝0，所以aq＋4aq＝0，因为a≠0，所以q4q＋4＝0，所以q＝－2，应选C.法二：因为a3＋4S2＝0，所以a2q＋4a2＋4a2＝0，因为a2≠0，所以q＋4＋4＝0，即(qqq＋2)2＝0，所以q＝－2，应选C.2．(2020宁·夏银川一中一模)已知等比数列{a}中，有aa＝4a，数列{b}是等差数列，n3117n其前n项和为Sn，且b7＝a7，则S13＝()A．26B．52C．78D．104分析：选B.设等比数列{an}的公比为q，因为a3a11＝24a7，所以a7＝4a7≠0，解得a7＝4，因为数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，13×（b1＋b13）所以S13＝＝13b7＝13a7＝52.应选B.23．(2020吉·林长春5月联考)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＞0，a6和a8是函数f(x)＝15lnx＋1x2－8x的极值点，则S8＝( )42A．－38B．38C．－17D．17x2－8x＋15分析：选A.因为f(x)＝15lnx＋1x2－8x，所以f′(x)＝15＋x－8＝4＝424xx115x－2x－2，x15令f′(x)＝0，解得x＝2或x＝2.又a6和a8是函数f(x)的极值点，且公差d＞0，a1＋5d＝1，a1＝－17，所以a61，a815，所以2解得2215d＝.1，22a＋7d＝所以S8＝8a1＋8×（8－1）×d＝－38，应选A.24．设y＝f(x)是一次函数，若f(0)＝1，且f(1)，f(4)，f(13)成等比数列，则f(2)＋f(4)＋＋f(2n)等于()．n(2n＋3)C．2n(2n＋3)

B．n(n＋4)D．2n(n＋4)分析：选A.由题意可设f(x)＝kx＋1(k≠0)，则(4k＋1)2＝(k＋1)×(13k＋1)，解得k＝2，f(2)＋f(4)＋＋f(2n)＝(2×2＋1)＋(2×4＋1)＋＋(2×2n＋1)＝n(2n＋3)．5．(2020·西南昌模拟江)意大利数学家斐波那契以兔子生殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，即F(1)＝F(2)＝1，F(n)＝F(n－1)＋F(n－2)(n≥3，n∈N＋)．此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用．若此数列被2除后的余数构成一个新数列{an}，则数列{an}的前2019项的和为( )A．672B．673C．1346D．2019分析：选C.因为{an}是数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，各项除以2的余数，故{an}为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，，所以{an}是周期为3的周期数列，且一个周期中的三项之和为1＋1＋0＝2.因为2019＝673×3，所以数列{an}的前2019项的和为673×2＝1346.应选C.6．(2019高·考北京卷)设等差数列{a}的前n项和为S.若a＝－3，S＝－10，则ann255＝，Sn的最小值为．a＝－3，a＋d＝－3，分析：设等差数列{an}的公差为d，因为2即1所以可得S＝－10，5a＋10d＝－10，51a1＝－4，Sn＝na1＋n（n－1）d＝12，所以当n＝4或n所以a5＝a1＋4d＝0，因为22(n－9n)d＝1，5时，Sn获得最小值，最小值为－10.答案：0－107．若数列{an}满足1－2＝0，则称{a为“梦想数列”．已知正项数列1an＋1anbn数列”，且b1＋b2＋b3＝1，则b6＋b7＋b8＝．分析：由1－2＝0可得a＋11的等比数列，故{1}是公比为1的an＋1an2bn22等比数列，则{bn}是公比为2的等比数列，b6＋b7＋b8＝(b1＋b2＋b3)25＝32.答案：328．(2020河·北石家庄4月模拟)数列{a}的前n项和为S，定义{a}的“优值”为H＝nnnna＋2a＋＋2n－1．21nn分析：由Hn＝a1＋2a2＋＋2n－1an＝2n，n得a12n－1nn，①＋2a＋＋2a＝n·2当n≥2时，a1＋2a2＋＋2n－2an－1＝(n－1)2n－1，②由①－②得2n－1an＝n·2n－(n－1)2n－1＝(n＋1)2n－1，即an＝n＋1(n≥2)，当n＝1时，a1＝2也满足式子an＝n＋1，所以数列{an}的通项公式为an＝n＋1，所以Sn＝n（2＋n＋1）＝n（n＋3）.22答案：n（n＋3）29．(2020·汉市部分学校调研武)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝3.(1)若a3＋b3＝7，求{bn}的通项公式；(2)若T3＝13，求Sn.解：(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an＝－1＋(n－1)d，bn＝qn－1.由a2＋b2＝3，得d＋q＝4，①由a3＋b3＝7，得2d＋q2＝8，②联立①②，解得q＝2或q＝0(舍去)，所以{bn}的通项公式为bn＝2n－1.(2)因为T3＝b1(1＋q＋q2)，所以1＋q＋q2＝13，解得q＝3或q＝－4，由a2＋b2＝3得d＝4－q，所以d＝1或d＝8.由Sn＝na1＋1n(n－1)d，得Sn＝1n2－3n或Sn＝4n2－5n.22210．(2020

·南省湘东六校联考湖

)已知数列

{an}的前

n项和

Sn满足

Sn＝

Sn－1＋1(n≥2，n∈N)，且a1＝1.(1)求数列{a}的通项公式a；nnn1，Tnnn2成立的n的最小值．(2)记b＝nn＋1为{b}的前n项和，求使Tna·a解：(1)由已知有Sn－Sn－1＝1(n≥2，n∈N)，所以数列{Sn}为等差数列，又S1＝a11，所以Sn＝n，即Sn＝n2.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.又a1＝1也满足上式，所以an＝2n－1.(2)由(1)知，bn＝1＝11－11），（2n－1）（2n＋22n－12n＋1所以Tn＝11－1＋1－1＋＋1－1＝11－1＝n.23352n－12n＋122n＋12n＋1由Tn≥2n得n2≥4n＋2，即(n－2)2≥6，所以n≥5，所以n的最小值为5.[综合题组练]1．(2020·京市石景山区北3月模拟)九连环是我国从古到现在广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明朝杨慎《丹铅总录》记录：“两环相互贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一．”在某种弄法中，用an表示解下n(n≤9，n∈N＋)个圆2an－1－1，n为偶数，4个环环所需的最少挪动次数，数列{an}满足a1＝1，且an＝则解下2a＋2，n为奇数，n－1所需的最少挪动次数a4为()A．7B．10C．12D．222an－1－1，n为偶数，分析：选A.因为数列{an}满足a1＝1，且an＝2an－1＋2，n为奇数，所以a2＝2a1－1＝2－1＝1，所以a3＝2a2＋2＝2×1＋2＝4，所以a4＝2a3－1＝2×4－1＝7.应选A.2．已知an＝3n(n∈N＋)，记数列n∈N＋，Tn＋3{an}的前n项和为Tn，若对任意的2k≥3n－6恒成立，则实数k的取值范围是．n3n＋13（1－3）＝－＋3，分析：Tn＝1－32233n＋1＝，所以Tn＋22k≥2（3n－6）2n－4则原不等式可以转变成3n＋1＝3n恒成立，2n－4令f(n)＝3n，当n＝1时，f(n)＝－2，当n＝2时，f(n)＝0，3当n＝3时，f(n)＝2，当n＝4时，f(n)＝4，即f(n)是先增添后减少，当n＝3时，取278122得最大值27，所以k≥27.答案：k≥2273．(2019高·考江苏卷节选)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”．(1)已知等比数列{a}(n∈N)满足：aa＝a，a－4a＋4a＝0，求证：数列{a}为“Mn＋245321n－数列”；(2)已知数列{bn}(n∈N＋)满足：b1＝1，1＝2－2，此中Sn为数列{bn}的前n项和．求Snbnn＋1数列{bn}的通项公式．解：(1)证明：设等比数列{an}的公比为q，所以a1≠0，q≠0.a2a4＝a5，a12q4＝a1q4，由得2－4a1＝0，32111a－4a＋4a＝0，aqq＋4aa1＝1，解得q＝2.所以数列{an}为“M－数列”．(2)因为1＝2－2，所以bn≠0.nn＋由b1111＝2－2，则b2＝1，S＝b，得11b2＝2.由1＝2－2，得Snbnbn＋1，Snbnn＋1n＋1n当n≥2时，由bnnn－1，＝S－S得bn＝bnbn＋1－bn－1bn，n＋1nnn－12（b－b）2（b－b）整理得bn＋1n－1n＋b＝2b.所以数列{bn}是首项和公差均为1的等差数列．所以，数列{bn}的通项公式为bn＝n(n∈N＋)．4．(2020陕·西宝鸡二模)已知数列{a}的前n项和为S，满足：a＝1，S－1＝S＋a，nn1n＋1nn1数列{bn}为等比数列，满足b1＝4b3，b2＝4＜b1，n∈N＋.(1)求数列{a}，{b}的通项公式；nn1的前n项和为Wnnnn1的大小．(2)若数列anan＋1，数列{b}的前n项和为T，试比较W与Tn解：(1)由Sn＋1－1＝Sn＋an，可得an＋1＝an＋1，又a1＝1，所以数列{an}是首项和公差均为1的等差数列，可得an＝n.1因为数列{bn}为等比数列，满足b1＝4b3，