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文档简介
2023年高考数学模拟试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.《聊斋志异》中有这样一首诗:“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:,,,,则按照以上规律,若具有“穿墙术”,则()A.48 B.63 C.99 D.1202.已知抛物线:,点为上一点,过点作轴于点,又知点,则的最小值为()A. B. C.3 D.53.抛物线的焦点为,点是上一点,,则()A. B. C. D.4.函数的部分图象如图所示,则的单调递增区间为()A. B.C. D.5.已知变量,满足不等式组,则的最小值为()A. B. C. D.6.若实数满足不等式组则的最小值等于()A. B. C. D.7.已知的展开式中的常数项为8,则实数()A.2 B.-2 C.-3 D.38.的展开式中,含项的系数为()A. B. C. D.9.若函数函数只有1个零点,则的取值范围是()A. B. C. D.10.中国的国旗和国徽上都有五角星,正五角星与黄金分割有着密切的联系,在如图所示的正五角星中,以、、、、为顶点的多边形为正五边形,且,则()A. B. C. D.11.已知函数,关于的方程R)有四个相异的实数根,则的取值范围是(
)A. B. C. D.12.某几何体的三视图如图所示,其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形,则此几何体的体积是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.复数(其中i为虚数单位)的共轭复数为________.14.在棱长为6的正方体中,是的中点,点是面,所在平面内的动点,且满足,则三棱锥的体积的最大值是__________.15.已知a,b均为正数,且,的最小值为________.16.一次考试后,某班全班50个人数学成绩的平均分为正数,若把当成一个同学的分数,与原来的50个分数一起,算出这51个分数的平均值为,则_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列的各项均为正数,为其前n项和,对于任意的满足关系式.(1)求数列的通项公式;(2)设数列的通项公式是,前n项和为,求证:对于任意的正数n,总有.18.(12分)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为菱形,PA⊥底面ABCD,∠BAD=60°,AB=PA=4,E是PA的中点,AC,BD交于点O.(1)求证:OE∥平面PBC;(2)求三棱锥E﹣PBD的体积.19.(12分)已知函数.(1)若在处导数相等,证明:;(2)若对于任意,直线与曲线都有唯一公共点,求实数的取值范围.20.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C:(a>b>0)的离心率为.且经过点(1,),A,B分别为椭圆C的左、右顶点,过左焦点F的直线l交椭圆C于D,E两点(其中D在x轴上方).(1)求椭圆C的标准方程;(2)若△AEF与△BDF的面积之比为1:7,求直线l的方程.21.(12分)在平面直角坐标系中,已知直线l的参数方程为(t为参数),在以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线C的极坐标方程是.(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C相交于两点A,B,求线段的长.22.(10分)如图,已知平面与直线均垂直于所在平面,且.(1)求证:平面;(2)若,求与平面所成角的正弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
观察规律得根号内分母为分子的平方减1,从而求出n.【详解】解:观察各式发现规律,根号内分母为分子的平方减1所以故选:C.【点睛】本题考查了归纳推理,发现总结各式规律是关键,属于基础题.2、C【解析】
由,再运用三点共线时和最小,即可求解.【详解】.故选:C【点睛】本题考查抛物线的定义,合理转化是本题的关键,注意抛物线的性质的灵活运用,属于中档题.3、B【解析】
根据抛物线定义得,即可解得结果.【详解】因为,所以.故选B【点睛】本题考查抛物线定义,考查基本分析求解能力,属基础题.4、D【解析】
由图象可以求出周期,得到,根据图象过点可求,根据正弦型函数的性质求出单调增区间即可.【详解】由图象知,所以,,又图象过点,所以,故可取,所以令,解得所以函数的单调递增区间为故选:.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质,利用“五点法”求函数解析式,属于中档题.5、B【解析】
先根据约束条件画出可行域,再利用几何意义求最值.【详解】解:由变量,满足不等式组,画出相应图形如下:可知点,,在处有最小值,最小值为.故选:B.【点睛】本题主要考查简单的线性规划,运用了数形结合的方法,属于基础题.6、A【解析】
首先画出可行域,利用目标函数的几何意义求的最小值.【详解】解:作出实数,满足不等式组表示的平面区域(如图示:阴影部分)由得,由得,平移,易知过点时直线在上截距最小,所以.故选:A.【点睛】本题考查了简单线性规划问题,求目标函数的最值先画出可行域,利用几何意义求值,属于中档题.7、A【解析】
先求的展开式,再分类分析中用哪一项与相乘,将所有结果为常数的相加,即为展开式的常数项,从而求出的值.【详解】展开式的通项为,当取2时,常数项为,当取时,常数项为由题知,则.故选:A.【点睛】本题考查了两个二项式乘积的展开式中的系数问题,其中对所取的项要进行分类讨论,属于基础题.8、B【解析】
在二项展开式的通项公式中,令的幂指数等于,求出的值,即可求得含项的系数.【详解】的展开式通项为,令,得,可得含项的系数为.故选:B.【点睛】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,二项式系数的性质,属于基础题.9、C【解析】
转化有1个零点为与的图象有1个交点,求导研究临界状态相切时的斜率,数形结合即得解.【详解】有1个零点等价于与的图象有1个交点.记,则过原点作的切线,设切点为,则切线方程为,又切线过原点,即,将,代入解得.所以切线斜率为,所以或.故选:C【点睛】本题考查了导数在函数零点问题中的应用,考查了学生数形结合,转化划归,数学运算的能力,属于较难题.10、A【解析】
利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义,便可解决问题.【详解】解:.故选:A【点睛】本题以正五角星为载体,考查平面向量的概念及运算法则等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,属于基础题.11、A【解析】=,当时时,单调递减,时,单调递增,且当,当,
当时,恒成立,时,单调递增且,方程R)有四个相异的实数根.令=则,,即.12、C【解析】由三视图可知,该几何体是下部是半径为2,高为1的圆柱的一半,上部为底面半径为2,高为2的圆锥的一半,所以,半圆柱的体积为,上部半圆锥的体积为,所以该几何体的体积为,故应选.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
利用复数的乘法运算求出,再利用共轭复数的概念即可求解.【详解】由,则.故答案为:【点睛】本题考查了复数的四则运算以及共轭复数的概念,属于基础题.14、【解析】
根据与相似,,过作于,利用体积公式求解OP最值,根据勾股定理得出,,利用函数单调性判断求解即可.【详解】∵在棱长为6的正方体中,是的中点,点是面所在平面内的动点,且满足,又,∴与相似∴,即,过作于,设,,∴,化简得:,,根据函数单调性判断,时,取得最大值36,,在正方体中平面.三棱锥体积的最大值为【点睛】本题考查三角形相似,几何体体积以及函数单调性的综合应用,难度一般.15、【解析】
本题首先可以根据将化简为,然后根据基本不等式即可求出最小值.【详解】因为,所以,当且仅当,即、时取等号,故答案为:.【点睛】本题考查根据基本不等式求最值,基本不等式公式为,在使用基本不等式的时候要注意“”成立的情况,考查化归与转化思想,是中档题.16、1【解析】
根据均值的定义计算.【详解】由题意,∴.故答案为:1.【点睛】本题考查均值的概念,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)证明见解析【解析】
(1)根据公式得到,计算得到答案.(2),根据裂项求和法计算得到,得到证明.【详解】(1)由已知得时,,故.故数列为等比数列,且公比.又当时,,..(2)..【点睛】本题考查了数列通项公式和证明数列不等式,意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.18、(1)证明见解析(2)【解析】
(1)连接OE,利用三角形中位线定理得到OE∥PC,即可证出OE∥平面PBC;(2)由E是PA的中点,,求出S△ABD,即可求解.【详解】(1)证明:如图所示:∵点O,E分别是AC,PA的中点,∴OE是△PAC的中位线,∴OE∥PC,又∵OE平面PBC,PC平面PBC,∴OE∥平面PBC;(2)解:∵PA=AB=4,∴AE=2,∵底面ABCD为菱形,∠BAD=60°,∴S△ABD,∴三棱锥E﹣PBD的体积.【点睛】本题考查空间线、面位置关系,证明直线与平面平行以及求三棱锥的体积,注意等体积法的应用,考查逻辑推理、数学计算能力,属于基础题.19、(I)见解析(II)【解析】
(1)由题x>0,,由f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,得到,得,由韦达定理得,由基本不等式得,得,由题意得,令,则,令,,利用导数性质能证明.(2)由得,令,利用反证法可证明证明恒成立.由对任意,只有一个解,得为上的递增函数,得,令,由此可求的取值范围..【详解】(I)令,得,由韦达定理得即,得令,则,令,则,得(II)由得令,则,,下面先证明恒成立.若存在,使得,,,且当自变量充分大时,,所以存在,,使得,,取,则与至少有两个交点,矛盾.由对任意,只有一个解,得为上的递增函数,得,令,则,得【点睛】本题考查函数的单调性,导数的运算及其应用,同时考查逻辑思维能力和综合应用能力属难题.20、(1)(2).【解析】
(1)利用离心率和椭圆经过的点建立方程组,求解即可.(2)把面积之比转化为纵坐标之间的关系,联立方程结合韦达定理可求.【详解】解:(1)设焦距为2c,由题意知:;解得,所以椭圆的方程为.(2)由(1)知:F(﹣1,0),设l:,D(,),E(,),<0<①,,,②;③;由①②得:,,代入③得:,又,故,因此,直线l的方程为.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求解及椭圆中的面积问题,椭圆方程一般利用待定系数法,建立方程组进行求解,面积问题的合理转化是求解的关键,侧重考查数学运算的核心素养.21、(1)l:,C:;(2)【解析】
(1)直接利用转换关系,把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换;
(2)由(1)可得曲线是圆,求出圆心坐标及半径,再求得圆心到直线的距离,即可求得的长.【详解】(1)由题意可得直线:,由,得,即,所以曲线C:.(2)由(1)知,圆,半径.∴圆心到直线的距离为:.∴【点睛】本题考查直线的普通坐标方程、曲线的直角坐标方程的求法,考查弦长的求法、运算求解能力,是中档题.22、(1)见解析;(2)【解析】
(Ⅰ)证
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